2023年吉林省长春市五中数学高一第二学期期末复习检测模拟试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知直线l过点且与直线垂直，则l的方程是（）A． B．C． D．2．已知中，，则角（）A．60°或120° B．30°或90° C．30° D．90°3．问题：①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会.方法：Ⅰ.随机抽样法Ⅱ.系统抽样法Ⅲ.分层抽样法.其中问题与方法能配对的是()A．①Ⅰ，②Ⅱ B．①Ⅲ，②Ⅰ C．①Ⅱ，②Ⅲ D．①Ⅲ，②Ⅱ4．已知公式为正数的等比数列满足：，，则前5项和()A．31 B．21 C．15 D．115．某种产品的广告费用支出与销售额之间具有线性相关关系，根据下表数据（单位：百万元)，由最小二乘法求得回归直线方程为.现发现表中有个数据看不清，请你推断该数据值为（)345582834★5672A．65 B．60 C．55 D．506．已知为第二象限角，则所在的象限是（）A．第一或第三象限 B．第一象限C．第二象限 D．第二或第三象限7．为了得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度8．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（）A．9 B．10 C．12 D．139．已知，若关于x的不等式的解集为，则（）A． B． C．1 D．710．圆与圆的位置关系为()A．相交 B．相离 C．相切 D．内含二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．半径为的圆上，弧长为的弧所对圆心角的弧度数为________．12．关于的方程只有一个实数根，则实数_____．13．已知实数满足约束条件，若目标函数仅在点处取得最小值，则的取值范围是__________.14．若不等式对于任意都成立，则实数的取值范围是____________．15．已知三棱锥，若平面ABC，，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为______．16．已知向量满足，则与的夹角的余弦值为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AD=4，点E为线段PA的中点.（1）求证：PC∥平面BDE；（2）求三棱锥E-BCD的体积.18．已知公差不为零的等差数列满足：，且成等比数列．（1）求数列的通项公式．（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．19．如图，三角形中，，是边长为l的正方形，平面底面，若分别是的中点.（1）求证：底面；（2）求几何体的体积.20．将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数的图象.（1）求函数的单调递增区间；（2）若，，求值.21．某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：组号分组频数频率第1组[50，60)50.05第2组[60，70)0.35第3组[70，80)30第4组[80，90)200.20第5组[90，100]100.10合计1001.00（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5组中按分层抽样的方法抽取6人参加市汉字听写比赛，并从中选出2人做种子选手，求2人中至少有1人是第4组的概率．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

直线2x–3y+1=0的斜率为则直线l的斜率为所以直线l的方程为故选A2、B【解析】

由正弦定理求得，再求．【详解】由正弦定理，∴，或，时，，时，．故选：B.【点睛】本题考查正弦定理，在用正弦定理解三角形时，可能会出现两解，一定要注意．3、B【解析】解：（1）中由于小区中各个家庭收入水平之间存在明显差别故（1）要采用分层抽样的方法（2）中由于总体数目不多，而样本容量不大故（2）要采用简单随机抽样故问题和方法配对正确的是：（1）Ⅲ（2）Ⅰ．故选B．4、A【解析】

由条件求出数列的公比．再利用等比数列的前项求和公式即可得出．【详解】公比为正数的等比数列满足：，则，即.所以,所以.故选：A【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5、B【解析】

求出样本中心点的坐标，代入线性回归方程求解．【详解】设表中看不清的数据为，则，，代入，得，解得．故选：．【点睛】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．6、A【解析】

用不等式表示第二象限角，再利用不等式的性质求出满足的不等式，从而确定角的终边在的象限．【详解】由已知为第二象限角，则则当时，此时在第一象限.当时,，此时在第三象限.故选:A【点睛】本题考查象限角的表示方法，不等式性质的应用，通过角满足的不等式，判断角的终边所在的象限.7、C【解析】

利用诱导公式,的图象变换规律,得出结论.【详解】为了得到函数的图象,

只需将函数图象上所有的点向左平移个单位长度,

故选C.8、D【解析】试题分析：：∵甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是120，80，60，∴甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，丙车间生产产品所占的比例，因为样本中丙车间生产产品有3件，占总产品的，所以样本容量n=3÷=1．考点：分层抽样方法9、B【解析】

由韦达定理列方程求出，即可得解．【详解】由已知及韦达定理可得，，，即，，所以．故选：．【点睛】本题考查一元二次方程和一元二次不等式的关系、韦达定理的应用等，属于一般基础题．10、B【解析】

首先把两个圆的一般方程转化为标准方程，求出其圆心坐标和半径，再比较圆心距与半径的关系即可.【详解】有题知：圆，即：，圆心，半径.圆，即：，圆心，半径.所以两个圆的位置关系是相离.故选：B【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，比较圆心距和半径的关系是解决本题的关键，属于简单题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据弧长公式即可求解.【详解】由弧长公式可得故答案为：【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，属于基础题.12、【解析】

首先从方程看是不能直接解出这个方程的根的，因此可以转化成函数，从函数的奇偶性出发。【详解】设，则∴为偶函数，其图象关于轴对称，又依题意只有一个零点，故此零点只能是，所以，∴，∴，∴，∴，故答案为：【点睛】本题主要考查了函数奇偶性以及零点与方程的关系，方程的根就是对应函数的零点，本题属于基础题。13、【解析】

利用数形结合，讨论的范围，比较斜率大小，可得结果.【详解】如图，当时，，则在点处取最小值，符合当时，令，要在点处取最小值，则当时，要在点处取最小值，则综上所述：故答案为：【点睛】本题考查目标函数中含参数的线性规划问题，难点在于寻找斜率之间的关系，属中档题.14、【解析】

利用换元法令（），将不等式左边构造成一次函数，根据一次函数的性质列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】令，，则．由已知得，不等式对于任意都成立．又令，则，即，解得．所以所求实数的取值范围是．故答案为：【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解策略，考查三角函数的取值范围，考查一次函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.15、【解析】

过B作，且，则或其补角即为异面直线PB与AC所成角由此能求出异面直线PB与AC所成的角的余弦值．【详解】过B作，且，则四边形为菱形，如图所示：或其补角即为异面直线PB与AC所成角．设.，，平面ABC，，．异面直线PB与AC所成的角的余弦值为．故答案为．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16、【解析】

由得，结合条件，即可求出，的值，代入求夹角公式，即可求解．【详解】由得与的夹角的余弦值为.【点睛】本题考查数量积的定义，公式的应用，求夹角公式的应用，计算量较大，属基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）16【解析】

（1）证明EO∥PC得到PC∥平面BDE.（2）先证明EF就是三棱锥E-BCD的高，再利用体积公式得到三棱锥E-BCD的体积.【详解】（1）证明：连结AC交BD于O，连结EO.∵四边形ABCD是正方形，在ΔPAC中，O为AC中点，又∵E为PA中点∴EO∥PC.又∵PC⊄平面BDE，EO⊂平面BDE.∴PC∥平面BDE.（2）解：取AD中点F，连结EF.则EF∥PD且EF=1∵PD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，∴EF就是三棱锥E-BCD的高.在正方形ABCD中，SΔBCD∴V三棱锥【点睛】本题考查了线面平行，三棱锥的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.18、（1）（2）存在，最小值是．【解析】

（1）利用等比中项的性质列方程，将已知条件转化为的形式列方程组，解方程组求得，由此求得数列的通项公式.（2）首先求得数列的前项和，由列不等式，解一元二次不等式求得的取值范围，由此求得的最小值.【详解】（1）设等差数列的公差为（），由题意得化简，得．因为，所以，解得所以，即数列的通项公式是（）．（2）由（1）可得．假设存在正整数，使得，即，即，解得或(舍)．所以所求的最小值是．【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前项和公式，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.19、(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）通过面面平行证明线面平行，所以取的中点，的中点，连接.只需通过证明HG//BC，HF//AB来证明面GHF//面ABC,从而证明底面．（2）原图形可以看作是以点C为顶点，ABDE为底的四棱锥，所四棱锥的体积公式可求得体积．试题解析：（1）取的中点，的中点，连接.（如图）∵分别是和的中点，∴，且，，且.又∵为正方形，∴，.∴且.∴为平行四边形.∴，又平面，∴平面.（2）因为，∴，又平面平面，平面，∴平面.∵三角形是等腰直角三角形，∴.∵是四棱锥，∴.【点睛】证明线面平行时,先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行,若找不到这样的直线,可以考虑通过面面平行来推导线面平行,应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时,一定要注意定理成立的条件,严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则直线与交线平行．20、（1）；（2）【解析】

（1）由的横坐标缩小为原来的，向左平移个单位长度，可得函数，令，解不等式即可求得本题答案；（2）由，可得，又由，即可得到本题答案.【详解】解：（1）由题意，得令，解得所以，函数的单调递增区间为：（2），，又，得，由，得，.【点睛】本题主要考查三角函数的伸缩平移，三角函数的图象与性质以及利用和差公式求值.21、(1)35，0.30;(2).【解析】试题分析：（Ⅰ）直接利用频率和等于1求出b，用样本容量乘以频率求a的值；（Ⅱ）由分层抽样方法求出所抽取的6人中第三、第四、第五组的学生数，利用列举法写出从中任意抽取2人的所有方法种数，查出2人至少1人来自第四组的事件个数，然后利用古典概型的概率计算公式求解．试题解析：（Ⅰ）a＝100－5－30－20－10＝35，b＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30（Ⅱ）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为，第3组：×30＝3人，第4组：×20＝2人，第5组：×10＝1人，所以第3、4、5组应分别抽取3人、2人、1人设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C1，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，如下：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(