小学数学学习概论二

小学数学学习概论二第1页/共42页2第一节数学知识学习的基本形式数学知识概括为数学概念和数学规则（法则、定律、公式等）一、概念的形成与同化数学概念是反映一类数学对象的本质属性的思维形式。概念的学习可分为概念的形成与同化两种形式。第2页/共42页3（一）概念的形成概念的形成是指学生依靠直接经验，从大量的具体例子出发，从实际经验的肯定中，概括它们的共同属性，提出共同属性的各种假设加以验证，从而获得初级概念，再把这一概念的本质属性推广到同一类事物之中，并用符号加以表示。如数概念的形成、乘法概念、除法概念等。抽象概括出共同的本质属性区别于原来已知的某些经验推广到同类事物用符号加以表示感知（包括动作）一类事物的具体例子比较分析图4一1概念形成模式一、概念的形成与同化第3页/共42页4（二）概念的同化当学生在学习直接用定义（或“意义”）陈述概念时，能主动地利用原有认知结构中相应的旧概念与新概念之间的相互联系、相互作用，从而掌握新概念的本质属性，这种获得概念的形式叫概念的同化。一、概念的形成与同化给出定义（揭示本质属性）与原认知结构建立联系产生新概念形成新的认知结构图4-2概念同化模式概念的同化一般来说有三种方式。

第4页/共42页51．类属（下位）同化新概念在原有认知结构某些概念之中，通过学习新概念使学生对原有认知结构获得更深一层的认识。一、概念的形成与同化（二）概念的同化新概念

原有概念A图4-3类属同化示意第5页/共42页62、总括（上位）同化新概念总括与发展了原有认知结构中的相应概念，新概念与它们构成一种上位关系。上位同化通常是在归纳推理下进行的。一、概念的形成与同化（二）概念的同化原有概念A图4-3类属同化示意第6页/共42页73．并列同化新学的概念与原有认知结构中的相应概念既非类属关系，又无总括关系，但它们在有意义的学习中仍有一定的联系，这种学习的同化称为并列同化。例如，学生已掌握了总价与数量、路程与时间、工作总量与工作时间等数量关系，现在又新学到稻谷量与出米量的关系，它们既不是类属关系也不是总括关系，但确有一些一般吻合的关系——比率，结合原有的概念的数量关系进行学习，可使新概念的数量关系获得意义（见图4-5）。一、概念的形成与同化（二）概念的同化新概念A→B→C→D原有概念图4-5并列同化示意第7页/共42页8概念的形成和概念的同化，从其过程来看并不相同。概念形成主要依靠对具体事物的抽象。概念同化主要依靠新旧知识的联系，因此它的前提条件是学生必须具有与新概念有关系的认知结构，要找出新旧概念的连接点并区别其异同，再进行调节，最后把新概念纳入到原有认知结构之中并对它有更深一层的认识；或者对原有认知结构进行改组，重建成新的认知结构。所以我们可以这样说，如果把概念的形成作为发现学习，那么概念的同化就是接受学习。概念的形成往往与人类自发形成的概念相近，它适用于低年级；就学习内容而言，尤其适用于几何知识的学习。概念的同化则是具有一定心理水平的学生学习概念的方式，比较适合中高年级。实际教学过程中，概念的形成和概念的同化往往是结合起来使用的，这样既符合学生由具体到抽象的认识规律，又可利用原有的概念进行迁移，在较短的时间内揭示本质属性。一、概念的形成与同化第8页/共42页9二、规则的发现与接受（一）数学规则的发现学习它是先呈现有关数学规则的若干例证，由学生自己观察分析，逐步概括归纳出一般的结论，从而获得规则的方法。第一节数学知识学习的基本形式序号长（厘米）宽（厘米）面积（平方厘米）1642428324312224……………………长方形面积=长×宽小学数学中很多规则都可以通过这种发现学习的方法获得。如加法、乘法交换律、小数移位规律等等。第9页/共42页10（二）数学规则的接受学习

接受学习是先呈现要学习的数学规则，然后用若干例证加以说明。这种方法的前提是学生对构成规则的有关数学概念已经掌握。第一节数学知识学习的基本形式

例如：“一个最简分数的分母是只含有2，5的质因数的，就能化成有限小数；如果分母里除了含有2，5的质因数以外，还有其他的质因数，就不能化成有限小数。”

以这一规律为依据对下列最简分数不通过计算直接判断能否化为有限小数：二、规则的发现与接受

概念接受学习的三种同化方式（类属同化、总括同化和并列同化）在规则的接受学习中同样存在。第10页/共42页11第二节数学技能学习的基本形式一、数学技能及其种类技能、能力和知识是三个既有联系而又有区别的概念：技能是智力活动和操作活动的基本活动方式，反映的是动作本身和动作方式的熟练程度；能力是保证动作达到熟练，保证活动能够顺利完成的某些稳定的心理特征；知识则是对客观事物的特点、意义、结构以及它们相互之间联系的规律性的认识。例：385×99+385=385×(99+1)=385×100=38500

数学技能是完成某些数学任务的智力或动作的活动方式。技能一般可分为智力技能和操作技能两大类。第11页/共42页12智力技能主要指组成这类活动方式的动作是在头脑内部实现的，通过分析、综合、抽象、概括等逐步完成的；操作技能是指组成这类活动方式的动作需要通过人的头脑外部的机体运动或操作一定的对象来完成。小学数学的智力技能包括口算、笔算、解题、解方程等；小学数学的操作技能包括数字的书写，利用工具（直尺、三角板、圆规）作几何图形，利用工具测量角度、测量物体的长度、重量等等。第二节数学技能学习的基本形式一、数学技能及其种类第12页/共42页13二、数学智力技能的形成过程与学习方法（一）数学智力技能的形成过程1、活动定向阶段这是准备阶段，任务是了解、熟悉活动，知道要“做什么”和怎么做，从而在头脑中建立起定向映象，而且这种了解应该是完全的、概括的比较系统。2．物质活动和物质化活动阶段所谓物质活动是指动作的客体是实际事物，所谓物质化活动是指活动不是借助于实际事物本身，而是以它的代替物如模拟的教具、学具，乃至图画、图解、言语等进行的。第13页/共42页14图4-6相遇问题线段第14页/共42页153．出声的外部言语活动阶段这一阶段是活动离开了它的物质或物质化的客体，以出声的外部言语形式来完成实在的活动。活动向言语转化，不仅意味着用言语来表达活动，而首先意味着在言语中完成了实在的活动。言语活动真正的优越性不在于脱离与实际的直接联系，而在于它必然为活动创造新的目标——抽象化，从而保证了活动的高度定型化，也保证了活动的迅速自动化。（一）数学智力技能的形成过程二、数学智力技能的形成过程与学习方法第15页/共42页164．不出声的外部言语阶段这阶段不只是“言语减去声音”，而是以词的声音表象、动觉表象为基础的智力活动阶段。不出声的外部言语形式的活动的形成是活动向智力水平转化的开始，因此这一阶段在智力活动的形成过程中同样是十分重要的。（一）数学智力技能的形成过程二、数学智力技能的形成过程与学习方法第16页/共42页175．内部言语活动阶段这是活动达到智力水平的最后阶段。由外部言语转化为内部言语，主要是用“自己的言语”进行思考，所以在结构上发生了较大的变化。（一）数学智力技能的形成过程二、数学智力技能的形成过程与学习方法第17页/共42页18（二）数学智力技能的基本学习方法1．范例学习方法这是小学数学智力技能学习的主要方法。利用课本中的范例，将思维操作程序一步一步地呈现出来，使学生把握住解题的条件和步骤。二、数学智力技能的形成过程与学习方法第18页/共42页192．尝试学习方法这种方法与范例学习方法不同，主要由学生自己去尝试探索解决问题的线索，并在不断修正错误中找出解决问题的途径。这种方法一般在学生已学会通用方法，在探究变式题时可以采用。如前例，学生已学会一般的笔算除法，在学习商中间带0的除法时，可用这种学习方法让学生试算。我们把原题被除数的342改为312，312÷3=?学生通过尝试商是14还是104，从尝试错误所提供的鉴别信息中，悟出得出正确结论的原因。这种学习方法比较费时间，但有利于培养学生主动学习、独立思考的能力。二、数学智力技能的形成过程与学习方法（二）数学智力技能的基本学习方法第19页/共42页20三、数学操作技能的形成过程与学习方法（一）数学操作技能的形成过程1．定向阶段定向阶段指学生要了解与某种数学技能有关的知识和功用，了解动作的基本步骤、难度、要领、动作程序以及活动最后要达到的目标等。例如，测量一个角的大小，必须先理解什么是角，角的大小指哪部分，角的大小与所画的边长无关，量角器这一测量工具的使用方法；然后再了解量角的步骤、要领。2．单个动作阶段单个动作阶段指把整个的活动分解为若干个单个动作，并逐一进行练习，达到形成局部动作的技能。第20页/共42页213.连续动作阶段连续动作阶段指把每一个动作技能按顺序连接起来，形成一个连贯协调的步骤。这时动作之间的相互干扰逐步得到排除，视觉、听觉的反馈逐步被动觉反馈所替代，动作已不那么紧张，多余的动作也明显减少，最后使整套动作能完整地完成。4.自动化阶段是数学操作技能的最后阶段。这时，意识的参与明显减少，意识只有当动作出偏差时才起作用。只要有启动的信息，可以自动地完成一整套的数学操作，学生可以自由分配自己的注意来完成全部动作了。全套动作协调一致、统一和谐、前后连贯，达到整体动作的自动化和完善化。三、数学操作技能的形成过程与学习方法（一）数学操作技能的形成过程第21页/共42页22（二）数学操作技能的学习方法与智力技能不同，操作技能的学习方法一般就是范例学习方法。三、数学操作技能的形成过程与学习方法第22页/共42页23四、两种数学技能的比较（一）在意识的控制程度方面的区别意识控制程度的减少是两种数学技能形成和熟练的主要标志，数学智力技能的熟练表现在心理资源的节约，意志努力程度的降低，最后思维简缩到连自己也觉察不到的自动化的程度。数学操作技能的熟练则表现在意识参与程度的减少，只有一个启动信息，全套动作便能自动和谐地完成。第23页/共42页24（二）在动作程序形成方面的区别动作程序形成了动作单元组成的动作结构，这也是两种数学技能形成的特点。数学智力技能形成的程序表现为一种认知的“功能模块”，也就是由各环节构成的系统（如口算步骤等），但是更主要的是由外部活动向内部言语，最后达到思维过程的高度简缩。数学操作技能形成的程序表现为由单个动作连结为连续动作，多余动作逐步消失，注意力可以自由分配。四、两种数学技能的比较第24页/共42页25(三）在活动速率和品质方面的区别技能熟练与否还以其速率及品质来决定。两种技能都要达到一定的速率，这是毋庸置疑的。而两者的活动品质有所不同，智力技能主要指思维方面的品质，表现为思维的正确、简约和灵活；操作技能主要指动作的品质，表现为动作的精确、娴熟与和谐。数学技能的形成和熟练还必须通过科学的练习。关于如何依据练习规律形成技能，将在第六章小学数学教学方法中进行阐述。四、两种数学技能的比较第25页/共42页26

第三节数学问题解决的基本形式一、数学问题解决的含义问题解决是近年来国际上（尤其是美国）提出的数学教育的行动口号。问题解决是指个体在一种新的情境下，根据获得的有关知识对发现的新问题采用新的策略寻求问题答案的心理活动。当然，数学问题解决是以数学问题为研究对象的，它可以提高学生的创造性思维，提高学生应用数学的意识，是近年来数学教育界研究的热点问题之一。第26页/共42页27二、小学数学问题解决的特点小学数学问题解决具有以下几个特点：(1)问题解决指的是学生初次遇到的新问题，这类问题并非是平时遇到的一般的练习题。(2)问题解决的方法和途径也是新的，应是学生利用已有的知识、技能、方法的重新组合，至少是对原有知识、技能、方法进行较复杂的加工，是学生的一种克服各种障碍的探究活动。第三节数学问题解决的基本形式第27页/共42页28(3)问题懈决的方法和途径可以包括内隐的思维活动和外显的操作活动两个方面。(4)问题一旦解决，学生通过问题解决的过程所获得的新的方法、途径和策略便可作为认知结构中的一个组成部分，成为已知的解决其他问题的方法、途径。也就是说，用这些方法、途径再去解决其他问题，就不再是问题解决了。总之，所有的问题解决都应该具有以上的特点，否则就成为一种练习性的作业。二、小学数学问题解决的特点第三节数学问题解决的基本形式第28页/共42页29数学问题解决一般可以分为两类。一类是日常生活中提出来的问题，这些来自日常生活的直观原型，需要把它们抽象为数学模型，可以称为“建模”，通过对数学模型的求解从而解决实际问题；另一种就是平时所见到的人们已编制成的新的数学问题。在小学数学问题解决方面也包括以上两种，而后者居多。这些问题能使他们将原有的知识、技能和方法迁移到新的课题情境之中，这些新课题的情境可以是课本中首次出现的例题，也可以是符合上述特点的非正规的习题。通过学生自己去探索这类问题的解法或者解答一些变化大的题目，以促进学生问题解决能力的提高。第29页/共42页30奥苏伯尔与鲁滨逊于1969年提出了问题解决的模式（四个阶段），该模式不仅描述了问题解决的基本过程，并且着重说明了认知结构中各成分在解题过程中的作用，对我们研究小学数学问题解决的过程颇有帮助．三、奥苏伯尔问题解决的模式第30页/共42页31四、小学数学问题解决的基本过程（一）弄清问题数学问题的情况至少应包括已知条件和问题目标两部分。已知条件是题目已给定的信息，如数据、关系，也包括事理。例如：“小明和小英从环形跑道A点同时相背而行，小英每分钟行50米，小明每分钟比小英多行5米，10分钟后二人相遇，求这环形跑道的长度。”此题中的已知条件除数据外，还有题文中所阐明的运动形式（环形）、运动方向（相背）、时间（同时）、地点（同地）等，则是不参与运算但对条件作一定限制的关系或事理，而问题目标则是求跑道的长度。第31页/共42页32（二）寻求解法这是解决问题的关键一步。在了解已知条件与条件、条件与目标之间的联系后，要在条件与目标间的空隙处去寻找突破口。能否填补以及怎样填补条件与目标间的空隙，是解题过程中的核心问题。当题目叙述的内容较为抽象时，可以利用线段图、图表、摘录条件等辅助手段，把隐蔽的数量关系显示出来。小学阶段的较复杂的分数应用题、行程问题等往往通过画线段图作为思考问题的切入口，数量关系一旦明朗化，问题解决也就完成了一半了。如果已知条件与目标间存在较大空隙，即存在着若干个未知的过渡问题而又不易探求时，往往需要对数量关系本身进行信息加工，变换条件或问题目标的叙述方式，以降低解题难度。四、小学数学问题解决的基本过程第32页/共42页33（三）进行解题根据思考过程拟订解题计划，并逐步解答，最后解决问题。在这一过程中，要求学习者的每一步推算、列式或作图都要正确无误，并能用清晰的语言阐明自己的思路，证明每一步的正确性。（四）回顾评价回顾主要指对数学问题的答案进行检验；评价则要求学习者分析自己选择的解题途径是否最简捷，推理是否严谨；再进一步探究一下这种方法能否运用于其他问题。四、小学数学问题解决的基本过程第33页/共42页34例1.每辆车最多能坐80人，哪两个班在一辆车里最合适？解：先把两班人数和正好是80的加在一起。(1)班和二(3)班人数38+42=80(人)(2)班和二(1)班人数40+40=80（人）(3)班和二(2)班人数45+34=79（人）（没超过80人）第34页/共42页35例2。小文有两件衬衫，三条裙子。她最多在几天内保证每天穿的衣服不完全一样？解法一：以衬衣为标准解法二：以裙子为标准第35页/共42页36例3：长40cm，宽20cm的长方形铁皮做成深5cm的无盖长方体铁盒(焊接处不计)，求长方体铁盒的容积。方法一：（40-5×2）×（20-5×2）×5=30×10×5=1500（立方厘米）第36页/共42页37例：长40cm，宽20cm的长方