N-S纳维斯托克斯方程推导过程

很多人一听到N-S方程就有点头皮发麻，因为涉及到流体力学的知识比较多，如果没有一个完整有逻辑的思路，理解N-S方程是有点困难。其中涉及到欧拉法，场论，随体导数，流体力学连续性方程(即质量守恒方程)，流体力学N-S方程(即动量方程)，动量方程在流体力学中有两种，一种是理想流体动量方程，一种是粘性流体动量方程，粘性流体的动量方程也叫纳维-斯托克斯方程，也简称N-S方程。我试图想把N-S方程弄清楚点，所以写了一点东西，分享一下。首先要讲一下流体力学的欧拉法，在课本中还讲了拉格朗斯法，因为连续性方程和N-S方程是用欧拉法得出的，和拉格朗日法没什么关系。我就不讲拉格朗日法，以免产生混乱。欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。如果每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。欧拉方法中流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式:假设空间一点的坐标(x,y,z,t)，其中x,y,z是该空间的坐标，t是此刻时间。u,v,w是这一空间点的三个方向速度。p,P,T是这一空间点的压力，密度和温度。这样就有了每一个点的速度，压力，密度，温度，就可以描述运动流体的状态。这里需要强调一点的是下面这六个式子，可以换一个角度把他们看成方程，对后面理解连续性方程和N-S方程有帮助，比如u=x+2y+3zu=u(X,y,z,t);V=v(x,y,z,t);w=w(X,y,z,t);p=p(x,y,z,t);P=P(x,y,z,t);T=T(x,y,z,t)因为后面需要随体导数的概念，还需要把速度函数表示成矢量的形式。前面u,v,w是标量，是正在(x,y,z,t)直角坐标系三个方向的速度。v=v(r,t)随体导数表示流体质点在欧拉场内(见流体运动学)运动时所具有的物理量对时间的全dV导数。上面定义了空间一点速度，那么加速度就是,。设有一流体质点在运动，t时刻在dtM点(x,y,z,t)，速度为「(M,t)，过了At之后，在M'点，速度为丁(M；t+At)。根据定义，加速度表达式可以写成如下:变=lim变=limdt At.0V(M',t+At)—V(M,t)「V(M',t+At)—V(M',t)「尊(M',t)-V(M,t)=lim blim At.0 At At.0 At基于时间At的变化 基于空间位置M.M的变化「蕈(M:t+At)-V(M:t)「MM'「蕈(M:t)-\T(M,t)=lim +lim lim TOC\o"1-5"\h\zAt.0 At At.0AtMM'.0 MM=SV(M,t)+vlimV(M)-V(M,t)dt MM'.0 MM'At.0,M和M靠近，M.M的变化会引起V三个方向速度的变化用M点速度\o"CurrentDocument"dV … …,可以分解成这两部分，是因为从M.M'点，一方面有时间At的变化，一方面有空间dt位置的变化，分解成这两部分，正是基于这两个原因。写成直角坐标系，用u,v,w三个方向速度表示成如下：u=u(x,y,z,t);V=v(x,y,z,t);.=卬(x,y,z,t);代入上面加速度公式，得到dV_SV(M,t)+vlimV(M)—V(M,t)~dt~Smm。。 MMAt.0,M和M靠近，MfM的变化会引起V三个方向速度的变化用M点速度du Su(x,y,z,t) Su(x,y,z,t) Su(x,y,z,t)_ z +u(x,y,z,t) +V(x,y,z,t) TOC\o"1-5"\h\zdt St Sx SySu(x,y,z,t)+.(x,y,z,t) SzSu Su Su Su_—+u +V +. \o"CurrentDocument"St Sx Sy SzduSuSuSu Su—_+u FV FW一；dtStSxSy SzdvSvSvSv Sv—_+u FV+w;dtStSxSy SzdwSwSwSw Sw—_ \-u FV FW dtStSxSy Sz至此已经用欧拉法推到出了流体速度和加速度（即随体导数）的公式。随体导数也可以用复合函数求导的方法得到。用复合函数链导法则会更容易理解一些。后面接下来要推导的是流体力学连续方程。连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的具体表述形式。它的前提是对流体采用连续介质模型，速度和密度都是空间坐标及时间的连续、可微函数。

假设有一个微体积正六面体，正六面体的中心三个方向的速度是u,v,w。左表面的流速丫仇d左表面的流速丫仇d.x2dudxd.x2c1dc1d(pu)工一Pu+2 dxdydz-pu」皿dx]dydz=壁dxdydz2d.x d.x同理y方向和z方向的质量流量差：S(Pv)/ dxdydzSyS(PW)z7/A dxdydzSz在dt时间内因为密度变化而减少的质量为：TOC\o"1-5"\h\zSp Sp,pdxdydz一(p+——)dxdydz=一——dxdydzSt St由质量守恒，单位时间内流出与流入六面体的流体质量差综合应等于六面体因密度变化而减少的质量。\o"CurrentDocument"S(pu)S(Pv)S(pw)] Sp + + dxdydz=一——dxdydzn\o"CurrentDocument"Sx Sy Sz_| St\o"CurrentDocument"SpSpuSpvSpw八+ + + =0St Sx Sy Sz以上就已经得到了连续性方程。对不可压缩流体，连续性方程可以简化，可以得到以下简化的连续性方程：SuSvSw八——+—+——=0SxSySz这个不可压缩流体的连续性方程很重要，下面推导N-S方程的时候要用到。接下来要推导出流体力学的N-S方程。在推导N-S方程之前，有很多人都在这里有困惑。这里有两个概念要搞清楚，那就是什么是理想流体和粘性流体。我们很多课本在讲流体力学的时候是先讲了理想流体的动量方程，之后又没有接着讲粘性流体的动量方程，所以有些人到后面再讲N-S方程就混淆了。另外就是很多人一听到N-S方程就心里有点害怕，畏惧了，还没来得及去仔细研究就放弃了，如果仔细研究一下，其实也不难，很多流体力学的书是用场论的知识去推导出N-S方程的，我们工科学校对场论没有接触，最好还是用正六面体的方法来推导N-S方程。哈工大陈卓如和王洪杰老师的工程流体力学对N-S方程的推导用的是正六面体法，很容易看懂。清华大学的书就比较难，可以参考。在这里得先推到一下理想流体的

动量方程，后面再推导粘性流体的动量方程。这里必须先分清理想流体和粘性流体的概念。理想流体是一种不可压缩、不计粘性(粘度为零)的流体。欧拉在忽略粘性的假定下，建立了描述理想流体运动的基本方程。实际上，理想流体在自然界中是不存在的，它只是真实流体的一种近似模型。但实际上由于流体中存在着粘性，流体的一部分机械能将不可逆地转化为热能，并使流体流动出现许多复杂现象，例如边界层效应、摩阻效应、非牛顿流动效应等。自然界中各种真实流体都是粘性流体。下面推导理想流体动量方程。理想流体和粘性流体的区别在于是否有粘性力，即切应力。dpdxdpdxd.x2在理想流体内部取一微体积正六面体。中心点压力p(x,y,z)，受力分析沿x轴方向:1.表面力，因为是理想流体，没有切应力，。二0。dpdx左表面P=pA=(p-——)dydzTOC\o"1-5"\h\zMM dx2dpdx右表面P=pA=(p+----)dydzNN dx22.质量力，单位质量力在三个坐标轴上分量是fx，fy,fz。x轴方向质量力fxPdxdydz。在x轴方向由牛顿第二定律：工F=man(p-p—它)dydz-(p+——)dydz+fpdxdydz=Pdxdydz-n

dx2 dx2 x dtdpduf-———= —由前面速度随体导数》xPdxdtdpdu du du duf— =——+u——+v——+w——xpdxdt dx dy dz同样y轴z轴列方程，可以得到理想流体动量方程组。

1SpSuSuSuSu = +u——+v一+w一；pSxStSxSySz1SpSvSvSvSv—=——+u—+v一+w一；pSyStSxSySz1SpSwSwSwSw- +u——+v——+w——pSzStSxSySzfy-f「下面要推导粘性流体动量方程，也就是纳维斯托克斯方程，也叫做N-S方程。同样取一个微六面体，但粘性流体有切应力，分别对六个面做受力分析如图所示：x方向的受力，质量力，左右方向压力，前后面切力，上下面切力。由牛顿第二定律列方程:同样取一个微六面体，但粘性流体有切应力，分别对六个面做受力分析如图所示：x方向的受力，质量力，左右方向压力，前后面切力，上下面切力。由牛顿第二定律列方程:TOC\o"1-5"\h\z「7」「一， So …「fpdxdydz+odydz-(o+.◎dx)dydz一…沆，，J「… St ,,1-tdxdz-(t+—yxdy)dxdzl-ltdydx-(t+—zxdz)dydxyx yx Sy |[zx zx Szdu=pdxdydz——dt对粘性流体，切应力由广义牛顿内摩擦定律确定：

,SuSv.t=N( +—)=t;xy Sy Sx ,SuSv.t=N( +—)=t;xy Sy Sx yxSVv Szt=N(~z~+ =t;yz Sz Sy zy,Sw Su、T募+法XTxz粘性流体中某一点三个方向的压力是不相等的，任意点的压力与三个方向的正应力有以下关系式：p=1(o+o+o)；3xxyyzzo=p—2日以上广义牛顿内摩擦定律以及压力与正应力的关系可以找陈卓如老师的工程流体力学，有相关的解释。代入化简上面由牛顿第二定律得到的方程：fpdxdydz+odydz一(o+xxxxSo——xxdx)dydzSx一tdxdz—(t+yxyxSt yx

sydy)dxdzI—Itdydx—(t+Stdz)dydxzxzxdu一=pdxdydz——ndtSo .St .St 八dufp- xx-+ yx-+zxP (1)x Sx Sy Sz dtSu /SuSv、 /SwSu、把oxx=p—2NVx；Tyx=M和+sx)；T记+法)代入上式⑴中：「So St StdufP- XX-+ yx+ zx-=P ^^x Sx Sy Szdtdu=P而二S（p—2伫）端Su+京）du=P而二SxI SySX+_jSx__Sz_d.xdu -^dtTOC\o"1-5"\h\zs Sp ^S2U S2U S2V S2W S2du -^dtfp—上+2u +u——+u +u +u——=x SxSx2 Sy2 SxSy SxSz Sz2fp—|p+u

x SxS2u S2u Sfp—|p+u

x Sx+u——+u——+u +u +u =p——nSy2 Sz2 Sx2 SxSy SxSz dt「 Sp S2u S2u S2u S /Su Sv Sw、dufp——+u——+u——+u——+u—（——+—+——）=p——nx Sx Sx2 Sy2 Sz2 SxSx Sy Szdt由不可压缩流体连续性代入前面可以得到这部分为0 随体导致0 1SpS2uS2uS2uS