2023年浙江省宁波四中高一数学第二学期期末预测试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．数列中，，则数列的极限值（）A．等于0 B．等于1 C．等于0或1 D．不存在2．已知，，则（）A． B． C． D．3．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入分别为14,18，则输出的（）A．0 B．2 C．4 D．144．公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项,，则等于（）A．18 B．24 C．60 D．905．已知全集则()A． B． C． D．6．下列四个函数中，与函数完全相同的是（）A． B．C． D．7．已知平面向量，，，，在下列命题中：①存在唯一的实数，使得；②为单位向量，且，则；③；④与共线，与共线，则与共线；⑤若且，则.正确命题的序号是()A．①④⑤ B．②③④ C．①⑤ D．②③8．已知组数据，，…，的平均数为2,方差为5,则数据2+1，2+1，…，2+1的平均数与方差分别为()A．=4,=10 B．=5,=11C．=5,=20 D．=5,=219．已知点，直线方程为，且直线与线段相交，求直线的斜率k的取值范围为（）A．或 B．或C． D．10．在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知腰长为的等腰直角△中，为斜边的中点，点为该平面内一动点，若，则的最小值________．12．如图所示，正方体的棱长为3，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_____．13．已知变量和线性相关，其一组观测数据为，由最小二乘法求得回归直线方程为.若已知，则______.14．已知三棱锥（如图所示），平面，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为______．15．已知a，b为常数，若，则______；16．已知平面向量，，满足：，且，则的最小值为____.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图为某区域部分交通线路图，其中直线，直线l与、、都垂直，垂足分别是点A、点B和点C（高速线右侧边缘），直线与、与的距离分别为1米、2千米，点M和点N分别在直线和上，满足，记.（1）若，求AM的长度；（2）记的面积为，求的表达式，并问为何值时，有最小值，并求出最小值；（3）求的取值范围.18．已知数列的前项和为，点在直线上.数列满足且，前9项和为153.(1)求数列、的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求及使不等式对一切都成立的最小正整数的值；(3)设，问是否存在，使得成立？若不存在，请说明理由.19．在平面直角坐标系中，以轴为始边，作两个角，它们终边分别经过点和，其中,，且.（1）求的值；（2）求的值.20．已知数列为单调递增数列，，其前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列，其前项和为，若成立，求的最小值.21．定理：若函数的图象关于直线对称，且方程有个根，则这个根之和为.利用上述定理，求解下列问题：（1）已知函数，，设函数的图象关于直线对称，求的值及方程的所有根之和；（2）若关于的方程在实数集上有唯一的解，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

根据题意得到：时，，再计算即可.【详解】因为当时，.所以.故选：B【点睛】本题主要考查数列的极限，解题时要注意公式的选取和应用，属于中档题.2、C【解析】

由放缩法可得出，再利用特殊值法以及不等式的基本性质可判断各选项中不等式的正误.【详解】，，可得.取，，，则A、D选项中的不等式不成立；取，，，则B选项中的不等式不成立；且，由不等式的基本性质得，C选项中的不等式成立.故选：C.【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的性质或特殊值法进行判断，考查推理能力，属于中等题.3、B【解析】由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=1，由a＜b，则b变为4﹣1=1，由a=b=1，则输出的a=1．故选B．4、C【解析】

由等比中项的定义可得，根据等差数列的通项公式及前n项和公式，列方程解出和，进而求出.【详解】因为是与的等比中项，所以，即，整理得，又因为，所以，故，故选C.【点睛】该题考查的是有关等差数列求和问题，涉及到的知识点有等差数列的通项，等比中项的定义，等差数列的求和公式，正确应用相关公式是解题的关键.5、B【解析】

先求M的补集，再与N求交集．【详解】∵全集U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0，1，2}，∴∁UM＝{3，4}．∵N＝{2，3}，∴（∁UM）∩N＝{3}．故选：B．【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题．6、C【解析】

先判断函数的定义域是否相同，再通过化简判断对应关系是否相同，从而判断出与相同的函数.【详解】的定义域为，A.，因为，所以，定义域为或，与定义域不相同；B.，因为，所以，所以定义域为，与定义域不相同；C.，因为，所以定义域为，又因为，所以与相同；D.，因为，所以，定义域为，与定义域不相同.故选：C.【点睛】本题考查与三角函数有关的相同函数的判断，难度一般.判断相同函数时，首先判断定义域是否相同，定义域相同时再去判断对应关系是否相同（函数化简），结合定义域与对应关系即可判断出是否是相同函数.7、D【解析】

分别根据向量的平行、模、数量积即可解决。【详解】当为零向量时不满足，①错；当为零向量时④错，对于⑤：两个向量相乘，等于模相乘再乘以夹角的余弦值，与有可能夹角不一样或者的模不一样，两个向量相等要保证方向、模都相同才可以，因此选择D【点睛】本题主要考查了向量的共线，零向量。属于基础题。8、C【解析】

根据题意，利用数据的平均数和方差的性质分析可得答案．【详解】根据题意，数据，，，的平均数为2，方差为5，则数据，，，的平均数，其方差；故选．【点睛】本题考查数据的平均数、方差的计算，关键是掌握数据的平均数、方差的计算公式，属于基础题．9、A【解析】

先求出线段的方程，得出，在直线的方程中得到，将代入的表达式，利用不等式的性质求出的取值范围．【详解】易求得线段的方程为，得，由直线的方程得，当时，，此时，；当时，，此时，．因此，实数的取值范围是或，故选A．【点睛】本题考查斜率取值范围的计算，可以利用数形结合思想，观察倾斜角的变化得出斜率的取值范围，也可以利用参变量分离，得出斜率的表达式，利用不等式的性质得出斜率的取值范围，考查计算能力，属于中等题．10、C【解析】

如图，取中点，则平面，故，因此与平面所成角即为，设，则，，即，故，故选C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

如图建立平面直角坐标系，∴，当sin时，得到最小值为，故选．12、【解析】

该多面体为正八面体，将其转化为两个正四棱锥，通过计算两个正四棱锥的体积计算出正八面体的体积.【详解】以正方体所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，也可以看作是两个正四棱锥的组合体，每一个正四棱锥的侧棱长与底面边长均为．则其中一个正四棱锥的高为h．∴该多面体的体积V．故答案为：【点睛】本小题主要考查正八面体、正四棱锥体积的计算，属于基础题.13、355【解析】

根据回归直线必过样本点的中心，根据横坐标结合回归方程求出纵坐标即可得解.【详解】由题：，回归直线方程为，所以，.故答案为：355【点睛】此题考查根据回归直线方程求样本点的中心的纵坐标，关键在于掌握回归直线必过样本点的中心，根据平均数求解.14、【解析】

由于图形特殊，可将图形补成长方体，从而求长方体的外接球表面积即为所求.【详解】，，，，平面，将三棱锥补形为如图的长方体，则长方体的对角线，则【点睛】本题主要考查外接球的相关计算，将图形补成长方体是解决本题的关键，意在考查学生的划归能力及空间想象能力.15、2【解析】

根据极限存在首先判断出的值，然后根据极限的值计算出的值，由此可计算出的值.【详解】因为，所以，又因为，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查根据极限的值求解参数，难度较易.16、-1【解析】

，，，由经过向量运算得，知点在以为圆心，1为半径的圆上，这样，只要最小，就可化简．【详解】如图，，则，设是中点，则，∵，∴，即，，记，则点在以为圆心，1为半径的圆上，记，，注意到，因此当与反向时，最小，∴．∴最小值为-1．故答案为-1．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是由已知得出点轨迹(让表示的有向线段的起点都是原点)是圆，然后分析出只有最小时，才可能最小．从而得到解题方法．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2），当时，；（3）.【解析】

（1），，，由即可得解；（2）用含有的式子表示出和，得出，根据的范围得出的最小值；（3）用含有的式子表示出，利用三角恒等变换和正弦函数的值域得出答案.【详解】（1）由题意可知:，即，，所以；（2），，，，，，，时，取得最大值1，；（3），由题意可知，令，.【点睛】本题考查三角函数的综合应用，考查逻辑思维能力和计算能力，考查对基本知识的掌握，考查分析能力，属于中档题.18、(1);(2)1009;(3)m=11.【解析】

(1)运用数列的通项公式和前n项和的关系，即可得到数列的通项公式；运用等差数列的通项和求和公式，求出公差，即可得到数列的通项公式；(2)化简，运用裂项相消法求和，求出数列的前n项和为，再由数列的单调性，即可得出k的最小值；(3)分m为奇数和m为偶数，分别利用条件，求出m的值，可得结论.【详解】（1）（2）（3）当为奇数时，当为偶数时，.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，数列的项与和的关系，裂项相消法求和，应用题的条件，得到相应的结果.19、（1）；（2）.【解析】

(1)根据正弦的定义求得，再运用余弦的二倍角公式求解，(2)由(1)问可得、两点的坐标，从而再运用正切的和角公式求解.【详解】（1）由得：所以：（2）由则故因此.【点睛】本题考查三角函数的定义和余弦的二倍角公式和正切的和角公式，属于基础题.20、（1）；（2）10.【解析】

（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等差数列定义及其通项公式得数列的通项公式；（2）先根据裂项相消法求，再解不等式得，即得的最小值.【详解】（1）由知：，两式相减得:，即，又数列为单调递增数列，，∴，∴，又当时，，即，解得或(舍），符合，∴是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴.（2），∴，又∵，即，解得，又，所以的最小值为10.点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.