高三立体几何总结复习题

高三立体几何复习一、选择题①BD1平面A1DC1;②A1C1和AD1所成的角为45o；

D1A1

C1B1③点A与点C1在该正方体外接球表面上的球面距离为

3

DC2其中正确结论的个数是( )

ABA.0B.1C.2D.32、已知两个不同样的平面、和两条不重合的直线，m、n，有以下四个命题①若m//n,m，则n②若m,m,则//③若m,m//n,n,则④若m//,n,,则m//n其中正确命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个3、以下命题中，真命题是（）A.若直线m、n都平行于，则m//nB.设l是直二面角，若直线ml,则mC.若m、n在平面内的射影依次是一个点和一条直线，且mn，则n或n//D.若直线m、n是异面直线，m//，则n与订交4、过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°则该截面的面积是（）A．πB.2πC.3πD.235、如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）CyBA.8cmB.6cmC.2(1+3)cmD.2(1+2)cmAxO6、有共同底边的等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为（1B.1C.32）A.344D.27、给出以下命题：○1底面是正多边形的棱锥是正棱锥②侧棱都相等的棱锥是正棱锥○3侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥其中正确的命题的个数是（）D.38、若底面边长为a的正四棱锥的全面积与棱长为a的正方体的全面积相等，那么这个正四棱锥的侧棱与底面所成角的余弦值为（）A．3B．3C．3D．263613269、已知直线a、b、c和平面、,有以下命题：①若//,a//,则a//；②若ab,a,b,则；③若,a,则a//；④若a//,,则a.其中正确的命题是( ).A.①②B.①③C.②④D.②10、已知正周围体ABCD的棱长为a，E为CD上一点，且CE:ED2:1，则截面△ABE的面积是（）A．2a2B．22C．172．19a24aaD2121211、菱形ABCD的边长为a,A600,E,F,G，H分别在AB、BC、CD、DA上，且BEBFDGDHa，沿与把菱形的两个锐角对折起来，使、两点3EHFGAC重合，这时A点到平面EFGH的距离为（）a2a23a31aA.2B.2C.D.12、已知棱长为a的正周围体ABCD的中截面为M,则其内切球球心O到平面M的距离为().A.aB.6aC.6aD.2a4612813、已知球O半径是1，A、B、C是球面上三点，且A与B、A与C、B与C的球面距离为,,,则周围体OABC的体积为（）223A．2B．3C．3D．212412414、正三棱锥S—ABC中，M、N分别是SC、BC中点，MN⊥AM，若侧棱SA23，则此正三棱锥

S—ABC外接球的表面积是

（

）A．12π

B．32π

C．36π

D．48π二.填空题15、如图,

ABCD

为矩形,

AB

3,

BC

1,

EF//BC,且

AE

2EB,

G为BC中点,

K为

ADF

的外心.沿

EF

将矩形折成一个

120的二面角

A

EF

B,则此时

KG的长是16、在三棱锥

S

ABC

中,

SA

平面

ABC,

SA

AB

1,

BC

2,

P为棱

SB上的动点,且APPC的最小值为5,则三棱锥SABC外接球的体积为17、已知长方体ABCD—A1B1C1D1的极点都在直径为3的球面上，

.AA1=AB=2，点

E是DD1的中点，则异面直线

A1E与

B1D所成角的大小为是

__________．18、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为.19、将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A—BD—C，有以下四个结论：18题图①AC⊥BD②△ACD是等边三角形AB与平面BCD所成的角为60°④AB与CD所成的角为60°其中正确结论的序号是.（写出所有你认为正确的结论的序号）三.解答题20、如图，棱长为1的正周围体ABCD中，E、F分别是棱AD、CD的中点，O是点A在平面BCD内的射影.（1）求直线EF与直线BC所成角的大小；2）求点O到平面ACD的距离；3）求二面角A—BE—F正切值的大小.20题图21、如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AD=DC=3，DD1=4，E是A1A的中点.（1）求证：A1C//平面BED;（）求二面角E—BD—A的大小；（3）求点E到2平面A1BCD1的距离.22、如图，四边形ABCD是正方形，PB平面ABCD，MA∥PB，PB＝AB＝2MA．1）证明：AC∥平面PMD；（2）求直线BD与平面PCD所成的角的大小；3）求平面PMD与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小．PPEMABO

ADDCBC21题图22题图23题图23、如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，P点在平面ABCD内的射影为A，且PAAB2，E为PD中点．（1）证明：PB//平面AEC；（2）证明：平面PCD平面PAD；（3）求二面角EACD的正切值．24、如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，C1CCBCA2，ACCB，D、E分别是棱CC、到平面的距离；（2）求二面角BADAB1C1的中点．求点BA1C1CA11的大小；（3）在线段AC上可否存在一点F，使得EF⊥平面A1BD？若存在，确定其地址并证明结论；若不存在，说明原因．A1B1EC1DAFCB24题图高三立体几何复习卷参照答案一.选择题1、已知正方体ABCDABCD的棱长为1，对于以下结论：①1平面A1DC;A1C1B1②11和1所成的角为o；③点A与点1在该正方体外接ACAD45CDC3AB球表面上的球面距离为，其中正确结论的个数是(C)2A.0B.1C.2D.32、已知两个不同样的平面、和两条不重合的直线，m、n，有以下四个命题①若m//n,m，则n②若m,m,则//③若m,m//n,n,则④若m//,n,,则m//n其中正确命题的个数是（D）A．0个B．1个C．2个D．3个3、以下命题中，真命题是（C）、都平行于，则m//nB.设l是直二面角，若直线ml,则A.若直线mnmC.若、在平面内的射影依次是一个点和一条直线，且mn，则n或mnn//D.若直线m、n是异面直线，m//，则n与订交4、过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°则该截面的面积是（A）A．πB.2πC.3π235、如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则y原图形的周长是（ACB）A.8cmB.6cmAxOC.2(1+3)cmD.2(1+2)cm6、有共同底边的等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为（B）A.1B.1C.3344D.227、给出以下命题：○1底面是正多边形的棱锥是正棱锥②侧棱都相等的棱锥是正棱锥○3侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥其中正确的命题的个数是（A）C.2D.38、若底面边长为a的正四棱锥的全面积与棱长为a的正方体的全面积相等，那么这个正四棱锥的侧棱与底面所成角的余弦值为（C）A．3B．3C．3D．263613269、已知直线a、b、c和平面、,有以下命题：①若//,a//,则a//；②若ab,a,b,则；③若,a,则a//；④若a//,,则a.其中正确的命题是(D).A.①②B.①③C.②④D.②10、已知正周围体ABCD的棱长为a，E为CD上一点，且CE:ED2:1，则截面△ABE的面积是（D）A．22B．2a2．17a22124D．19a21211、菱形ABCD的边长为a,A600,E,F,G，H分别在AB、BC、CD、DA上，且BEBFDGDH3a，沿EH与FG把菱形的两个锐角对折起来，使A、C两点重合，这时A点到平面EFGH的距离为（A）A.2aB.2aC.23aD.31a212、已知棱长为a的正周围体ABCD的中截面为M,则其内切球球心O到平面Ma6aC.6的距离为(C).A.B.a4612D.2a813、已知球O半径是1，A、B、C是球面上三点，且A与B、A与C、B与C的球面距离为,,,则周围体OABC的体积为（C）A．2B．3223124C．3D．212414、正三棱锥S—ABC中，M、N分别是SC、BC中点，MN⊥AM，若侧棱SA23，则此正三棱锥S—ABC外接球的表面积是C）A．12π

B．32π

C．36π

D．48π二.填空题15、如图,

ABCD

为矩形,

AB

3,

BC

1,

EF//BC,且AE

2EB,

G为

BC中点,

K为

ADF的外心.沿EF

将矩形折成一个

120

的二面角

A

EF

B,则此时KG的长是16、在三棱锥SABC

3中,

SA

平面

ABC,

SA

AB

1,

BC

2,

P为棱

SB上的动点,且

AP

PC的最小值为

5,则三棱锥

S

ABC

外接球的体积为

4

.317、已知长方体ABCD—A1B1C1D1的极点都在直径为3的球面上，AA1=AB=2，点是DD1的中点，则异面直线A1E与B1D所成角的大小为是__________．18、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为.

E219、将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A—BD—C，有以下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°④AB与CD所成的角为60°其中正确结论的序号是①、②、④.（写出所有你认为正确的结论的序号）三.解答题20、如图，棱长为1的正周围体ABCD中，E、F分别是棱AD、CD的中点，O是点A在平面BCD内的射影.（Ⅰ）求直线EF与直线BC所成角的大小；（Ⅱ）求点O到平面ACD的距离；（Ⅲ）求二面角A—BE—F正切值的大小.方法一：（Ⅰ）因为E、F分别是棱AD、CD的中点，所以EF∥AC.所以∠BCA是EF与BC所成角.∵正周围体ABCD，∴△ABC为正三角形，所以∠BCA=60°.即EF与BC所成角的大小是60°（Ⅱ）解法1：如图，连接AO，AF，因为F是CD的中点，且△ACD，△BCD均为正三角形，所以BF⊥CD，AF⊥CD.因为BF∩AF=F，所以CD⊥面AFB.因为CD在ACD，所以面AFB⊥面ACD.因为ABCD是正周围体，且O是点A在面BCD内的射影，所以点O必在正三角形BCD的中线BF上，在面ABF中，过O做OG⊥AF，垂足为G，所以OG⊥在ACD.即OG的长为点O到面ACD的距离.因为正周围体ABCD的棱长为1,在△ABF中,简单求出AF=BF=3，OF=3，AO=6，263因为△AOF∽△OGF，故由相似比易求出OG=6.96所以点O到平面ACD的距离是.解法2：如图，连接AO，CO，DO，所以点O到平面ACD的距离就是三棱锥O—ACD底面ACD上的高h.与解法1同理简单求出OF=3，AO=6，63所以V=16(31)A—COD12.332636因为VO—ACD=VA—COD，所以2=VO—ACD=1h(131).36322解得h6.9（Ⅲ）设△ABD中，AB边的中线交BE于H，连接CH，则由ABCD为正周围体知CH⊥面ABD.设HD的中点为K，则FK∥CH。所以FK⊥面ABD.在面ABD内，过点K作KN∥AD，KN交BE于M，交AB于N，因为BE⊥AD，所以NM⊥BE.连接FM，所以FM⊥BE所以∠NMF是所求二面角的平面角.因为FK=1CH=166.MK=1ED=1AD=1，2236244所以tanFMKFK26.MK321、如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AD=DC=3，DD1=4，E是A1A的中点.（Ⅰ）求证：A1C//平面BED;（Ⅱ）求二面角E—BD—A的大小；（Ⅲ）求点E到平面A1BCD1的距离.解法一：（I）连接AC交BD于点O，则O是AC的中点.连接EO.A1C∥EO.EO平面BED，A1C平面BED，∴A1C∥平面BED.II）∵AC⊥BD于O，又∵E是AA的中点，∴EB=ED.EO⊥BD.∴∠EOA是二面角E—BD—A的平面角.在Rt△EAO中，EA=1AA1=2，AO=1AC=32.222∴tAnEOA=EA222.AO3322二面角E—BD—A的大小是arctan22.3III）过点E作EF⊥A1B于F.∵AD⊥平面ABBA，EF平面ABBA，111111∴A1D1⊥EF且A1B∩A1D1=A1.∴EF⊥平面ABCD.则EF的长是点E到平面ABCD的距离.1111∵EFA1E,11ABA1B且AE=2，AB=5，AB=3，6,即点E到平面ABCD的距离是6.511522、如图，四边形ABCD是正方形，PB平面ABCD，MA∥PB，PB＝AB＝2MA．（Ⅰ）证明：AC∥平面PMD；（Ⅱ）求直线BD与平面PCD所成的角的大小；（Ⅲ）求平面PMD与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小．（Ⅰ）证明：如图1，取PD的中点E，连EO，EM．11EO∥PB，EO＝2PB，MA∥PB，MA＝2PB，EO∥MA，且EO＝MA．∴四边形MAOE是平行四边形．ME∥AC．又∵AC/平面PMD，ME平面PMD，AC∥平面PMD．（Ⅱ）解法一：如图1，PB平面ABCD，CD平面ABCD，∴CDPB．又∵CDBC，∴CD平面PBC．CD平面PCD，∴平面PBC平面PCD．B作BFPC于F，则BF平面PDC，连DF，则DF为BD在平面PCD上的射影．∴BDF是直线BD与平面PDC所成的角．1不如设AB＝2，则在Rt△PBC中，PB＝BC＝2，BFPC，∴BF＝2PC＝2．1BD＝22．∴在Rt△BFD中，BF＝2BD，∴BDF＝6．∴直线BD与平面PCD所成的角是6．解法二：以A为原点，建立以以下列图的空间直角坐标系，不如设AB＝2，则A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(2，2，0)，D(2，0，0)，P(0，2，2)．P∴DC＝(0，2，0)z，CP＝(－2，0，2)．BD＝(2，－2，0)M设n＝(x，y，z)是平面PCD的一个法向量，nDC，nCP．nDC=0，，∴即2y=0－2x＋2z=0．nCP=0．

AByD图2Cxz＝1，n＝(1，0，1)是平面PCD的一个法向量．过B作BF平面PCD，垂足为F，连DF，DFBD在平面PCD上的射影．∴BDF是直BD与平面PCD所成的角．⋯sinBDF＝|cos＜BD，n＞|BDn1BDF＝6．M＝＝2．∴|BD||n|GA∴直BD与平面PCD所成的角是6．NDC（Ⅲ）解：如3，分延PM，BA，图3PM∩BA＝G，DG，平面PMD∩平面ABCD＝DG．不如AB＝2，∵MA∥PB，PB＝2MA，∴GA＝AB＝2．A作ANDG于N，MN．∵PB平面ABCD，∴MA平面ABCD，∴MNDG．∴MNA是平面PMD与平面ABCD所成的二面角的平面角（角）．在Rt△MAN中，MA2MNA＝arctan2tanMNA＝＝2．∴2．NA2∴平面PMD与平面ABCD所成的二面角（角）大小是arctan2．21、如，在四棱PABCD中，四形ABCD正方形，P点在平面ABCD内的射影A，且PAAB2，EPD中点．P（Ⅰ）明：PB//平面AEC；（Ⅱ）明：平面PCD平面PAD；E（Ⅲ）求二面角EACD的正切．DA明：BD交AC于点O，EO．OBD中点，EPD中点，BCEO//PB．EO平面AEC，PB平面AEC，PB//平面AEC．

PB（Ⅱ）证明：P点在平面ABCD内的射影为A，∴PA⊥平面ABCD．CD平面ABCD，∴PACD．又在正方形ABCD中CDAD且PAADA，∴CD平面PAD．又CD平面PCD，∴平面PCD平面PAD．P（Ⅲ）ELDAALDKKCBC解法1：取AD中点L，过L作LKAC于K，连接EK、EL,L为AD中点，∴EL//PA，∴EL平面ABCD，LK为EK在平面ABCD内的射影．又LKAC,∴EKAC,EKL为二面角E—AC—D的平面角．在RtADC中，LKAC，AKL∽ADC,∴KLAL,即KL1，∴KL2，2DCAC222在RtELK中，tanEKLEL12，KL22∴二面角E—AC—D的正切值为2．解法2：如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴zPE建立空间直角坐标系．由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1)．PA平面ABCD，∴AP是平面ABCD的法向量，AP=（0,0,2）．设平面AEC的法向量为n(x,y,z),AE(0,1,1),AC(2,2,0),则nAE0,即0yz0,nAC0.2x2y00.zy,∴y.x∴令y1,则n(1,1,1).∴cosAP,nAPn221,∴tanAP,n2．|AP||n|33∴二面角E—AC—D的正切值为2．24、如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，C1CCBCA2，ACCB，D、E分别是棱C1C、B1C1的中点．（1）求点B到平面A1C1CA的距离；（2）求二面角BA1DA的大小；（3）在线段AC上可否存在一点F，使得EF⊥平面A1BD？若存在，确定其地址并证明结论；若不存在，说明原因．19．（本小题满分12分）解一（综合几何法，A版本）（1）∵ABCA1B1C1是直三棱柱，∴CC1A1底面ABC∴CC1BCC1EB1∵ACBC，∴BC平面A1C1CADAM