2019数学（京、津）专用（文）优编增分练中档大题规范练（四）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精(四)立体几何1．（2018·峨眉山市第七教育发展联盟模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PB⊥PA，PB＝PA，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝8，BC＝6，CD＝10，M是PA的中点．（1）求证：BM∥平面PCD；（2)求三棱锥B－CDM的体积．(1)证明取PD中点N，连接MN，NC，∵MN为△PAD的中位线，∴MN∥AD，且MN＝eq\f（1，2）AD。又∵BC∥AD，且BC＝eq\f（1，2)AD，∴MN∥BC,且MN＝BC,则BMNC为平行四边形，∴BM∥NC,又∵NC⊂平面PCD，MB⊄平面PCD,∴BM∥平面PCD.（2）解过M作AB的垂线，垂足为M′，又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB,MM′⊂平面PAB，∴MM′⊥平面ABCD。∴MM′为三棱锥M－BCD的高,∵AB＝8，PA＝PB，∠BPA＝90°,∴△PAB边AB上的高为4，∴MM′＝2，过C作CH⊥AD交AD于点H，则CH＝AB＝8,S△BCD＝eq\f（1,2）×BC×CH＝eq\f（1,2)×6×8＝24，∴VB－CDM＝VM－BCD＝eq\f（1,3)S△BCD×MM′＝eq\f（1，3)×24×2＝16.2.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P,C)，平面ABE与棱PD交于点F.（1)求证：AB∥EF；（2)若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD.证明(1)因为四边形ABCD是矩形,所以AB∥CD.又AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，所以AB∥平面PDC，又因为AB⊂平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，所以AB∥EF.（2）因为四边形ABCD是矩形,所以AB⊥AD。因为AF⊥EF，（1)中已证AB∥EF，所以AB⊥AF.由点E在棱PC上(异于点C)，所以点F异于点D,所以AF∩AD＝A,AF，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又AB⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.3．（2018·安徽省合肥市第一中学模拟）在如图所示的几何体ACBFE中，AB＝BC，AE＝EC，D为AC的中点，EF∥DB。（1）求证:AC⊥FB;（2)若AB⊥BC,AB＝4，AE＝3，BF＝eq\r(3)，BD＝2EF,求该几何体的体积．(1)证明∵EF∥BD，∴EF与BD确定平面EFBD，连接DE,∵AE＝EC,D为AC的中点，∴DE⊥AC.同理可得BD⊥AC，又∵BD∩DE＝D,BD，DE⊂平面EFBD，∴AC⊥平面EFBD，∵FB⊂平面EFBD，∴AC⊥FB.（2）解由（1)可知AC⊥平面BDEF,∴VACBFE＝VA－BDEF＋VC－BDEF＝eq\f（1，3）·SBDEF·AC，∵AB＝BC，AB⊥BC，AB＝4，∴AC＝4eq\r(2），BD＝2eq\r(2)，又AE＝3,∴DE＝eq\r（AE2－AD2）＝1.在梯形BDEF中,取BD的中点M，连接MF,则EF∥DM且EF＝DM,∴四边形FMDE为平行四边形，∴FM∥DE且FM＝DE。又BF＝eq\r(3），∴BF2＝FM2＋BM2，∴FM⊥BM，S梯形BDEF＝eq\f(1，2）×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\r（2)＋2\r（2)))×1＝eq\f(3\r（2),2），∴VACBFE＝eq\f(1，3)×eq\f（3\r（2），2)×4eq\r(2）＝4。4。在如图所示的几何体中,EA⊥平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AD＝eq\f(1,2)BC，AD＝1，∠ABC＝60°,EF∥AC，EF＝eq\f（1,2）AC.（1)证明：AB⊥CF；(2)若多面体ABCDFE的体积为eq\f（3\r(3)，8)，求线段CF的长．(1)证明∵EA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD,∴EA⊥AB，作AH⊥BC于点H,在Rt△ABH中，∠ABH＝60°，BH＝eq\f(1,2），得AB＝1，在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos60°＝3，∴AB2＋AC2＝BC2,∴AB⊥AC.又AC∩EA＝A,AC，EA⊂平面ACFE，∴AB⊥平面ACFE，又∵CF⊂平面ACFE，∴AB⊥CF。(2）解设AE＝a，作DG⊥AC于点G,由题意可知平面ACFE⊥平面ABCD，又平面ACFE∩平面ABCD＝AC，DG⊂平面ABCD，∴DG⊥平面ACFE，且DG＝eq\f（1，2),又VB－ACFE＝eq\f（1,3）S梯形ACFE×AB＝eq\f（1,3）×eq\f(1，2）×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（\r（3），2)＋\r（3））)×a×1＝eq\f(\r(3)，4）a，VD－ACFE＝eq\f(1，3）S梯形ACFE×DG＝eq\f(1,3)×eq\f(1，2）×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(\r（3）,2）＋\r(3））)×a×eq\f（1,2)＝eq\f（\r（3),8）a,∴V多面体ABCDFE＝VB－ACFE＋VD－ACFE＝eq\f(3\r(3）,8)a＝eq\f（3\r（3)，8），得a＝1.连接FG，则FG⊥AC，∴CF＝eq\r（FG2＋CG2)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(\r(3),2））)2)＝eq\f(\r（7),2）。5．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC,∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点，PA＝PD,BC＝eq\f(1,2)AD.（1)求证:平面PQB⊥平面PAD；（2)若三棱锥A—BMQ的体积是四棱锥P—ABCD体积的eq\f（1,6)，设PM＝tMC,试确定t的值．(1)证明∵AD∥BC，BC＝eq\f（1,2）AD，Q为AD的中点,∴QD∥BC且QD＝BC,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD∥BQ。∵∠ADC＝90°，∴∠AQB＝90°,即QB⊥AD。又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，BQ⊂平面ABCD，∴BQ⊥平面PAD，∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD.（2)解∵PA＝PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PQ⊂平面PAD,∴PQ⊥平面ABCD.设PQ＝h，梯形ABCD的面积为S，则三角形ABQ的面积为eq\f(1,3)S，VP—ABCD＝eq\f（1,3)Sh.又设M到平面ABCD的距离为h′,则VA-BQM＝VM—ABQ＝eq\f（1，3）·eq\f(1,3)Sh′，根据题意eq\f（1,3）·eq\f（1,3)Sh′＝eq\f(1,6)·eq\f(1，3)Sh，∴h′＝eq\f（1,2）h，故eq\f(MC,PC)＝eq\f（h′,h)＝eq\f(1，2），∴M为PC的中点，∴t＝1.6．(2018·四川省成都市第七中学诊断)在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形，AB∥DC，CD⊥AD，平面ABCD⊥平面ADEF,AB＝AD＝1，CD＝2。(1)求证：平面EBC⊥平面EBD；(2）设M为线段EC上一点,3eq\o（EM,\s\up6（→））＝eq\o(EC，\s\up6（→)），试问在线段BC上是否存在一点T，使得MT∥平面BDE？若存在，试指出点T的位置；若不存在，说明理由；(3)在（2)的条件下,求点A到平面MBC的距离．（1）证明因为平面ABCD⊥平面ADEF,平面ABCD∩平面ADEF＝AD,ED⊥AD，ED⊂平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，∴ED⊥BC.过B作BH⊥CD交CD于点H。故四边形ABHD是正方形，所以∠ADB＝45°。在△BCH中，BH＝CH＝1，∴∠BCH＝45°，BC＝eq\r（2)，又∠BDC＝45°,∴∠DBC＝90°，∴BC⊥BD。∵BD∩ED＝D，BD,ED⊂平面EBD，∴BC⊥平面EBD，BC⊂平面EBC，∴平面EBC⊥平面EBD.（2）解在线段BC上存在点T，使得MT∥平面BDE.在线段BC上取点T,使得3eq\o(BT，\s\up6（→）)＝eq\o(BC，\s\up6（→）），连接MT。在△EBC中,∵eq\f(BT，BC)＝eq\f（EM,EC）＝eq\f（1，3),∴△CMT∽△CEB，所以MT∥EB,又MT⊄平面BDE，EB⊂平面BDE，∴MT∥平面BDE。

(3）解点A到平面MBC的距离就是点A到平面EBC的距离,设点A到平面EBC的距离为h，由（1）得BC⊥EB，BE＝eq\r（3）,BC＝eq\r（2),利用等积法,可得VA－EBC＝V