整数乘除法速算巧算教师版

整数乘除法速算与巧算教学目标本节课主要学习乘、除法的速算与巧算．要求学生理解乘、除法的意义及其关系，能根据乘、除法之间的关系验算乘除法；并且掌握积的变化规律以及商不变的性质，并能合理利用，解决相关问题．知识点拨一、乘法凑整思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便。例如：425100，81251000，520100123456799 111111111（去8数，重点记忆）11131001（三个常用质数的乘积，重点记忆）理论依据：乘法交换率：a×b=b×a乘法结合率：(a×b)×c=a×(b×c)乘法分配率：(a+b) ×c=a×c+b×c积不变规律：a×b=(a×c)×(b÷c)=(a÷c)×(b×c)二、乘、除法混合运算的性质⑴商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变．即：a b (a n) (b n) (a m) (b m) m 0，n 0⑵在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即： a b c a c b⑶在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家）．例如：a b c a c b b c a⑷在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则去括号情形：①括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变．即②括号前是“÷”时，去括号后，括号内的 “×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即添加括号情形：加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即abca(bc)abca(bc)abca(bc)abca(bc)⑸两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．即上面的三个性质都可以推广到多个数的情形．二、乘除法巧算与速算（1）凑整：2×5；4×25；8×125；（2）构造整数：142431；99999......910kk个（3）乘法分配律：a(bc)abac；（4）提取公因数：abaca(bc)；注意：除法算式中公因数只能用为除数。（5）平方差：a2b2(ab)(ab)（6）同头尾合十与同尾头合十：同头尾合十：头×（头 +1）作结果的头；尾×尾作结果的尾。同尾头合十：头×头 +尾数作结果的头；尾×尾作记过的尾。7）特殊数字的计算：11、101、1001与11相乘利用两头拉开中间相加的方法；ab 101 abab；例题精讲一， 乘5、15、25、125【例1】 下面这些题你会算吗？⑴125(408)⑵(1004)25【考点】乘法凑整之乘5的倍数【难度】2星【题型】计算【解析】⑴125(408)125401258500010006000⑵(1004)251002542525001002400【答案】⑴6000⑵2400【巩固】用简便方法计算下面各题．（1）125(804)（2）(1008)25【考点】乘法凑整之乘5的倍数【难度】2星【题型】计算【解析】（1）125(804)1258012541000050010500（2）(1008)251002582525002002300【答案】⑴10500⑵2300【巩固】下面这道题怎样算比较简便呢？看谁算的快！【考点】乘法凑整之乘5的倍数【难度】1星【题型】计算【解析】26不能被4整除，但26可以拆成642，这样2625，可转化为6425再加上225，这样就可速算了．【解析】原式（642）25【答案】650【例2】你知道下题怎样快速的计算吗？⑴7865⑵12425⑶96125⑷75258【考点】乘法凑整之乘5的倍数【难度】2星【题型】计算【解析】我们刚刚学过了乘5，25，125的速算法,大显身手练一下吧!⑴7865786(52)2786023930或786539325393103930⑵12425124(254)41240043100或1242531425311003100⑶9612596(1258)896000812000或9612512812512100012000⑷7525825475210015015000【答案】⑴3930⑵3100⑶12000⑷15000【巩固】运用乘法的运算律大显身手吧，可以记录自己速算的时间啊．⑴17425⑵125198⑶12572⑷2512516【考点】乘法凑整之乘5的倍数【难度】2星【题型】计算【解析】由于254100，12581000，1254500，运用乘法交换律和结合律，在计算中尽量先把25与4、把125与8或4结合起来相乘后，再与其它数相乘，以简化计算．⑴1742517(425)1700⑵125198(1258)1919000⑶1257212589100099000⑷25125162512528(252)(1258)50100050000或25125162512544(254)(1254)10050050000【答案】⑴1700⑵19000⑶9000⑷50000【巩固】计算：564251252009．【考点】乘法凑整之乘5的倍数【难度】2星【题型】计算【解析】把64拆成248，然后配方．原式5（248）251252009【答案】2009000000【巩固】为了考察大头儿子的速算能力，小头爸爸给他出了一道题，并且限时一分钟，小朋友，你能做到吗？【考点】乘法凑整之乘5的倍数【难度】2星【题型】计算【解析】把64分成482，用乘法结合律便可速算．原式（254）（1258）（192）1001000383800000【答案】3800000【巩固】计算：1733212525．【考点】乘法凑整之乘5的倍数【难度】2星【题型】计算【解析】原式173（48）12525【答案】17300000【巩固】计算：13×25×125×4×8＝．【考点】乘法凑整之乘5的倍数【难度】2星【题型】计算【关键词】2006年，第4届，走美杯，3年级，决赛【解析】根据凑整的原则，将125和8相乘为1000，25和4相乘，最后结果为：【答案】1300000【巩固】请快速计算下面各题．⑴200425⑵125792【考点】乘法凑整之乘5的倍数【难度】2星【题型】计算【解析】⑴200425(20004)2520002542550100⑵125792125(8008)1258001258100010010001000(1001)99000【答案】⑴50100⑵99000【考点】乘法凑整之乘5的倍数【难度】2星【题型】计算【解析】原式456（25）（254）（1258）【答案】456000000【例3】聪明的你也来试试吧！⑴2415⑵8475⑶3975⑷56625【考点】乘法凑整之乘5的倍数【难度】3星【题型】计算【解析】⑴2415(24242)10(2412)10360⑵8475(214)(253)(213)(425)631006300⑶3975(401)7540751753000752925⑷56625(78)(1255)(75)(8125)35100035000【答案】⑴360⑵63000⑶2925⑷35000【巩固】请你简便计算．⑴5365⑵63815⑶3225⑷6875【考点】乘法凑整之乘5的倍数【难度】3星【题型】计算【解析】⑴5365536(52)2536022680⑵63815(6386382)109570⑶322532(254)432004800⑷6875174253173(425)5100【答案】⑴360⑵63000⑶2925⑷35000【巩固】计算：813125=【考点】乘法凑整之乘5的倍数【难度】2星【题型】计算【关键词】2006年，第4届，走美杯，3年级，初赛【解析】根据乘法凑整原则 813125 812513 100013 13000【答案】13000【巩固】计算：125161119____________．【考点】乘法凑整之乘5的倍数【难度】2星【题型】计算【关键词】2007年，第5届，走美杯，3年级，初赛【解析】根据乘法凑整原则整理为【答案】1001【例4】计算：450002590＝【考点】乘法凑整之乘5的倍数【难度】2星【题型】计算【关键词】2006年，第4届，走美杯，4年级，决赛【答案】20二，乘9、99、999【例5】下面各题怎样算简便呢？⑴129⑵1299⑶12999【考点】乘法凑整之乘9、99、999【难度】2星【题型】计算【解析】⑴利用公式，可以得出结果：12912012108；⑵12991200121188，此题也可用小技巧：“去1添补”法，“补”就是“补数”，和为整十或整百或整千的两个数都可称为互补数.注意：只适用于“两位数乘99”．12999120001211988，此题可用小技巧：“去1添补,中间隔9”法.注意：只适用于“两位数乘999”．【答案】⑴108⑵1188⑶11988【巩固】相信你能快速的计算下面各题，我们一起来做做吧．⑴239⑵3399⑶259999【考点】乘法凑整之乘9、99、999【难度】2星【题型】计算【解析】利用乘法分配律的公式，可以得出结果，也可以记住下面的小技巧：一个数9，在该数后添0，再减此数；一个数×99，在该数后添00，再减此数；一个数×999，在该数后添000，再减此数23923023207⑵339933100333267，此题也可用小技巧：“去1添补”法，“补”就是“补数”，和为整十或整百或整千的两个数都可称为互补数.注意：只适用于“两位数乘99”．⑶25999925000025249975，此题也可用小技巧：“去1添补，中间隔99”法，“补”就是“补数”，和为整十或整百或整千的两个数都可称为互补数.注意：只适用于“两位数乘9999”．【答案】⑴207⑵3267⑶249975【巩固】计算：123456789876543219【考点】乘法凑整之乘9、99、999【难度】2星【题型】计算【关键词】2008年，学而思杯，4年级【解析】原式11111111129【答案】111111110888888889【巩固】算式1234567898765432163值的各位数字之和为。【考点】乘法凑整之乘9、99、999【难度】2星【题型】计算【关键词】2008年，学而思杯，5年级777777777000000000777777777，777777776222222223所以它的各位数字之和为78628381。【答案】81【巩固】我们快来做做吧？⑴1239⑵23499⑶2569999【考点】乘法凑整之乘9、99、999【难度】2星【题型】计算【解析】利用公式，可以得出结果，也可以记住下面的小技巧：一个数9，在该数后添0，再减此数；一个数×99，在该数后添00，再减此数；一个数×999，在该数后添000，再减此数⑴1239123012311072349923410023423166256999925600002562559744【答案】⑴1107⑵23166⑶2559744【巩固】怎样计算更简便呢？⑴459⑵45799⑶762999⑷3498【考点】乘法凑整之乘9、99、999【难度】2星【题型】计算【解析】⑴45945104545045405⑵457994571004574570045745243⑶7629997621000762762000762761238⑷3498341003423400683332【答案】⑴405⑵45243⑶7612348⑷3332【考点】乘法凑整之乘9、99、999【难度】2星【题型】计算【关键词】2004年，第2届，走美杯，3年级，决赛【解析】计算时9、99、999类的数字时可以将其看成101、1001、10001或者拆出1和其凑整计算【答案】1001000【巩固】9937459983__________【考点】乘法凑整之乘9、99、999【难度】2星【题型】计算【关键词】2005年，第3届，走美杯，3年级，决赛【答案】8345【巩固】请快速计算下面各题．⑴52699⑵9999【考点】乘法凑整之乘9、99、999【难度】2星【题型】计算【解析】⑴52699526(1001)52610052652074⑵999999(1001)9900999801【答案】⑴52074⑵9801【巩固】计算：⑴54999945⑵999222333334⑶1999999999【考点】乘法凑整之乘9、99、999【难度】3星【题型】计算【解析】⑴此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把45和54先结合可得99，就可以运用乘法分配律进【解析】行简算了．54999945(5445)999999999999(199)9900．⑵此题如果直接乘，数字较大，容易出错．如果将999变为3333，规律就出现了．⑶方法一：19999999991000999999999100099910001000(9991)1000000．方法二：19999999991999999(1000)19999990009991(1999999)999000．1000000【答案】⑴9900⑵333000⑶1000000【例6】小朋友，相信你一定能行噢．⑴6297⑵123998⑶626997⑷12349998【考点】乘法凑整之乘9、99、999【难度】3星【题型】计算【解析】因为97，998分别比100，1000小3、2，利用乘法分配律可得⑴原式62(1003)62001866014⑵原式123(10002)12310001232123000246122754⑶原式626(10003)6260001878624122⑷原式1234(100002)1234100001234212340000246812337532【答案】⑴6014⑵122754⑶624122⑷12337532【例7】计算：333333333333【考点】乘法凑整之乘9、99、999【难度】3星【题型】计算【解析】原式31111113111111【答案】111110888889【巩固】计算：333333999999．【考点】乘法凑整之乘9、99、999【难度】3星【题型】计算【解析】原式333333（10000001）【答案】333332666667【巩固】若a1515L15333L3，则整数a的所有数位上的数字和等于()．14243142431004个152008个3A．18063B．18072C．18079D．18054【考点】乘法凑整之乘9、99、999【难度】3星【题型】选择题【关键词】2008年，第十三届，华杯赛，初赛【解析】选C，考点：计算，凑整法．所以整数a的所有数位上的数字和100351004（49）518072．【答案】18072【巩固】两个十位数1111111111与9999999999的乘积中有个数字是奇数？【考点】乘法凑整之乘9、99、999【难度】3星【题型】填空题【关键词】第一届，华杯赛【解析】方法一：11111111119999999999有10个数为奇数．方法二：199奇数的个数为111991089奇数的个数为2111999110889奇数的个数为31111999911108889奇数的个数为4显然其奇数的个数为 10．【答案】10三，乘11、111、101【例8】你能快速的写出结果吗？【考点】乘法凑整之乘11、111、101【难度】2星【题型】计算【解析】⑴可以用公式a11a(101)10aa得出：451145045495另外，还有一种小技巧——一个数乘以11，“两头一拉，中间相加”，⑵用公式a11a(101)10aa得：561156056616也可用小技巧得：⑶用公式a11a(101)10aa得出22221122221022222444用小技巧得：22222222×112222+++222222444这是因为：24442⑷用公式得：a11a(101)10aa得出：245611245610245627016用小技巧得：24562456×112456+进1+进1+24562701627016，这是因为：所以27016为结果．【答案】⑴495⑵616⑶2444⑷27016【巩固】三个同学为一组，进行乘法接力：(可以让孩子到黑板上操作)第一组：1111开始，第二位同学接力1111的积再乘以11，第三位同学接力第二位同学的答案乘以11第二组：1311开始，第二位同学接力1311的积再乘以11，第三位同学接力第二位同学的答案乘以11第三组：1511开始，第二位同学接力1511的积再乘以11，第三位同学接力第二位同学的答案乘以11第四组：1711开始，第二位同学接力1711的积再乘以11，第三位同学接力第二位同学的答案乘以11第五组：1911开始，第二位同学接力1911的积再乘以11，第三位同学接力第二位同学的答案乘以11【考点】乘法凑整之乘11、111、101【难度】2星【题型】计算【解析】这个活动在于提高学生的速算能力，教师也可拓展到乘以101，1001的活动第一组：121，1331，14641第二组：143，1573，17303第三组：165，1815，19965第四组：187，2057，22627第五组：209，2299，25289【答案】第一组：121，1331，14641第二组：143，1573，17303第三组：165，1815，19965第四组：187，2057，22627第五组：209，2299，25289【例9】 请你计算出下式结果，并总结规律．快点算吧！第一组：⑴37101⑵85101⑶79101⑷2310101⑸4910101⑹69101010101第二组：⑴1231001⑵2871001⑶3951001001⑷456710001⑸3985100010001⑹438691000010000100001【考点】乘法凑整之乘11、111、101【难度】3星【题型】计算【解析】第一组：⑴37101 3737851018585791017979（有2个“1”，结果就有2组“79”）⑷2310101232323（有3个“1”，结果就有3组“23”）4910101494949691010101016969696969（有几个“1”，结果就有几个“69”）第二组：⑴123100112312328710012872873951001001395395395（被乘数是3位数，乘数的1和1之间就夹了2个0）⑷45671000145674567398510001000139853985398543869100001000010000143869438694386943869（被乘数是n位数，乘数1之间就夹了“n1”个0）【答案】第一组： ⑴37 101 3737851018585⑶7910179792310101232323⑸4910101494949691010101016969696969第二组：⑴1231001123123⑵28710012872873951001001395395395⑷45671000145674567398510001000139853985398543869100001000010000143869438694386943869巩固】怎样才能算得又对又快？⑴68101⑵74201⑶2561002⑷154601【考点】乘法凑整之乘11、111、101【难度】2星【题型】计算【解析】⑴681016800686868⑵742017420074148007414874⑶256100225610002562256000512256512⑷1546011546001549240015492554【答案】⑴6898⑵14874⑶256512⑷92554【巩固】1000001999999．【考点】乘法凑整之乘11、111、101【难度】2星【题型】计算【解析】原式（10000001）999999999999000000999999999999999999．另，可由叠数的性质【解析】直接得出答案为．999999999999【答案】99999999999【考点】乘法凑整之乘11、111、101【难度】3星【题型】计算【关键词】2004年，第2届，走美杯，3年级，决赛【解析】本题利用特殊数字乘积特点进行计算：711131001【答案】255【例10】请你根据“乘法的凑整”思路，推算下列各题．【考点】乘法凑整之乘11、111、101【难度】3星【题型】计算【解析】原式356(10002)3560003562356000712356712原式23(100030)2300069023690【答案】35671223690【例11】计算：2007711132【考点】乘法凑整之乘11、111、101【难度】3星【题型】计算【关键词】2007年，走美杯，决赛【解析】原式2007(71113)2【答案】5四，其它乘法【例12】试着用一点技巧吧．⑴295295⑵705705【考点】乘法凑整【难度】2星【题型】计算【解析】⑴29529529(291)10025870002587025⑵70570570(701)1002549700025497025【答案】⑴87025⑵497025【例13】57223949．【考点】乘法凑整【难度】3星【题型】计算【关键词】2008年，台湾小学数学竞赛选拔赛【解析】原式5721131377（52）（71113）（377）【答案】1471470【例14】求下列算式计算结果的各位数字之和：66...666...6725．{{2006个62005个6【考点】乘法凑整【难度】3星【题型】计算【解析】原式22...2366...672522...2200L015511L10100L0511L10(100L05){{{1442443{14244362005个62006个62005个02006个12006个02006个12007个011L10100L011L10511L100L055L5011L1055L50，{1442443{{1442443142443{1424432006个12007个02006个12006个12008个02006个52006个12006个5数字和为：120065200612036．【答案】12036【例15】用简便方法计算下面的算式：⑴7278；⑵7179；【例16】⑶7838；⑷4363．【考点】乘法凑整【难度】2星【题型】计算【解析】直接套用速算法：【解析】⑴原式7（71）100285616；【解析】⑵原式7（71）100195609【解析】(注意：我们在实际计算中不会这样详细列出式子，学生容易将答案错写成569．互补数如果【解析】是n位数，则应占乘积的后2n位，不足的位补“0”)；【解析】⑶原式（738）100882964；【解析】⑷原式（463）100332709．【答案】⑴5616⑵5609⑶2964⑷2709【巩固】计算：⑴712788；⑵17081792；【巩固】⑶11278927；⑷8179217．【考点】乘法凑整【难度】3星【题型】计算【解析】上一道例题介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法．当被乘数和乘数多于两位时，是否还可以套用速算法直接计算呢？【解析】我们先将互补的概念推广一下，当两个数的和是10，100，1000，L时，这两个数互为补数，简称互补．【解析】当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几位数互补时，这个算式就是“同补”型；当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同时，这个乘法算式就是“补同”型．【解析】⑴712788的结果后四位应该是12881056，第四位之前则是7（71）56．【解析】所以712788．561056【解析】⑵17081792的结果后四位应该是892736，第四位之前则是17（171）306．【解析】所以17081792．3060736【解析】⑶11278927的后四位应该是2727729，第四位之前则是118927979271006．【解析】所以11278927．10060729【解析】⑷8179217的后四位应该是1717289，第四位之前是8921773617753．【解析】所以8179217．7530289【答案】⑴561056⑵306⑶1006⑷753【例17】计算：222．35、993、2009【难度】3星【考点】乘法凑整，平方差公式【题型】计算【答案】⑴1225⑵986049⑶4036081五，除法【例18】小朋友们，下面的计算方法可要听仔细啦．⑴(8172)9⑵(20461069735)3⑶29150950⑷22595【考点】除法凑整【难度】2星【题型】计算【解析】不同的算式有不同的特点,要学会挑选好办法去速算.我们刚刚学习了除法的运算定律,观察每个算式的特点,选择不同的定律进行计算.⑴我们一眼就可以看出8199,7298,所以运用除法的分配律可以简便运算.⑵括号里三个数都很大,运用除法的分配律后可以使数变小,简便了我们的运算.⑶和9都不是50的倍数,但是它们的和却是50的倍数,运用除法分配律的逆运算,就291可以得出结果啦.29150950(2919)50300506⑷这是一个连除,2259计算起来会比较复杂,但是2255相比较就会简单一些,根据连除的性质:交换除数的位置，商不变,得到比较简便的运算:22595225594595．【答案】⑴17⑵84⑶6⑷5【巩固】同学们，来个接力赛比一下吧．【考点】除法凑整 【难度】2星 【题型】计算【解析】依次为：81、24、41、101、5、2、7、43、132、40、140、25【答案】81、24、41、101、5、2、7、43、132、40、140、25【巩固】请你用简便方法计算出来．⑴8005⑵34020⑶364070【考点】除法凑整【难度】1星【题型】计算【解析】我们知道在计算乘法时，都喜欢计算25、254、1258，其实在计算除法时，巧妙的运用这些规律也能够使计算变得简单；还可以运用商不变的性质进行速算．⑴8005(8002)(52)160010160⑵34020(34010)(2010)34217⑶364070(364010)(7010)364752【答案】⑴160⑵17⑶52【巩固】计算：903903043043【考点】除法凑整【难度】2星【题型】计算【解析】原式90310010(431001)90343100101001210【答案】210【例19】计算的方法很重要，我们要仔细听啦。⑴(13065)13⑵(20461069735)3⑶981501950⑷2275135【考点】除法凑整【难度】2星【题型】计算【解析】不同的算式有不同的特点,要学会挑选好办法去速算.我们刚刚学习了除法的运算定律,观察每个算式的特点,选择不同的定律进行计算.⑴我们一眼就可以看出1301310，65135,所以运用除法的分配律可以简便运算.⑵括号里三个数都很大,运用除法的分配律后可以使数变小,简便了我们的运算.⑶和19都不是50的倍数,但是它们的和却是50的倍数,运用除法分配律的逆运算,就981可以得出结果啦.981501950(98119)5010005020⑷227513计算起来会比较复杂,但是22755相比较就会简单一些,根据连除的性质:交换除数的位置，商不变,得到比较简便的运算:227513522755134551335．【答案】⑴15⑵84⑶20⑷35六，乘除混合【例20】计算：8 7 8 7 ___________。【考点】乘除法混合【难度】2星【题型】计算【关键词】2010年，第8届，希望杯，4年级，1试【解析】原式＝7×7＝49【答案】49【例21】聪明的你一定能顺利的通过最后一关吧．⑴13658⑵4032(89)⑶125(1610)⑷2560(104)⑸246052⑹527155⑺(5424)(94)【考点】乘除法混合【难度】2星【题型】计算【解析】根据我们刚刚学过的乘、除法混合运算的性质,根据算式不同的特征选择不同的性质进行巧算,可以减少计算时间并大大提高正确率,不信你就试试吧!⑴利用带着符号搬家,abcacbbca，136581368517585；⑵利用去括号的性质,a(bc)abc，4032(89)403289504956；⑶利用去括号的性质,a(bc)abc，125(1610)12516101258210200⑷利用去括号的性质,a(bc)abc，2560(104)25601041024；⑸利用添括号的性质,abca(bc)，2460522460(52)246010246；⑹利用添括号的性质,abca(bc)，527155527(155)52731581；⑺利用两个数之积除以两个数之积的性质,(5424)(94)(549)(244)6636．【答案】⑴85⑵56⑶200⑷1024⑸246⑹1581⑺36【巩固】你会应用计算性质吗？⑴384128⑵2352(78)⑶1200(412)⑷1250(108)⑸2250753⑹636357⑺(12656)(718)【考点】乘除法混合【难度】2星【题型】计算【解析】⑴原式=3848124812480482576（2）原式=235278336842⑶原式=120041212001241004400（4）原式=125010812581000⑸原式=2250(753)225022510（6）原式=636(357)63653180⑺原式=(12618)(567)7856【答案】⑴576⑵42⑶400⑷1000⑸10⑹3180⑺56【巩固】⑴123155；⑵1251625⑶5600（257）⑷450546【考