九年级总复习矩形大法

“矩形大法”学生也要进入期末复习了，我和同事今晚在这里也来交流复习一下“矩形大法”，也是我们这些学生向于特交的一份作业也希望熟悉“矩形大法”的群友，一起和我完成这份作业讲座中肯定有许多不完善的地方，有不妥的地方还请大家多多包涵，也真诚地希望大家提出来，我们一起研讨！还有由于本人不会几何画板，所有的图都不怎么漂亮，大家也就将就点看咯我们主要从三个方面和大家交流：一：“矩形大法”的提出背景二：“矩形大法”的基本构造三：“矩形大法”的实例应用一、矩形大法”的提出背景问题：我们如何刻画一个角大小呢？是的，角的大小有两种刻画方法：一种是传统的、人人皆知的度数刻画法；另一种是常被我们忽略的边长刻画法（即三角函数值）。如果两个角的大小是用度数体现的，那么这两个角的和与差的度数能够非常容易地计算出来。但如果两个角的大小是采用边长（即三角函数值）刻画的，那么两个角的和或差的大小是多少呢？自然，这两个角和与差的大小也只能采用三角函数值刻画。也许学习数学的人第一反应是马上想到高中的两角和与差的三角公式。但现在讨论的背景是初中数学教学因此我们要回避用高中数学知识。作为南通人，我首先要提的就是南通2014年的28题第三问：匕口14南通）如图，抛物姓『二一1十h十3与工轴相交于工、B两点，与F轴交于C,顶点为R设F为工轴上的一点，/口4口+/，尸0=/必当时，求点F的坐标.卜不知大家第一次看到这道题的第一反应是什么？能否在短时间中用传统方法解决？本题它有比较巧妙的求法，但要发现，还是需要一定的时间的。这里涉及到两角和差关系，需要说明的是，命题人员绝非希望你采用高中“两角和与差的三角公式”去解决问题，这是由于：⑴他们当初没有意识到采用这样的思考方法是合理的，而且只要方法得当，的确能够解决问题。⑵即使意识到了，他们认为因为初中不具备这样的知识，有这样的想法却因为不具备的能力，从而无法解决原问题。⑶最关键的原因是，由于命题人员想出了构思极为巧妙，常人很难想到的解法。于是，这样的考题在不知不觉中出现了，而且通常情况下，这样的考题必定处于试卷中的难题位置.那如果我们能有比较好的方法去破解这个和差关系，那不就可以不花多少时间直接攻破此题了呢！再譬如今年盐城的中考题第3问：（2口1小盐城改编）如图，已知故-工6G03内v连接CG,如图，P为内一点，隹接P&PC.PG,分别以AP、AG为边，在他们的左酬作等边AAPR,等边△启GQ,连接QR②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PMPC+PG取得最小值时点P的坐标.这题给出的答案也比较复杂，我想学生在短时间里容易找到点P的位置却不易求出点P坐标。那么这题究竟如何成功破解呢？而类似这样的问题不管小题，大题，其实在中考中是比较多的。现在的问题是，有些题目构思非常巧妙，但采用“因果确定法”思考，面临的困难就是：已知两个角的大小（边长刻画），最后只有在解决了这两个角的和或差的问题后，才能真正解决原问题。那么有没有既遵从原始的“因果确定法”的思考方法，又付出代价不大，同时还易于操作的解法呢？也即如何做到“想有背景，解不超纲”呢？这就让人开始思考从比值刻画一个角的大小，就得出现一个包含这个锐角的直角三角形。那么两个角呢?

就必须出现两个直角三角形。最后还要有两个角的和或差的大小的比值刻画，即出现了第三个角，又必须出现一个含有这个和角或差角的直角三角形。这样就需要三个直角三角形，那么怎样才能沟通彼此联系呢？在平时的基本构图模型中有吗？在这些想法的基础上，朦朦胧胧地继续探求构造，最后终于产生了那个精妙绝伦的矩形—一—下子全部满足了要求！为了在网络上交流，既有一定的趣味性，又揭示方法的本质，于特将其取名为“矩形大法”。我们在课堂上有时为了表述的方便或激发学生的学习兴趣和积极性，也可以一起命些名称，不必太过计较说法，我的课堂里还有个“晨博公式”呢！（晨博是我现在的一个学生名字）二、“矩形大法”的基本构造下面我们以75°，15°这两个特殊角为例聊聊矩形的构造我们可以通过30°与15°的倍半角关系求出tan15°的值，通过互余关系求出tan75°的值。那如果利用30°，45°这两角的和差关系又该怎样构图表示出75°与15°的正切值呢？1、先思考75°即45°与30°和的构造：根据刚才的阐述，我们究竟该如何用比值来刻画45°，30°，以及75°这三个角呢?首先需先把的产第1/1）和前.角S）都要树在一个直芾三角脸中,,一其次构一线三直角』

其次构一线三直角』为了有乃。,想到平行角相等，所以构矩形#具体操作的时候可以按如下步骤:（1）作一个45°角（/。）如图，水平的那条线为第一条线，另一条为二号线（两个角公共边）"（2）在二号线上取点直向角的外部作垂线，构造/加片30°（也即以OA为公共迈向P外构造一个含3口。角的直角三角形也BCO川（3）过点％BQ三点分别作坐标轴的垂线，框成一个矩形OCDE,有此得到2EBOZBOC=75°（4）由一线三直角得到两个阴督的三角形相似，相似比为AB和口区的比1:也,不妨令BD为1,由45口则AD=BD=L由相似比知OC=AC=再，所以OE=CD=73+1,EB=ED-BD=J^-1顺时针标出矩形边上各线段的值（如图）得出珈i/EEgan/EOC=tank十1十12、15°即45°与30°差的构造刚才两角和是在一个角的基础上向外“扩张”，现在是两角差，该如何构造呢?口｝作T刚才两角和是在一个角的基础上向外“扩张”，现在是两角差，该如何构造呢?口｝作T■比，编（1占卜（,箝在二号线上取悬山向角的内部卡垂线，构造小的产播”（也即1认0a也为公式地同内搁造一个含3（r雷的宜由三角形汽・，⑶过点4吕⑷三点分制作坐标轴的垂道，框断一个矩熟口CDEr有此博密TEM就为甘"角*(4)由一线三直角得耨两个三角形相似，相像比为AB和0A的比%后，不妨令BD为L逆时针可标出矩形边上各线段的值(如图)得出珈1』即日二七61炉”抠-tanb=L求tauM3tanb=L求tauM3、已知 之 即构图说明2 2 3借用上次纪博士讲座中的图：IIfmIH\o"CurrentDocument"一十二35。0力.2.3.4.5"2 3""*T"4" "J-1”——-+'——-=— —十————2 2 3 3 3一4现在如何用矩形构造呢？【江苏苏晓艺向外作是求和，向里作是求差】总结的好！这里我们可以仿照上面的15°，75°，的构造，得到如下的构图构造如图得到矩形OCDE,因为由相假知tan/EAD二tan/蝮匚二」，所以即:他二L九2不妨令即二L则他二2,两个三角形的相似比为嵋:。以二L：2,所以K=2,0C=4.4*^T；导tillxiCEBU-~t：ifi2;ci"——3同样可以构造"-"4-"-"="45=" (ZEBF^ZBFC=45°)2 3如图；"="45°"^"="45°"^从这里可以看出“12345”显然可以看成是“矩形大法”的一个特殊运用.掌握了矩形大法，要解释为什么有：“1/2”+“1/3”=45°,“1/2”+“1/2”=“4/3”等，就显得非常容易了哦！其基本步骤是：构直角，框矩形，用相似，表线段。下面先来几个小题，热下手哦！己知：tans=2tan#=1,求tan（值+回）的值1、

天C已知；tanG=3,tanf=：,求tan（值-贰I的值2、如图，点A（2,4）,ZB=90°,C®=A3,求点E的坐标解法一：这里9点确定，所以NAOX确定，又上直口日确定，于是求点B就是求上巳口乳即ZAOX^ZAOB,两角的公共也为□人所以这点区向内作口区的垂线交OB延长线于点C,过点ACO构矩形ODEF.易知ACVM当ZUEC,根据点也坐标可求出矩形边上各线段的长，则点C坐标为他力，易知点B为QC中点，所以点B坐标为（事）

解法二:这里有现成的直角，可直接过点O,A,B框矩形ODEF,这里tanZAOD=-fZA0BM52。，所以由 可求t3n/BCiF=13。，所以由 可求t3n/BCiF=13C'如果是填空或选择的小题，那就可秒了哈3、在平面直角坐标系四乩中，A（4,0）,B若点。在第一象限里,且AABC是等边三角形，求点C的坐标。下

这里A,B点的坐标是确定的，所以/口6总的大小也是确定的，而上直BC的大小也是疏定的,所以这里就可以看成求/口BA十/ABC了，两角的顶点为四公其边为BA,所以过点人作AB的垂线交BC延长线于点d然后依次过三线上的点框矩形，（如图）易知点「为BD的中点，可求得C点坐标为（2+刍6一+2#】2 2解法二：根据等边三角形的特殊性，作AB边上的高，过垂足构一线三直角框矩形也是比较方便的。4、先来看一道2013淄博中考题的第三问（如13淄博）加图，△前是等边三角形，H（%口），C（口，-24）,D（10,口）,求NODE的正切值.本题中求NODB的正切值的关键是什么呢？本题中求NODB的正切值，一边OD确定，所以只要确定点B的坐标即可。这题就和上一个小题一样了。这里既可以看成NOAC+60。角，也可以是NOCA+60。角的和差关系，可构如下图：

由M(皿-4乖),日为伽1中点可知其坐标为(3,-垄所以3/8日=九刍

- m5che.， ,5、再来个中考小题C013金踽：■已M敬悦哂酎二二的懿噬过点云㈠，4).何谓你在底.比崛数,尸^的国生上找出一点巴便上户位=无"，则此点?白性行为解：构造如图所示的拒影OASC,则息F(7,1),由此可谀点尸口叫汨)(卿山)，代人求眸得前二:屈，因此F(2疽，y2这里求出F(7,1),知tanZFOA=7,P在射线OF上，所以增量巧设P点左标为(7m,m)，将其代入解析式即可。现在我们再回过头来看南通的这道中考题：

（2口14南通）如图，抛物线/=一/十2工十3与工轴相交于工、月两点，与『轴交于C顶点为D役尸为r轴上的一点，£DAO+ 乙5当tan/ot=4时，求点F的坐标.¥现在看到“NDAO+NDPO=Na,”这个条件，有想法了吗?试想我们找到了P点，由上图可知，这里点DC14）,点取-1⑼都是确定的，所以t^iZDA0=2显然是确定的，工的大小显然也是确定的，那么如果求出的大小，那么这道题目立刻就“土崩瓦解”了.炉根据NDPO=Na—/DAO现在估计很多朋友在“施法”框矩形了！口而DF=4，所以FP=18，所以P点坐标为（19,0）或（-17,0）如果在原图外另构图的话，那是不是分分钟的事情呢！即使我们不向学生介绍这种方法，作为教师掌握了这个“大法”，当学生来问你题时，你能快速地报出答案，那学生岂不对你佩服的五体投地呢！密口

由点D坐标（1,4）不难发现图中隐藏的/出就是/DOX则构图如下;在原图上就可以如上构图利用平行关系可知NGDO=NDOX=tana=4,在NGDO内部过点O作垂线构造tanZEDO=tanNDAO=2的直角三角形，所以两阴影的三角形的相似比为1:2,则可表示出矩形FDGH边上各部分线段长，可得P点坐标为（-17,0）再根据对称性得另一点坐标（19,0）除了这种矩形构造，我们还可以构造更具一般性的矩形。如图：＜试想我们找至!l了点P,MZHDA=ZDAO+ZDPO=tanZot=4由此我们可以先构造一个正切值为4的角，再构矩形，如图:一本想静静地学习，发现实在不行。黄萍老师是一位优秀的数学老师，其他老师能否静静聆听讲解呢？您上课讲的时候学生也讲，有何效率？有问题能否课后问？得罪了。IJA图中tan/HDA=Xa,所以两相似三角形的相似比为4:1,依次标出相形边上各线段DA的长，DF=4,AF=L由相似比得AG=16,GH=8,HE=GF=1S,ED=4,可知D为EF中点,所以易知FP=HE=18,所以DPT2所以P点坐标为（以口），由对称得另一点P（-1工口）豕这里由于题中D点的坐标特征，利用tan/DOF=4,命题人存在构思巧妙的方法倘若我们没有发现这一点呢？但这里用“矩形大法”，我们可以无视这个条件譬如把“tan/a=4”改成3也许原先的巧妙构思就不再可以了，而“矩形大法”在此可再显其神威无论怎么变，只要两角的值是确定的，都可以“强行破门”，“直接碾压”.大家可以一试其实只要在上图中改动几个数据即可：图中tan/HDA=3,所以两相似三角形的相似比为3:1,依次标出矩形边上各线段的长就OK了！P（-27,0）或（29,0）7、再来破解今年盐城的这题：1加1件盐城）如图，已知网-工口卜0（1,0）.G0工⑶（3）隹接CG,如图，P为A/XCG内一点,，庄接FA、FC、PG,分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边aAPR,等也&AGQ,建接QR卡②求PA+PC+PG的最小值，并求出当FA+FC+PG取得最小值时点P的坐标.¥由图易得PG=QR,PA=PR,所以PA+PC+PG=PR+PC+QL所以当5R、,P、C四点共线时取得最小值。口TOC\o"1-5"\h\z⑶ V由图3易知，Q点坐标为(-仇3后)，是确定的，点C(1,0)也是确定的，所以NQCA也是确定的，tan/QCA=半，而/QCA十/PAC=/虹Q壬，所以/PAC也是确定的，这里配=4是确定的，所以点.P是确定的口ZPAMO0-ZQCA,即可构造矩形求出UnZPAC」的值.〃(4)♦⑶一4君J5 「由图4,求出tanZPAC=——=—,在图3中，不妨设PH=3^/3m,则CH=7m,AH=12m16 4所以12nH7m=4所£，所以点P的坐标为C-2,史1),PQPC4PG最小值为2】何19 1919

在原图中可如图相矩形¥孔口口16年广西贵港市）如图，抛物线尸短+b筮-5（a壬口）与才轴交于点A（-5,口）和点B（1口：，与了轴交于点C.J口）求该抛物线的解析式：y= 十力>-3”㈡）若点E为区轴下方抛物）线上的一动点，当吕ABe=S上me时，求点E的坐标：E（-2.-5>（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点“使/BAP=/CAE?若存在，