北师版九年级数学上册第3章概率的进一步认识

第三章

概率的进一步认识3.1用树状图或表格求概率第1课时用树状图法求

概率1课堂讲解两步试验的树状图两步以上试验的树状图2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1、什么叫事件的概率？2、一般地，如果在一次试验中有n种可能结果，

并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其

中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=

。复习回顾1知识点两步试验的树状图口袋中装有1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出1个球，放回搅匀，再摸出第2个球，两次摸球就可能出现3种结果：（1）都是红球;（2）都是白球;（3）一红一白.

这三个事件发生的概率相等吗？知1－导问

题知1－导思考：一位同学画出如图所示的树状图.第1次摸出球第2次摸出球红白红白红白从而得到，“摸出两个红球”和“摸出两个白球”的概率相等，“摸出一红一白”的概率最大.他的分析有道理吗？为什么？分析：把两个白球分别记作白1，和白2.如图,用画树状图的

方法看看有哪些等可能的结果：知1－导第1次摸出球红白1白2红白1白2红白1白2红白1白2第2次摸出球从中可以看出，一共有9种等可能的结果.在“摸出两红”、“摸出两白”、“摸出一红一白”这三个事件中，“摸出

”的概率最小，等于

，“摸出

”和“摸出

”的概率相等，都是

.知2－讲例1小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”游戏.游戏规

则如下：

由小明和小颖做“石头、剪刀、布”的游戏，如果两

人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，

那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规

则决定小明和小颖中的获胜者.

假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，你

认为这个游戏对三人公平吗？（来自教材）知2－讲解：因为小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，所以可

以利用树状图列出所有可能出现的结果：总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同.其中，（来自教材）知2－讲两人手势相同的结果有3种：（石头，石头）（剪刀，剪刀）（布，布），所以小凡获胜的概率为=；小明胜小颖的结果有3种：（石头，剪刀）（剪刀，布）（布，石头），所以小明获胜的概率为=；小颖胜小明的结果也有3种：（剪刀，石头）（布，剪刀）（石头，布），所以小颖获胜的概率为=.因此，这个游戏对三人是公平的.你能用列表的方法来解答例2吗？（来自教材）知1－讲树状图法：是用树状图的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的次数和方式，并求出概率的方法．用树状图求概率适用于求两步或两步以上试验的事件发生的概率，其画树状图和计算方法如图25.2­7：故共有m·n·k…种可能情况，再分别计算各类情况的概率．解：袋中4个珠子可以分别标记为H1，H2，L1，L2.用画“树状图”法求概率．从中任取2个珠子可看作第一次取出一个，不放回，

第二次再取出一个．画树状图如图.

可看出任取2个珠子共有12种等可能结果，其中都是蓝

色珠子的有两种结果，∴P(都是蓝色珠子)例2一个袋中有4个珠子，其中2个红色，2个蓝色，除

颜色外其余特征均相同，若从这个袋中任取2个珠

子，求都是蓝色珠子的概率．知1－讲三张外观相同的卡片分别标有数字1，2，3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是(

)知1－练1A质地均匀的骰子六个面分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生可能性最大的是(

)A．点数都是偶数B．点数的和为奇数C．点数的和小于13D．点数的和小于2知1－练2C经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，如果这三种可能性大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转、一辆右转的概率是(

)知1－练3C知2－讲抛掷一枚普通硬币3次.有人说“连续掷出三个正面”和“先掷出两个正面，再掷出一个反面”的概率是一样的.你同意吗？例3分析：对于第1次抛掷，可能出现的结果是正面或反面;对于第2、3次抛掷来说也是这样.而且每次硬币出现正面或反面的概率都相等.由此，我们可以画出树状图，如图25.2.7所示.2知识点两步以上试验的树状图知2－讲图25.2.7在图25.2.7中，从上至下每一条路径就是一种可能的结果，而且每种结果发生的概率相等.第1次正反正反正反正反正反正反正反第2次第3次知2－讲解：抛掷一枚普通硬币3次，共有以下8种机会均等的

结果：正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反.P（正正正）=P（正正反）=所以，题目中的说法正确.“先两个正面，再一个反面”就是“两个正面，一个反面”吗？知2－讲该树状图从上到下，列举了所有机会均等的结果，可以帮助我们分析问题，而且可以避免重复和遗漏，既直观又条理分明.解：用树状图分析所有可能的结果，如图.

例4小可、子宣、欣怡三人在一起做游戏时，需要确

定做游戏的先后顺序，他们约定用“剪子、包袱、

锤子”的方式确定，那么在一个回合中三个人都

出

“剪子”的可能性是多少？知2－讲由树状图可知，所有等可能的结果有27种，三人都出“剪子”的结果只有一种，所以在一个回合中三人都出“剪子”的可能性为总

结知2－讲在分析随机事件发生的可能性时，要从事件发生的结果入手，从中找出所关注的结果数，既不能遗漏任何一种可能结果，也不能重复计算，本题易忽略小可本身也有三种出法，而只考虑小可出“剪子”的可能结果，从而得到错误的树状图，如图，进而得出错误的结果为三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字“1”“2”“3”，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，记录牌上的数字并把牌放回，再重复这样的步骤两次，得到三个数字a，b，c，则以a，b，c为边长正好构成等边三角形的概率是(

)知2－练1A小刚很擅长球类运动，课外活动时，足球队、篮球队都力邀他到自己的阵营，小刚左右为难，最后决定通过掷硬币来确定．游戏规则如下：连续抛掷硬币三次，若三次正面朝上或三次反面朝上，则由小刚任意挑选两球队;若两次正面朝上一次正面朝下，则小刚加入足球阵营；若两次反面朝上一次反面朝下，则小刚加入篮球阵营．(1)用画树状图的方法表示三次抛掷硬币的所有结果．(2)小刚任意挑选两球队的概率有多大？(3)这个游戏规则对两个球队是否公平？为什么？知2－练2解：（1)根据题意画出如答图所示的树状图：知2－练知2－练(2)由树状图可知，共有8种等可能的结果：其中三次正面朝上或三次反面朝上的情况有2种.所以(3)这个游戏规则对两个球队公乎.理由如下：两次正面朝上一次正面朝下的情况有3种,两次反面朝上一次反面朝下的情况有3种,所以P(小刚加入足球阵营）等于(小刚加入篮球阵营）所以这个游戏规則对两个球队公乎.当事件涉及三个或三个以上元素时，用列表法不易列举出所有可能结果，用树状图可以依次列出所有可能的结果，求出n，再分别求出某个事件中包含的所有可能的结果，求出m，从而求出概率．用树状图法列举时，应注意取出后放回与不放回

的问题．3.1用树状图或表格求概率第1课时用树状图法求概率第三章概率的进一步认识1234567891011121314151．同时掷两枚质地均匀的硬币一次,两枚硬币都是正面朝上的概率是(

)A．1 B. C. D.D返回1知识点两步试验树状图2．(2017•邵阳)掷一枚质地均匀的硬币两次,可能出现的结果有四种,我们可以利用如图所示的树状图来分析所有可能出现的结果,那么掷一枚硬币两次,至少有一次出现正面的概率是________．返回3．(2017•济宁)将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中,这些球除汉字外无其他差别,每次摸球前先搅拌均匀,随机摸出一球,不放回；再随机摸出一球,两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的概率是(

)A. B. C.

D.B返回4．(2017•湖州)一个布袋里装有4个只有颜色不同的球,其中3个红球,1个白球,从布袋里摸出1个球,记下颜色后放回,搅匀,再摸出1个球,则两次摸到的球都是红球的概率是(

)A. B.

C. D.D返回5．(2017•泰安)袋内装有标号分别为1,2,3,4的4个小球,从袋内随机取出一个小球,让其标号为一个两位数的十位数字,放回搅匀后,再随机取出一个小球,让其标号为这个两位数的个位数字,则组成的两位数是3的倍数的概率为(

)A. B. C. D.B返回6．(2017•威海)甲､乙两人用如图所示的两个转盘(每个转盘被分成面积相等的3个扇形)做游戏,游戏规则：转动两个转盘各一次,当转盘停止后,指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上,则需要重返回新转动转盘．甲获胜的概率是(

)A. B. C. D.C7．(中考•荆门)在排球训练中,甲､乙､丙三人相互传球,由甲开始发球(记为第一次传球),则经过三次传球后,球仍回到甲手中的概率是(

)A. B. C. D.B2知识点两步以上试验树状图返回8．(2016•包头)同时抛掷三枚质地均匀的硬币,至少有两枚硬币正面向上的概率是(

)A. B. C. D.D返回9．小红､小明､小芳在一起做游戏时,需要确定游戏的先后顺序．他们约定用“石头､剪刀､布”的方式确定．问在一个回合中三个人都出“布”的概率是(

)A. B. C. D.D返回10．如图,一个小球从入口A往下落,在每个交叉口都有向左或向右两种可能,且两种可能性相等,则小球最终从出口E落出的概率为(

)A. B. C. D.C返回11．(2017•永州)已知从n个人中,选出m个人按照一定的顺序排成一行,所有不同的站位方法有n×(n－1)×…×(n－m＋1)种．现某校九年级甲､乙､丙､丁4名同学和1位老师共5人在毕业前合影留念(站成一行)．若老师站在中间,则不同的站位方法有(

)A．6种 B．20种 C．24种 D．120种C返回12．(2016•岳阳)已知不等式组(1)求不等式组的解集,并写出它的所有整数解；(2)在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘,请用画树状图的方法求积为正数的概率．1题型树状图法在求与代数相关的概率中的应用返回解：(1)由①得x>－2，由②得x≤2，∴不等式组的解集为－2<x≤2.∴它的所有整数解为－1，0，1，2.(2)画树状图如图所示．由树状图可知共有12种等可能的结果，其中积为正数的有2种结果，∴积为正数的概率为13．(2017•六盘水)端午节当天,小明带了四个粽子(除味道不同外,其他均相同),其中两个是大枣味的,另外两个是火腿味的,准备按数量平均分给小红和小刚两个好朋友．(1)请你用画树状图的方法表示小红拿到的两个粽子的2题型树状图法在求实际问题的概率中的应用所有可能性．(2)请你计算小红拿到的两个粽子刚好是同一味道的概率．解：(1)记两个大枣味的粽子分别为A1，A2，两个火腿味的粽子分别为B1，B2.画树状图如图所示．返回(2)由(1)可知，一共有12种等可能的结果，小红拿到的两个粽子刚好是同一味道的有4种结果，所以小红拿到的两个粽子刚好是同一味道的概率为树状图法在求三步试验的概率中的应用14．体育课上,小明､小强､小华三人在踢足球,足球从一人传到另一人就记为踢一次．(1)如果从小强开始踢,经过两次踢球后,足球踢到小华处的概率是多少(用树状图表示)?(2)如果踢三次后,足球踢到小明处的可能性最小,应从3题型谁开始踢？请说明理由．14．解：(1)如图：由树状图易知P(两次后，足球踢到小华处)＝.(2)应从小明开始踢．理由如下：如图：返回由树状图可知，若从小明开始踢，P(三次后，踢到小明处)＝

＝

，同理，若从小强开始踢，P(三次后，踢到小明处)＝

，若从小华开始踢，P(三次后，踢到小明处)＝

，故应从小明开始踢．15．(2017•安顺)随着交通道路的不断完善,带动了旅游业的发展,某市旅游景区有A,B,C,D,E等著名景点,该市旅游部门统计绘制出2017年“五•一”长假期间旅游情况统计图,根据以下信息解答下列问题：(1)2017年“五•一”期间,该市周边景点共接待游客________万人,扇形统计图中A景点所对应的圆心角的度数是________,并补全条形统计图．(2)根据近几年到该市旅游人数增长趋势,预计2018年“五•一”节将有80万游客选择该市旅游,请估计有多少万人会选择去E景点旅游？(3)甲､乙两个旅行团在A,B,D三个景点中,同时选择去同一景点的概率是多少？请用画树状图法加以说明,并列举所有等可能的结果．解：(1)50；108°补全条形统计图如图所示．(2)∵E景点接待游客人数所占的百分比为×100%＝12%，∴2018年“五•一”节选择去E景点旅游的人数约为80×12%＝9.6(万人)．(3)画树状图如图所示．所有等可能的结果有AA，AB，AD，BA，BB，BD，DA，DB，DD，共有9种，其中同时选择去同一景点的结果有3种，∴同时选择去同一景点的概率为返回第三章

概率的进一步认识3.1用树状图或表格求概率第2课时用枚举法和列表法求概率1课堂讲解用枚举法求概率用列表法求概率2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1、什么叫事件的概率？2、一般地，如果在一次试验中有n种可能结果，

并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其

中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=

。复习回顾1知识点用枚举法求概率1.枚举法:一个问题中，如果有优先的几种可能的情况,往往需要将这些可能的情况全部列举出来，逐个进行讨论.这种方法就称为枚举.2.用枚举法求概率的步骤：（1）列举出所有可能出现的结果；（2）找出要求的事件的结果；（3）利用公式求概率.3.要点精析：枚举时，考虑要全面，做到不重复、不遗漏.

知1－讲解：袋中4个珠子可以分别标记为H1，H2，L1，L2.用“一一列举法”法求概率．从袋中任取2个珠子的所有等可能的结果为(H1，H2)，(H1，L1)，(H1，L2)，(H2，L1)，(H2，L2)，(L1，L2)，共六种，其中都是蓝色珠子的结果只有(L1，L2)一种，故P(都是蓝色珠子)＝例1一个袋中有4个珠子，其中2个红色，2个蓝色，

除颜色外其余特征均相同，若从这个袋中任

取2个珠子，求都是蓝色珠子的概率．知1－讲甲、乙、丙三人站成一排拍照，则甲站在中间的概率是(

)知1－练1B有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，随机抽取3张，用抽到的三个数字作为边长，恰能构成三角形的概率是(

)知1－练2A如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，则能让灯泡

发光的概率是(

)知1－练3B2知识点用列表法求概率知2－导

掷两枚普通的正方体骰子，掷得的点数之积有多少种可能？点数之积为多少的概率最大，其概率是多少?

我们用表25.2.6来列举所有可能得到的点数之积.问题这一问题的树状图不如列表的结果简明知2－讲列表法：定义：用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的

次数和方式，以及某一事件发生的次数和方式，并求

出概率的方法．适用条件：如果事件中各种结果出现的可能性均等，

含有两次操作(如掷骰子两次)或两个条件(如两个转盘)

的事件．列表的方法：选其中的一次操作或一个条件作为横行，

另一次操作或另一个条件为竖行，列表计算概率，如

下示范表格：知2－讲例2一个盒子中装有两个红球、两个白球和一个蓝

球，这些球除颜色外都相同.从中随机摸出一个

球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，

求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率.（来自教材）知3－讲解：先将两个红球分别记作“红1”“红2”，两个白

球分别记作“白1”“白2”，然后列表如下：（来自教材）知3－讲第二次第一次红1红2白1白2蓝红1（红1，红1）（红1，红2）（红1，白1）（红1，白2）（红1，蓝）红2（红2，红1）（红2，红2）（红2，白1）（红2，白2）（红2，蓝）白1（白1，红1）（白1，红2）（白1，白1）（白1，白2）（白1，蓝）白2（白2，红1）（白2，红2）（白2，白1）（白2，白2）（白2，蓝）蓝（蓝，红1）（蓝，红2）（蓝，白1）（蓝，白2）（蓝，蓝）（来自教材）知3－讲总共有25种结果，每种结果出现的可能性相同，而两次摸到的球的颜色能配成紫色的有结果有4种：（红1，蓝）（红2，蓝）（蓝，红1）（蓝，红2），所以，P（能配成紫色）=小莉的爸爸买了一张去音乐会的门票，她和哥哥两人都很想去，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将牌面为1，2，3，5的四张牌给小莉，将牌面为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌的牌面数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去．(1)请用列表的方法求小莉去听音乐会的概率；哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．知2－讲例3知2－讲导引：(1)本题涉及两次抽牌，可通过列表求和找出所有等

可能的结果和关注的结果，再计算符合要求的概率；(2)判断游戏是否公平，主要看双方获胜的概率是否

相同，若获胜的概率相同，则游戏公平，否则不公平．解：(1)列表如下：

由表格求出各方格中两数之和可知，所有等可

能的结果有16种，其中和为偶数的有6种，所以小莉

哥哥46781(1，4)(1，6)(1，7)(1，8)2(2，4)(2，6)(2，7)(2，8)3(3，4)(3，6)(3，7)(3，8)5(5，4)(5，6)(5，7)(5，8)知2－讲P(和为偶数)P(和为奇数)

即小莉去听音乐会的概率为（2）由(1)列表的结果可知：小莉去听音乐会的概率为

哥哥去听音乐会的概率为两人获胜的概率不相等，所以游戏不公平，对哥哥有利．游戏规则改为：若和为8或9或10，则小莉去；若和为其他数，则哥哥去(修改的游戏规则答案不唯一，只要双方获胜的概率相等即可)．总

结知2－讲对于两步试验(两个条件或两次操作)且可能出现的结

果比较多时，用直接列举法易出错，为了不重不漏地

列出所有可能的结果，用列表法较好．用列表法求概率的步骤：①列表；②通过表格计数，

确定所有等可能的结果数n和关注的结果数m的值；

③利用概率公式P(A)＝计算出事件的概率．(3)在列出并计算各种情况出现的总次数和某事件

发生的次数时不能重复也不能遗漏．列表法与树状图法的联系与区别：联系：应用列表法或树状图法求概率的共同前提是：

(1)各种情况出现的可能性是相等的；(2)某事件发生的概率公式均为用树状图法或列表法时，当随机事件包含两步时，尤其是转转盘游戏问题，当其中一个转盘被等分成2份以上时，选用列表法比较方便，当然此时也可用树状图法；当随机事件包含三步或三步以上时，用树状图法方便，此时难以列表区别：从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点(a，b)在函数y＝的图象上的概率是(

)知2－练1D枚举法和列表法一般适用于两个元素进行两步试验的题目，在列举可能的结果时，要分清“放回”与“不放回”两种情况．3.1用树状图或表格求概率第2课时

用枚举法和列表法求概率第三章概率的进一步认识1234567891011121314151．在一次试验中,若可能出现的结果只有______个,且各种结果出现的可能性大小________,可用列举试验结果的方法,求出随机事件发生的概率．返回1知识点用枚举法求概率有限相等2．(2017•张家界)某校高一年级今年计划招四个班的新生,并采取随机摇号的方法分班,小明和小红既是该校的高一新生,又是好朋友,那么小明和小红分在同一个班的机会是(

)A. B. C. D.返回A3．(2016•金华)小明和小华参加社会实践活动,随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项,那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为(

)A. B.

C.

D.A返回4．(2017•临沂)小明和小华玩“石头､剪刀､布”的游戏,若随机出手一次,则小华获胜的概率是(

)A. B. C. D.C返回5．(2017•淄博)在一个不透明的袋子里装有四个小球,球上分别标有6,7,8,9四个数字,这些小球除数字外都相同．甲､乙两人玩“猜数字”游戏,甲先从袋中任意摸出一个小球,将小球上的数字记为m,再由乙猜这个小球上的数字,记为n.如果m,n满足|m－n|≤1,那么就称甲､乙两人“心领神会”,则两人“心领神会”的概率是(

)A. B. C. D.6．(中考•自贡)如图,随机闭合开关S1,S2,S3中的两个,则能让灯泡发光的概率是(

)A. B. C. D.B返回B7．列表法求概率：当一次试验涉及____个因素,并且可能出现的结果数目较____时,为不重不漏地列出所有可能结果,通常采用列表法．两2知识点用列表法求概率返回多8．(2016•乐山)现有两枚质地均匀的正方体骰子,每枚骰子的六个面上都分别标有数字1,2,3,4,5,6.同时投掷这两枚骰子,以朝上一面所标的数字为掷得的结果,那么所得结果之和为9的概率是(

)A. B. C. D.C返回9．已知一次函数y＝kx＋b,k从2,－3中随机取一个值,b从1,－1,－2中随机取一个值,则该一次函数的图象经过第二､三､四象限的概率为(

)A. B. C. D.A返回10．(中考•泰安)若十位上的数字比个位上的数字､百位上的数字都大的三位数叫做中高数,如796就是一个“中高数”．若十位上的数字为7,则从3,4,5,6,8,9中任选两数,与7组成“中高数”的概率是(

)A. B. C. D.C返回11．(2017•海南)如图,两个转盘分别自由转动一次,当停止转动时,两个转盘的指针都指向2的概率为(

)A. B.

C. D.D返回12．(2016•恩施州)有6张看上去无差别的卡片,上面分别写着1,2,3,4,5,6,随机抽取一张后,放回并混在一起,再随机抽取一张,两次抽取的数字的积为奇数的概率是(

)A. B. C.

D.B返回13．(2017•白银)在一次数学兴趣小组活动中,李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏(每个转盘被分成面积相等的几个扇形,并在每个扇形区域内标上数字)．游戏规则如下：1题型列表法在求实际问题的概率中的应用两人分别同时转动甲､乙转盘,转盘停止后,若指针所指区域内两数和小于12,则李燕获胜；若指针所指区域内两数和等于12,则为平局；若指针所指区域内两数和大于12,则刘凯获胜(若指针停在等分线上,重转一次,直到指针指向某一份内为止)．(1)请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；(2)分别求出李燕和刘凯获胜的概率．解：(1)根据题意列表如下：乙和甲678939101112410111213511121314返回(2)由(1)可知，两数和共有12种等可能的情况，其中和小于12的情况有6种，和大于12的情况有3种，∴李燕获胜的概率为

，刘凯获胜的概率为14．(中考•凉山州)有甲､乙两个不透明的布袋,甲袋中装有3个完全相同的小球,分别标有数0,1,2；乙袋中装有3个完全相同的小球,分别标有数－1,－2,0.先从甲袋中随机抽取一个小球,记录标有的数为x；再从乙袋中随机抽取一个小球,记录标有的数为y,确定点M2题型列表法在求与函数､圆的综合的概率中的应用的坐标为(x,y)．(1)用列表法列举点M所有可能的坐标；(2)求点M(x,y)在函数y＝－x＋1的图象上的概率；(3)在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径是2,求点M(x,y)不在⊙O内的概率．(1)根据题意列表如下：解：y

x

－1－200(0，－1)(0，－2)(0，0)1(1，－1)(1，－2)(1，0)2(2，－1)(2，－2)(2，0)返回(2)在函数y＝－x＋1的图象上的点有(1，0)，(2，－1)，所以点M(x，y)在函数y＝－x＋1的图象上的概率为

.(3)在⊙O上的点有(0，－2)，(2，0)，在⊙O外的点有(1，－2)，(2，－1)，(2，－2)，所以点M(x，y)不在⊙O内的有5个．所以点M(x，y)不在⊙O内的概率为

.15．(2017•荆门)荆冈中学决定在本校学生中,开展足球､篮球､羽毛球､乒乓球四种活动,为了了解学生对这四种活动的喜爱情况,学校随机调查了该校m名学生,看他们喜爱哪一种活动(每名学生必选一种且只能从这四种活动中选择一种),现将调查的结果绘制成如下不完整的统计图．枚举法(1)m＝________,n＝________；(2)请补全图中的条形统计图；(3)根据抽样调查的结果,请估算全校1800名学生中,大约有多少人喜爱踢足球；(4)在抽查的m名学生中,喜爱打乒乓球的有10名同学(其中有4名女生,包括小红､小梅),现将喜爱打乒乓球的同学平均分成两组进行训练,且女生每组分两人,求小红､小梅能分在同一组的概率．10015(2)喜爱打篮球的有100×35%＝35(人)．补全条形统计图如图所示．(3)全校1800名学生中，喜爱踢足球的有1800×＝720(人)．答：全校1800名学生中，大约有720人喜爱踢足球．(4)记四名女生分别为A(小红)，B(小梅)，C，D，则出现的所有可能结果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，A)，(B，C)，(B，D)，(C，A)，(C，B)，(C，D)，(D，A)，(D，B)，(D，C)∴小红、小梅能分在同一组的概率是返回3.1用树状图或表格求概率第3课时

用概率判断游戏规则的公平性第三章概率的进一步认识1课堂讲解用概率说明普通游戏的公平性用概率说明几何游戏的公平性2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1知识点用概率说明普通游戏的公平性知1－讲用概率说明普通游戏是否公平，关键看获胜的概率是否相同，相同则公平，不相同则不公平。求事件发生的概率时，常会用到列表法和树形图法2．列表法与画树状图法的联系与区别：联系：应用列表法或画树状图法求概率的共同前提是：(1)各种情况出现的可能性是相等的；(2)某事件发生的概率公式均为

P(A)＝(3)在列出并计算各种情况出现的总次数和某事件发生

的次数时不能重复也不能遗漏．知1－讲区别：用画树状图法和列表法时，当随机事件包含两步时，尤其是转盘游戏问题，当其中一个转盘被等分成2份以上时，选用列表法比较方便，当然此时也可用画树状图法；当随机事件包含三步或三步以上时，用画树状图法方便，此时难以列表．知1－讲例1“石头、剪刀、布”是民间广为流传的一种游戏，游

戏的两人每次做“石头”“剪刀”“布”三种手势中

的一种，并约定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜

“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负须继

续比赛.现有甲、乙两人做这种游戏.(1) 一次游戏中甲获胜、乙获胜的概率各是多少？(2) 这种游戏对于两个人来说公平吗？

若分别用A，B表示甲、乙两人，用1，2，3表示石头、

剪刀、布，则A1表示甲出石头、

B2表示乙出剪刀，依

次类推.于是，游戏的所有结果用“树状图”来表示：知1－讲解：知1－讲开始A1A2A3B1B3B2甲乙B1B3B2B1B3B2所有结果是9种，且出现的可能性相等.因此，一次游戏时：甲获胜的结果有(A1，B2)，(A2,B3)，(A3,B1)这3种，

故甲获胜的概率是

同理，乙获胜的概率也

是由(1)可知，这种游戏中，两人获胜的概率都是

机会均等，故游戏对于两人来说是公平的.知1－讲总

结判断游戏的公平性是通过概率来判断的，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率相等，则游戏公平，否则不公平．知1－讲例2某人的密码箱密码由三个数字组成，每个数字都是

从0〜9中任选的.如果他忘记了自己设定的密码，求

在一次随机试验中他能打开箱子的概率.设在一次随机试验中他能打开箱子的事件为A.根据

题意，在一次随机试验中选择的号码应是000〜999

中的任意一个3位数，所有可能出现的结果共有1000

种，且出现每一种结果的可能性相等.要能打开箱子，

即选择的号码与密码相同的结果只有1种，所以

P(A)=

答：在一次随机试验中他能打开箱子的概率为知1－讲解：总

结知1－讲找全所有可能结果是解题的关键.1同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则下列事件发生的概率最大的是(

)A．两正面都朝上B．两背面都朝上C．一个正面朝上，另一个背面朝上D．三种情况发生的概率一样大知1－练C2一个箱子中装有红、黄、黑三个小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后不放回，摸出黑色小球为赢，这个游戏(

)A．公平B．不公平C．先摸者赢的可能性大D．后摸者赢的可能性大知1－练A3知1－练小明和小亮做游戏，先各自在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看．他们约定：若两人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；若两人所写的数一个是奇数，另一个是偶数，则小亮获胜．这个游戏(

)A．对小明有利B．对小亮有利C．公平D．无法确定对谁有利C2知识点用概率说明几何游戏的公平性知2－讲例3甲、乙两人要去风景区游玩，仅知道每天开往风景区有3辆汽车，并且舒适程度分别为上等、中等、下等3种，

但不知道怎样区分这些车，也不知道它们会以怎样的顺

序开来.于是他们分别采用了不同的乘车办法：甲乘第1

辆开来的车.乙不乘第1辆车，并且仔细观察第2辆车的情

况，如比第1辆车好，就乘第2辆车;如不比第1辆车好，

就乘第3辆车.试问甲、乙两人的乘车办法，哪一种更有

利于乘上舒适度较好的车？容易知道3辆汽车开来的先后顺序有如下6种可能情况：(上中下)，（上下中），（中上下），(中下上)，（下上中），（下中上）.假定6种顺序出现的可能性相等，我们来看一看在各种可能的顺序之下，甲、乙两人分别会乘到哪一辆汽车：解：知2－讲顺序甲乙(上中下)上下(上下中)上中(中上下)中上(中下上)中上(下上中)下上(下中上)下中知2－讲于是不难看出：甲乘到上等、中等、下等3种汽车的概率都是而乙乘到上等汽车的概率是,乘到中等汽车的概率是，乘到下等汽车的概率却只有答：乙的乘车办法更有利于乘上舒适度较好的车.解：知2－讲总

结知2－讲找出游戏规则下可能要发生的结果数需要理解游戏的规则，必须深入读题。1知2－练如图，小明、小刚利用两个转盘玩游戏，规则为将两个转盘各转一次，如配成紫色(红与蓝)小明得5分，否则小刚得3分，此规则(

)A．公平B．对小明有利C．对小刚有利D．不可预测对谁有利A2知2－练王红和刘芳两人玩转盘游戏，如图，把转盘A，B分别分成3等份，并在每一份内标上数字，游戏规则：转动两个转盘，停止后指针所指的两个数字之和为7时，王红胜；数字之和为8时，刘芳胜，那么这二人中获胜可能性较大的是________．王红对于游戏不公平的问题，可以利用相应问题中的可能情形改动游戏规则，使修改后游戏是公平的，而修改游戏规则的方式有多种情形，只要合理即可，一般采用使所获得的概率相等达到目的.3.1用树状图或表格求概率第2课时

用枚举法和列表法求概率第三章概率的进一步认识12341．(2017•贺州)在“植树节”期间,小王､小李两人想通过摸球的方式来决定谁去参加学校植树活动,规则如下：在两个盒子内分别装入标有数字1,2,3,4的四个和标有数字1,2,3的三个完全相同的小球,分别从两个盒子中各摸出一个球,如果所摸出的球上的数字之和小于6,那么1类型利用概率判断摸球游戏的公平性小王去,否则就是小李去．(1)用画树状图法或列表法求出小王去的概率；(2)小李说：“这种规则不公平”,你认同他的说法吗？请说明理由．解：(1)画树状图如图所示．共有12种等可能的结果，其中摸出的球上的数字之和小于6的情况有9种，∴P(小王去).(2)认同，理由如下：∵P(小王去)＝

，P(小李去)＝

，

≠，∴规则不公平.返回2．(2017•营口)如图,有四张背面完全相同的纸牌A,B,C,D,其正面分别画有四个不同的几何图形,将这四张纸牌背面朝上洗匀．2类型利用概率判断翻牌游戏的公平性(1)从中随机摸出一张,求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率；(2)小明和小亮约定做一个游戏,其规则如下：先由小明随机摸出一张纸牌,不放回,再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张,若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形小明获胜,否则小亮获胜,这个游戏公平吗？请用列表法(或画树状图法)说明理由(纸牌用A,B,C,D表示)．解：(1)共有四张牌，牌面图形是中心对称图形的有三张，∴摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是

.(2)这个游戏公平．理由：列表如图：

ABCDA

(A，B)(A，C)(A，D)B(B，A)

(B，C)(B，D)C(C，A)(C，B)

(C，D)D(D，A)(D，B)(D，C)

共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张牌面图形都是轴对称图形的有6种结果，∴P(摸出的两张牌面图形都是轴对称图形)＝

，因此这个游戏公平．返回3．(2017•通辽)小兰和小颖用下面两个可以自由转动的转盘做游戏,每个转盘被分成面积相等的几个扇形,转动两个转盘各一次,若两次指针所指数字之和小于4,则小兰胜,否则3类型利用概率判断转盘游戏的公平性小颖胜(指针指在分界线时重转),这个游戏对双方公平吗？请用画树状图法或列表法说明理由．解：这个游戏对双方是公平的．理由：如图：一共有6种等可能的情况，其中和小于4的情况有3种．∴P(和小于4)∴这个游戏对双方是公平的．返回4．“五一”假期,某公司组织部分员工分别到A,B,C,D四地旅游,公司按定额购买了前往各地的车票．如图是未制作完的车票种类和数量的条形统计图,根据统计4类型利用概率判断掷骰子游戏的公平性图回答下列问题：(1)若去D地的车票占全部车票的10%,请求出去D地车票的数量,并补全统计图．(2)在(1)的前提下,若公司采用随机抽取的方式分发车票,每人抽取一张(所有车票的形状､大小､质地完全相同且充分洗匀),那么员工小胡抽到去A地的概率是多少？(3)若有一张车票,小王､小李都想要,决定采取抛掷一枚各面分别标有1,2,3,4的正四面体骰子的方法来确定这张车票的归属,具体规则如下：每人各抛掷一次,若小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小,车票给小王,否则给小李．试用列表法或画树状图法分析,这个规则公平吗？解：(1)设去D地的车票有x张，则x＝(x＋20＋40＋30)×10%，解得x＝10，即去D地的车票有10张，补全统计图如图所示．(2)员工小胡抽到去A地的概率为(3)列表如下：共有16种等可能的结果，其中小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小的有6种，分别为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)．所以小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小的概率为易知小王掷得着地一面的数字不小于小李掷得着地面的数字的概率为因为

≠，所以这个规则不公平．返回第三章

概率的进一步认识3.2用频率估计概率1课堂讲解用频率估计概率

频率与概率的关系2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升400个同学中，一定有2个同学的生日相同（可以不同年）吗？300个同学呢？可有人说：“50个同学中，就很可能有两个同学的生日相同.”你同意这种说法吗？与同伴交流.1知识点用频率估计概率

议一议为了说明上述说法正确与否，我们可以通过大量重复试验，用“50个人中有2个人的生日相同”的频率来估计这一事件的概率.请你设计试验方案，并与同伴交流.知1－导知1－讲1．频率：在试验中，某事件发生的次数与总次数的比值．2．用频率估计概率①一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p，那么事件A发生的概率P(A)＝p.②试验的所有可能结果不是有限个或者可能出现的结果发

生的可能性不一定相等时，都可以通过统计频率来估计

概率．③注意点：一般地，用频率估计概率时，试验次数应该尽

可能多，试验次数越多，结果越接近事件发生的概率．知1－讲④概率是通过大量重复试验中频率的稳定性得到的介于0～1的常数，它反映了事件发生的可能性大小．3．二级结论：(1)当试验次数很多时，一个事件发生的频率稳定在相应的

概率附近．(2)频率是通过试验得到的一个数据结果，因试验次数的不

同而有所改变，是一个实际的具体值．概率是一个事件

发生的可能性大小的理论值，它不因试验次数的改变而

变化，是一个常数．知1－讲【例1】

关于频率和概率的关系，下列说法正确的是(

)A．频率等于概率B．当试验次数很大时，频率稳定在概率附近C．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近D．试验得到的频率与概率不可能相等导引：A.频率只能估计概率；B.正确；C.概率是定值；D.可以相同，如“抛硬币试验”，可得到正面向

上的频率为0.5，与概率相同，故选B.B1

（中考·资阳）在一个不透明的盒子里，装有4个黑球

和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别．摇

匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子

中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则

估计盒子中大约有白球(

)A．12个B．16个C．20个D．30个2在“拋掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”，“2”，“3”，“4”，“5”和“6”，

如果试验的次数增多，出现数字“6”的频率的变化趋势

是接近________．知1－练A2知识点频率与概率的关系知2－讲1．非等可能事件是无法用概率公式求概率的，只

能通过大量试验，用频率来估计概率．2．非等可能事件一般是不能用替代物来模拟试验

的．知2－讲【例2】

一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，

它的反面是平的．将它从一定高度下掷，落地反弹后

可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下，由于

棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，

某同学做了棋子下掷试验，试验数据如下表：试验次数20406080100120140160“兵”字面朝上14384752667888相应频率0.700.450.630.590.550.56知2－讲(1)请将数据表补充完整(精确到0.01)；(2)画出“兵”字面朝上的频率分布折线图；(3)如将试验继续进行下去，根据上表的数据，这个试验的频

率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少？导引：利用“频率＝事件发生的次数÷试验次数”完成表格，对应转化成折线图，结合折线图估计事件的概率．知2－讲解：(1)表中从左到右依次填18，0.52，0.55.(2)绘制的频率分布折线图如图.(3)随着试验次数的增加，“兵”字面朝上的频率逐渐稳

定在0.55左右，利用这个频率估计P（“兵”字面朝上）

＝0.55.知2－练王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅

匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球(有放回)，下表是活动进行中的一组统计数据．摸球的次数n1001502005008001000摸到黑球的次数m233160130203251摸到黑球的频率0.2300.2070.3000.2600.254频率与概率间的关系：(1)概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映；(2)概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，

所以可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计

得到事件发生的概率，二者不能等同．注意：用频率估计概率大小时，(1)试验要在相同条件下进行；(2)重复试验的次数要足够多．3.2用频率估计概率第三章概率的进一步认识1234567891011121．求一个随机事件发生的概率的基本方法可以是：通过大量的重复试验,用一个随机事件发生的_____去估计它的概率．频率返回1知识点用频率估计概率2．(2017•营口)在一个不透明的箱子里装有红色､蓝色､黄色的球共20个,除颜色外,形状､大小､质地等完全相同,小明通过多次摸球试验后发现摸到红色､黄色球的频率分别稳定在10%和15%,则箱子里蓝色球的个数很可能是________个．返回153．(2017•兰州)一个不透明的盒子里有n个