浙江专用高考数学大一轮复习第三章导数其应用单元质检

单元质检三导数及其应用(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每题4分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项切合题目要求的)1.已知函数f(x)=lnx-x,则函数f(x)的单一递减区间是( )A.(-∞,1)B.(0,1)C.(-∞,0),(1,+∞)D.(1,+∞)答案D??2.曲线在点(-1,-1)处的切线方程为()y=??+2A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=-2x-3D.y=-2x-2答案A3.(2018全国1)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x答案D分析由于f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x.由f'( )321,得在(0,0)处的切线斜率k=f'(0)1故切线方程为y=x.x=x+=.4.已知y=f()是可导函数,如图,直线2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令()=xf(x),g'()是xy=kx+gxx()的导函数,则g'(3)( )gx=A.-1B.0答案B1分析由条件,知f(3)=1,k=f'(3)=-3.∵g'(x)=f(x)+xf'(x),1∴g'(3)=f(3)+3f'(3)=1+3×(-3)=0.应选B.15.设点P是曲线y=x32-√3x+3上的随意一点,则点P处切线倾斜角α的取值范围为( )π5π2πA.[0,2)∪[6,π)B.[3,π)π2ππ5πC.[0,2)∪[3,π)D.(2,6]答案C分析由于y'=3x2-√3≥-√3,故切线斜率k≥-√3,π2π所以切线倾斜角α的取值范围是[0,2)∪[3,π).故答案为C.,则??为( )6.已知直线ax-by-20与曲线3在点(1,1)处的切线相互垂直=y=xP??A.2B.-2C.1D.-13333答案D分析y'=3x2,∵点P(1,1)为曲线y=x3上一点,∴曲线y=x3在点P(1,1)处的切线斜率k=3,由条件知,3×??=-1,∴??=-1故答案为D.????3.7.已知f(x)=x3-2x2+x+6,则f(x)在点P(-1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )A.4B.52513C.D.42答案C8.(2017山西五校联考改编)已知函数f(x)的导数为f'(x),f(x)不是常数函数,且(1)f(x)+xf'(x)≥0,对x∈[0,+∞)恒建立,则以下不等式必定建立的是()x+A(1)2ef(2)B.ef(1)<f(2).f<C.(1)0De(e)2(2)f<.f<f答案A分析原式=xf()+f()+xf'()=xf(x)[(x)]'≥0,设( )ex[xf(x)],那么xxx+xfFx=F'()ex[xf(x)]ex[xf()]'=ex{xf()[(x)]'}≥0,所以函数()ex[xf(x)]是单一递加函x=+xx+xfFx=数,(1)(2)?ef(1)e2·2·f(2),即f(1)2ef(2).F<F<<9.当x>012-a)x-alnx>2a-32)时,不等式x+(12a恒建立,则a的取值范围是(2A.[0,1)∪(1,+∞)B.(0,+∞)C.(-∞,0]∪(1,+∞)D.(-∞,1)∪(1,+∞)答案A分析不如令12+(1-a)x-alnx-232f(x)=xa+a,222????2+(1-??)??-??(??-??)(??+1)则f'(x)=x+1-a-??=??=??,当a<0时f'(x)>0,f(x)在x>0时单一递加,当x→0时f(x)不恒大于0,不切合题意;2当a=0时,f(x)=2x+x在x>0时f(x)>0恒建立;当a>0时,f(x)在(0,a)上单一递减,在(a,+∞)上单一递加,f(x)min=f(a)=a2-a-alna=a(a-1-lna),令g(a)=a-1-lna,g'(a)=1-1,g(a)在(0,1)上单一递减,在(1,+∞)上单一递加,??g(a)min=g(1)=0,故当a>0时且a≠1时f(x)>0,综上a的取值范围是[0,1)∪(1,+∞),故答案为A.??10.若∈R,函数f()2lnx有两个极值点x1,x2(12),则2的取值范围为( )mx=x-??-x<xmxA.(0,323227]B.(1,27]C.(32D.(1,2],2]27答案A分析∵f'(x)=1+??2??2-2??+??2-??=2,????∴设x1,x2为x2-2x+m=0两根,由>0,m>0,得0<m<1,x2=1+√1-??.令y=mx2=m(1+√1-??),∴y'=1+√1-??-??8<m<1),832);2=0,解得m=(0故当0<m<时,y'>0,y∈(0,27√1-??99832当9≤m<1时,y'<0,y∈(1,27];所以mx的取值范围为(0,3232=(0,3227)∪(1,]].2故答案为A.二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.将答案填在题中横线上)11.(2017浙江绍兴二模)已知函数f()33x,函数f(x)的图象在0处的切线方程是;x=x-x=函数f(x)在区间[0,2]内的值域是.答案y=-3[-2,2]x分析函数f()33,切点坐标(0,0),导数为y'=323,切线的斜率为-3,x=x-xx-所以切线方程为y=-3;x3230,可得x=±1,x∈(-1,1),y'<0,函数是减函数,x∈(1,+∞),y'>0,函数是增函数,x-=3f(0)=0,f(1)=-2,f(2)=8-6=2,函数f(x)在区间[0,2]内的值域是[-2,2].故答案为y=-3x;[-2,2].12.函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小值为2,则a=,f(x)的单一递减区间是.答案1(-1,1)分析令f'(x)=3x2-3a=0,得x=±√??.f(x),f'(x)随x的变化状况以下表:(--(-∞,-√a√a,√a)√a(√a,+∞)√a)f'(x)+0-0+极极f(x)↗大↘小↗值值(-)3-3(-)+??=6,进而{33??√??+??=2.(√??)-??=1,解得{??=4,所以f(x)的单一递减区间是(-1,1).13.(2017浙江温州调研改编)已知函数f()12lnx,若1,则切线斜率的取值范围x=2x-ax+a=为,若函数存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.答案[1,+∞)[2,+∞)分析∵f(x)=12x2-ax+lnx,1∴f'(x)=x-a+??.1a=1时,f'(x)=x+??-1≥1,若f(x)存在垂直于y轴的切线,∴f'(x)存在零点,∴x+??1-a=0有解,1∴a=x+??≥2(x>0).14.函数f(x)=x3-3x的极小值为,在(a,6-a2)上有最小值,则实数a的取值范围是.答案-2[-2,1)分析令f'(x)=3x2-3=0,得x=±1,且x=1为函数的极小值点,f(1)=-2,x=-1为函数的极大值点.函数f(x)在区间(a,6-a2)上,4则函数f(x)极小值点必在区间(a,6-a2)内,即实数a知足a<1<6-a2,且f(a)=a3-3a≥f(1)=-2.解a<1<6-a2,得-√5<a<1,不等式a3-3a≥f(1)=-2,即a3-3a+2≥0,解得a≥-2.故实数a的取值范围是[-2,1).????(??)15.已知函数f(x)=x+??(a∈R),g(x)=lnx,若对于x的方程??2=f(x)-2e(e为自然对数的底数)只有一个实数根,则a=.答案e2+e1ln??2ln??21-ln??得x=e,分析方程可化为??=x-2ex+a①,设m(x)=??,n(x)=x-2ex+a,令m'(x)=2=0,可知??m(x)max=m(e)=1又n(x)min2,e.=n(e)=a-e∴方程①只有一根的条件为1221=a-e.∴a=e+.ee16.(2018江苏高考)若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为.答案-32??分析由f'(x)=6x-2ax=0,得x=0或x=3.??????3由于函数f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点,且f(0)=1,所以3>0,f(3)=0,所以2(3)-??2上单一递加,在[0,1]上单一递减,所以a()+1=0,解得a=3.进而函数f(x)在[-1,0]3f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(-1)=-4.故f(x)max+f(x)min=1-4=-3.17.函数y=x+2cosπ]上的最大值是.x在区间[0,2π答案6+√3πππ)时,y'>0;x∈(ππ]时,y'<0,故函数在分析y'=1-2sinx,令y'=0,且x∈[0,],得x=6,则x∈[0,,2266πππ[0,6)上递加,在(6,2]上递减,ππ所以当x=6时,函数取最大值6+√3.三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14分)已知函数f()ln(∈R).x=xx+axa当a=0,求f(x)的最小值;若函数g(x)=f(x)+lnx在区间[1,+∞)上为增函数,务实数a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=lnx+1+a,当a=0时,f'(x)=lnx+1.5当x∈(0,+∞)时,f'(x),f(x)的变化状况以下:1x11(,(0,??)????+∞)f'(x)-0+极f(x)↘小↗值1f(x)的最小值是f(e)=-e.(2)由题意得g'(x)=lnx+a+1+1.??∵函数g(x)在区间[1,+∞)上为增函数,∴当x∈[1,+∞)时g'(x)≥0,即lnx+1≥(1)在[1,+∞)上恒建立,()ln1,??-a+∴hx=x+??1-1??-1∴h'(x)=2=2>0,??????1∴h(x)=lnx+??在[1,+∞)上递加,∴-(a+1)≤h(1)=1,∴a≥-2.19.(15分)(2017浙江台州模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2与x=1时都获得极值.3求a,b的值与函数f(x)的单一区间;若对x∈[-1,2],不等式f(x)<c2恒建立,求c的取值范围.解(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f'(x)=3x2+2ax+b,??'(-2124??+??=0,??1由{)=-3{=-,39解得2'(1)=3+2??+??=0,??=-2.??f'()322(32)(x-1),函数f(x)的单一区间以下表:x=x-x-=x+x2)-2(-2(-∞,-3,1)1(1,+∞)33f'(x)+0-0+极极f(x)↗大↘小↗值值所以函数f(x)的递加区间是22(-∞,-3)和(1,+∞),递减区间是(-3,1).312(2)f(x)=x-2x-2x+c,x∈[-1,2],6222当x=-3时,f(x)=27+c为极大值,而f(2)=2+c,所以f(2)=2+c为最大值.22要使f(x)<c对x∈[-1,2]恒建立,须且只要c>f(2)=2+c.解得c<-1或c>2.若a=1,求函数f(x)的单一区间;若函数f(x)在区间(0,1]上是减函数,务实数a的取值范围;过坐标原点O作曲线y=f(x)的切线,证明:切点的横坐标为1.解a=1时,f(x)=x2+x-lnx(x>0),∴f'(x)=2x+1-1=(2??-1)(??+1)11????,当x∈(0,)时,f'(x)<0;当x∈(,+∞)时,f'(x)>0.∴f(x)的22(0,11,+∞).单一递减区间为2),单一递加区间为(2(2)解f'(x)=2x+a-1,∵f(x)在区间(0,1]上是减函数,??∴f'(x)≤0对随意x∈(0,1]恒建立,即2x+a-1≤对随意x∈(0,1]恒建立.??0∴a≤1-2x对随意x∈(0,1]恒建立,令g(x)=1-2x,????∴a≤g(x)min,易知g(x)在(0,1]上单一递减,∴g(x)min=g(1)=-1.∴a≤-1.(3)证明设切点为M(t,f(t)),f'(x)=2x+a-??1,切线的斜率21,又切线过原点,则??(??),k=t+a-??k=????(??)21,即2+at-ln221∴??=t+a-??tt=t+at-.t2-1+lnt=0,存在性:t=1知足方程21lnt=0,t-+t=1是方程t2-1+lnt=0的根.再证独一性:设φ(t)=t2-1+lnt,φ'(t)=2t+1>0,??(t)在(0,+∞)单一递加,且φ(1)=0,∴方程t2-1+lnt=0有独一解.综上,切点的横坐标为1.21.(15分)(201721浙江杭州高三期末)设函数f(x)=x+??+1,x∈[0,1].248(1)证明:f(x)≥x-x+;9973证明:81<f(x)≤2.248证明(1)令g(x)=f(x)-x+9x-9,148即g(x)=??+1+9x-9,??2+8??-5(2????所以g'(x)=9(??+1)2=9(??+1)2,所以g(x)在(0,112)上递减,在(2,1)上递加,所以g(x)≥g(1所以f(x)≥x2-4x+82)=0,99.2??3+42+2-1(2)由于f'(x)=??2??,x∈[0,1],(??+1)设h(x)=2x3+4x2+2x-1,h'(x)=6x2+8x+2,由于h(0)=-1,h(1)=7,所以存在x0∈(0,1),使得f'(x)=0,且f(x)在(0,x0)上递减,在(x0,1)上递加,所以f(x)max={f(0),f(1)}=f(1)3=.2248=-226868由(1)知,f(x)≥x-x+9)+81≥,99(??81又f1)=11>682773>68(12,f()=891,281981所以683<f(x)≤.81222.(15分)(2018浙江高考)已知函数f(x)=√??-lnx.(1)若f(x)在x=x,x(x≠x)处导数相等,证明:f(x)+f(x)88ln2;121212(2)若a≤34ln2,证明:对于随意0,直线y=kx+a与曲线(x)有独一公共点.-k>y=f11证明(1)函数f(x)的导函数f'(x)=??-??,2√由f'(x)=f'(x),得21-1=11????-,12√11√22由于x1≠x2,所以111??+??=2.√1√2由基本