福建福州市2022-2023学年高一数学第二学期期末经典模拟试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若,且,,则（）A． B． C． D．2．如图所示，等边的边长为2、为的中点，且也是等边三角形，若以点为中心按逆时针方向旋转后到达的位置，则在转动过程中的取值范围是（)A． B． C． D．3．已知数列满足，，则数列的前10项和为（）A． B． C． D．4．下列说法中正确的是(

)A．棱柱的侧面可以是三角形B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱C．所有的几何体的表面都能展成平面图形D．棱柱的各条棱都相等5．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，边上的高，且，则等于()A． B． C． D．6．已知数列满足，则（）A． B． C． D．7．中，，，，则的面积等于（）A． B． C．或 D．或8．如图所示，垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆上异于的任一点，则下列关系中不正确的是（）A． B．平面 C． D．9．在中，，，则（）A．或 B． C． D．10．设集合，则A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数，的反函数为__________．12．已知三棱锥P－ABC，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝2，AC＝BC＝1，则三棱锥P－ABC外接球的体积为__.13．在梯形中,，,设,,则__________(用向量表示).14．如图，在正方体中，有以下结论：①平面；②平面；③；④异面直线与所成的角为.则其中正确结论的序号是____（写出所有正确结论的序号）.15．某海域中有一个小岛（如图所示），其周围3.8海里内布满暗礁（3.8海里及以外无暗礁），一大型渔船从该海域的处出发由西向东直线航行，在处望见小岛位于北偏东75°，渔船继续航行8海里到达处，此时望见小岛位于北偏东60°，若渔船不改变航向继续前进，试问渔船有没有触礁的危险？答：______.（填写“有”、“无”、“无法判断”三者之一）16．如图，正方体的棱长为2，点在正方形的边界及其内部运动，平面区域由所有满足的点组成，则的面积是__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数.（1）当时，判断并证明函数的奇偶性；（2）当时，判断并证明函数在上的单调性.18．手机支付也称为移动支付，是指允许移动用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式.继卡类支付、网络支付后，手机支付俨然成为新宠.某金融机构为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15-65岁的人群随机抽样调查，调查的问题是“你会使用移动支付吗？”其中，回答“会”的共有100个人，把这100个人按照年龄分成5组，然后绘制成如图所示的频率分布表和频率分布直方图.组数第l组第2组第3组第4组第5组分组频数203630104（1）求；（2）从第l，3，4组中用分层抽样的方法抽取6人，求第l，3，4组抽取的人数：（3）在（2）抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率.19．从代号为A、B、C、D、E的5个人中任选2人（1）列出所有可能的结果；（2）若A、B、C三人为男性，D、E两人为女性，求选出的2人中不全为男性的概率.20．扇形AOB中心角为，所在圆半径为，它按如图(Ⅰ)(Ⅱ)两种方式有内接矩形CDEF．(1)矩形CDEF的顶点C、D在扇形的半径OB上，顶点E在圆弧AB上，顶点F在半径OA上，设；(2)点M是圆弧AB的中点，矩形CDEF的顶点D、E在圆弧AB上，且关于直线OM对称，顶点C、F分别在半径OB、OA上，设；试研究(1)(2)两种方式下矩形面积的最大值，并说明两种方式下哪一种矩形面积最大？21．已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，，分别是，的中点，与平面所成的角的正切值是；（1）求证：平面；（2）求二面角的正切值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

利用两角和差的正弦公式将β＝α-(α﹣β)进行转化求解即可．【详解】β＝α-(α﹣β)，∵＜α，＜β，β＜，∴α，∵sin（）0，∴＜0，则cos（），∵sinα，∴cosα，则sinβ＝sin[α-(α﹣β)]＝sinαcos（α﹣β）-cosαsin（α﹣β）（），故选B【点睛】本题主要考查利用两角和差的正弦公式,同角三角函数基本关系，将β＝α-(α﹣β)进行转化是解决本题的关键，是基础题2、D【解析】

设，，则，则，将其展开，运用向量的数量积的定义，化简得到，再由余弦函数的性质，即可得到范围.【详解】设，，则，则，由于，则，则．故选：D【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义，考查三角函数的化简和求最值，考查运算能力，属于中档题.3、C【解析】

由判断出数列是等比数列，再求出，利用等比数列前项和公式求解即可.【详解】由，得，所以数列是以为公比的等比数列，又，所以，由等比数列前项和公式，.故选：C【点睛】本题主要考查等比数列的定义和等比数列前项和公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.4、B【解析】试题分析：棱柱的侧面是平行四边形，不可能是三角形，所以A不正确；球的表面就不能展成平面图形，所以C不正确；棱柱的侧棱与底面边长不一定相等，所以D不正确.考点：本小题主要考查空间几何体的性质.点评：解决此类问题的主要依据是空间几何体的性质，需要学生有较强的空间想象能力.5、A【解析】

在中得到，，在中得到，利用面积公式计算得到.【详解】如图所示：在中：，根据勾股定理得到在中：利用勾股定理得到，故故选A【点睛】本题考查了勾股定理，面积公式，意在考查学生解决问题的能力.6、B【解析】

分别令，求得不等式，由此证得成立.【详解】当时，，当时，，当时，，所以，所以，故选B.【点睛】本小题主要考查根据数列递推关系判断项的大小关系，属于基础题.7、D【解析】

先根据余弦定理求AC，再根据面积公式得结果.【详解】因为，所以或2，因此的面积等于或等于，选D.【点睛】本题考查余弦定理与三角形面积公式，考查基本求解能力，属基础题.8、C【解析】

由平面，得，再由，得到平面，进而得到，即可判断出结果.【详解】因为垂直于以为直径的圆所在的平面，即平面，得，A正确；又为圆上异于的任一点，所以，平面，，B，D均正确.故选C.【点睛】本题主要考查线面垂直，熟记线面垂直的判定定理与性质定理即可，属于常考题型.9、C【解析】

由正弦定理计算即可。【详解】由题根据正弦定理可得即，解得，所以为或，又因为，所以为故选C.【点睛】本题考查正弦定理，属于简单题。10、B【解析】,选B.【考点】集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

将函数变形为的形式，然后得到反函数，注意定义域.【详解】因为，所以，则反函数为：且.【点睛】本题考查反三角函数的知识，难度较易.给定定义域的时候，要注意函数定义域.12、6【解析】

如图所示,取PB的中点O，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.∴OA＝12PB，OC＝12PB，∴OA＝OB＝OC＝OP，故O为外接球的球心．又PA＝2，AC＝BC＝1，∴AB＝2，PB＝6，∴外接球的半径R＝∴V球＝43πR3＝4π3×(62)3＝6点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法:(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．13、【解析】

根据向量减法运算得结果.【详解】利用向量的三角形法则，可得，，又，，则，.故答案为.【点睛】本题考查向量表示，考查基本化解能力14、①③【解析】

①：利用线面平行的判定定理可以直接判断是正确的结论；②：举反例可以判断出该结论是错误的；③：可以利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，再利用线面垂直的性质定理可以判断是正确的结论；④：可以通过，可以判断出异面直线与所成的角为，即本结论是错误的，最后选出正确的结论序号.【详解】①：平面，平面平面，故本结论是正确的；②：在正方形中，，显然不垂直，而，所以不互相垂直，要是平面，则必有互相垂直，显然是不可能的，故本结论是错误的；③：平面，平面，，在正方形中，，平面，，所以平面，而平面，故，因此本结论是正确的；④：因为，所以异面直线与所成的角为，在正方形中，，故本结论是错误的，因此正确结论的序号是①③.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、性质定理，考查了异面直线所成的角、线面垂直的性质.15、无【解析】

可过作的延长线的垂线，垂足为，结合角度关系可判断为等腰三角形，再通过的边角关系即可求解，判断与3.8的大小关系即可【详解】如图，过作的延长线的垂线，垂足为，在中，，，则，所以为等腰三角形。，又，所以，，所以渔船没有触礁的危险故答案为：无【点睛】本题考查三角函数在生活中的实际应用，属于基础题16、【解析】,所以点平面区域是底面内以为圆心，以1为半径的外面区域,则的面积是三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）见解析.【解析】

（1）将代入函数的解析式，利用函数的奇偶性定义来证明出函数的奇偶性；（2）将函数的解析式化为，然后利用函数单调性的定义证明出函数在上的单调性.【详解】（1）当时，，函数为上的奇函数.证明如下：，其定义域为，则，故函数为奇函数；（2）当时，函数在上单调递减.证明如下：，任取，则，又由，则，则有，即.因此，函数为上的减函数．【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的判定与证明，在利用定义证明函数的单调性与奇偶性时，要熟悉定义法证明函数奇偶性与单调性的基本步骤，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.18、(1)；(2)第1组2人,第3组3人，第4组1人；(3)【解析】

（1）直接计算.（2）根据分层抽样的规律按照比例抽取.（3）设第1组抽取的2人为，，第3组抽取的3人为，，，第4组抽取的1人为，排列出所有可能，再计算满足条件的个数，相除得到答案.【详解】解：（1）由题意可知，，（2）第1，3，4组共有60人，所以抽取的比例是则从第1组抽取的人数为,从第3组抽取的人数为，从第4组抽取的人数为；（3）设第1组抽取的2人为，，第3组抽取的3人为，，，第4组抽取的1人为，则从这6人中随机抽取2人有如下种情形：，，，，，，，，，，，，，，共有15个基本事件.其中符合“抽取的2人来自同一个组”的基本事件有，，，共4个基本事件，所以抽取的2人来自同一个组的概率.【点睛】本题考查了频率直方图，分层抽样，概率的计算，意在考查学生解决问题的能力.19、（1）见解析（2）0.7【解析】

（1）从代号为、、、、的5个人中任选2人，利用列举法能求出所有可能的结果．（2）、、三人为男性，、两人为女性，利用列举法求出选出的2人中不全为男性包含的基本事件有7种，由此能求出选出的2人中不全为男性的概率．【详解】（1）从代号为、、、、的5个人中任选2人．所有可能的结果有10种，分别为：，，，，，，，，，．（2）、、三人为男性，、两人为女性，选出的2人中不全为男性包含的基本事件有7种，分别为：，，，，，，．选出的2人中不全为男性的概率．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20、方式一最大值【解析】

试题分析：(1)运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用；（2）重视三角函数的三变：三变指变角、变名、变式；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等，适当选择公式进行变形；（3）把形如化为，可进一步研究函数的周期、单调性、最值和对称性.试题解析：解（1）在中，设，则又当即时，（Ⅱ）令与的交点为，的交点为，则，于是，又当即时，取得最大值.,（Ⅰ）（Ⅱ）两种方式下矩形面积的最大值为方式一：考点：把实际问题转化为三角函数求最值问题.21、(1)见证明；(2)【解析】

（1）取的中点，连接，通过证明四边形是