高中数学 倾斜角与斜率 新人教A版必修

高中数学倾斜角与斜率课件新人教A版必修第一页，共四十八页，2022年，8月28日成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版·必修2第二页，共四十八页，2022年，8月28日直线与方程第三章第三页，共四十八页，2022年，8月28日为缓解日益严重的交通压力，各地都加大了基础设施建设的力度，先后投资发展轨道交通与城市高架桥建设，如图是高架桥的效果图，纵横交错的桥梁远远看去如一条条直线，有的相互平行，有的相互垂直，高架桥两边的护拦是平行的，而路灯的灯杆与护栏则是垂直的，如果我们把护栏与灯杆都看作直线，那么，从何角度研究直线以及如何研究呢？这就是本章将要学习的直线与方程．第四页，共四十八页，2022年，8月28日3.1

直线的倾角与斜率第三章倾斜角与斜率第五页，共四十八页，2022年，8月28日高效课堂2课后强化作业4优效预习1当堂检测3第六页，共四十八页，2022年，8月28日优效预习第七页，共四十八页，2022年，8月28日●知识衔接第八页，共四十八页，2022年，8月28日－tanα

1－1两第九页，共四十八页，2022年，8月28日1．倾斜角●自主预习定义当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，_______轴正向与直线l向_______方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．规定当直线l与x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为__________.记法αx上0°第十页，共四十八页，2022年，8月28日倾斜程度倾斜角第十一页，共四十八页，2022年，8月28日[破疑点]

理解倾斜角的概念时，要注意三个条件：①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．第十二页，共四十八页，2022年，8月28日2．斜率(倾斜角为α)定义α≠90°一条直线的倾斜角α的__________叫做这条直线的斜率α＝90°斜率不存在记法k，即k＝__________范围__________公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝__________作用用实数反映了平面直角坐标系内的直线的__________正切值tanαR倾斜程度第十三页，共四十八页，2022年，8月28日[破疑点]

①当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，并不是直线不存在，此时，直线垂直于x轴；②所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率；③直线的斜率也反映直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α<90°时，斜率越大，直线的倾斜程度就越大；当90°<α<180°时，斜率越大，倾斜角也越大；④k>0⇔0°<α<90°；k＝0⇔α＝0°；k<0⇔90°<α<180°；k不存在⇔α＝90°.第十四页，共四十八页，2022年，8月28日1．给出下列命题：①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；④按照倾斜角的概念，直线倾斜角的集合{α|0°≤α<180°}与直线集合建立了一一映射关系．其中正确命题的个数是(

)A．1 B．2C．3 D．4[答案]

A●预习自测第十五页，共四十八页，2022年，8月28日[解析]

序号正误理由①√任何直线都有唯一的倾斜角，故①正确②×倾斜角的范围是[0°，180°)，故②错误③×所有与x轴平行或重合的直线的倾斜角都是0°，故③错误④×倾斜角相同的直线有无数条，不是一一映射关系，故④错误第十六页，共四十八页，2022年，8月28日[答案]

B第十七页，共四十八页，2022年，8月28日3．已知直线过点A(0,4)和点B(1,2)，则直线AB的斜率为(

)A．3 B．2C．－2 D．不存在[答案]

C第十八页，共四十八页，2022年，8月28日高效课堂第十九页，共四十八页，2022年，8月28日

(1)已知直线l的倾斜角为β－15°，则下列结论中正确的是(

)A．0°≤β<180° B．15°<β<180°C．15°≤β<180° D．15°≤β<195°(2)已知直线l1的倾斜角为α1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角α2为________.直线的倾斜角的理解●互动探究第二十页，共四十八页，2022年，8月28日[探究]

(1)直线倾斜角α的范围是什么？(2)关于x轴对称的两条直线的倾斜角能互补吗？[解析]

(1)因为直线l的倾斜率为β－15°，所以0°≤β－15°<180°，即15°≤β<195°.(2)当α1＝0°时，α2＝0°，当0°<α1<180°时，α2＝180°－α1.[答案]

(1)D

(2)0°或180°－α1第二十一页，共四十八页，2022年，8月28日

规律总结：1.理解直线的倾斜角首先要弄清以下几个问题：(1)倾斜角定义中含有三个条件：①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．(3)直线的倾斜角α的取值范围是：0°≤α＜180°.第二十二页，共四十八页，2022年，8月28日2．求直线倾斜角的方法及关注点：(1)方法定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角．分类法：根据题意把倾斜角α分为以下四类讨论：α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°.(2)关注点结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论．第二十三页，共四十八页，2022年，8月28日一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为(

)A．αB．180°－αC．180°－α或90°－αD．90°＋α或90°－α[答案]

D第二十四页，共四十八页，2022年，8月28日[解析]

解答本题可先借助直观图形，再利用倾斜角的定义求解．如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α，故选D．[点评]

求直线的倾斜角主要是根据定义来求，它的关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况讨论，讨论的情形包括：0°角、锐角、直角和钝角．第二十五页，共四十八页，2022年，8月28日

已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，＋1)．(1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角．(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．已知两点坐标求倾斜角和斜率第二十六页，共四十八页，2022年，8月28日第二十七页，共四十八页，2022年，8月28日第二十八页，共四十八页，2022年，8月28日

规律总结：(1)对求斜率的两个公式注意其应用的条件，必要时应分类讨论；(2)当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与y轴平行(或重合)时，斜率由0逐渐增大到＋∞；按顺时针方向时，斜率由0逐渐减小到－∞，这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围．第二十九页，共四十八页，2022年，8月28日第三十页，共四十八页，2022年，8月28日第三十一页，共四十八页，2022年，8月28日

规律总结：1.对直线斜率公式的认识：直线的斜率公式表明了直线相对于x轴正向的倾斜程度，可通过直线上任意两点的坐标表示，比使用几何的方法先求倾斜角，再求斜率要更简便．2．应用斜率公式时的注意事项：(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．特别提醒：在解决与斜率有关的问题时，要根据题目条件对斜率是否存在做出判断，以免漏解．第三十二页，共四十八页，2022年，8月28日[探究]

1．当三点共线时，任意两点的连线的斜率(斜率存在时)有怎样的关系？2．题2中求范围可用什么方法？直线的倾斜角与斜率的综合应用第三十三页，共四十八页，2022年，8月28日第三十四页，共四十八页，2022年，8月28日已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2,5)，P3(3,1)是此直线上的三点，求x2，y1的值．[分析]

题中直线的倾斜角已知，且三点在同一条直线上，故可考虑根据点与斜率及其倾斜角之间的关系求解．第三十五页，共四十八页，2022年，8月28日

规律总结：用斜率公式可解决三点共线问题：第三十六页，共四十八页，2022年，8月28日

如图所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1与l2垂直，求l1、l2的斜率．互相垂直直线倾斜角之间的关系●探索延拓第三十七页，共四十八页，2022年，8月28日

规律总结：充分挖掘题目中条件的相互联系，是正确解题的前提条件．第三十八页，共四十八页，2022年，8月28日(1)直线l1的倾斜角α1＝30°，若直线l2的倾斜角与直线l1的倾斜角相等，则直线l2的斜率为________.(2)直线l1的倾斜角α1＝30°，若直线l2的倾斜角与直线l1的倾斜角互补，则直线l2的斜率为________.第三十九页，共四十八页，2022年，8月28日

求经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．易错点注意90°倾斜角●误区警示第四十页，共四十八页，2022年，8月28日[错因分析]

当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象进行分类讨论，然后对每一类分别研究，得出每一类结果，最终解决整个问题．本题的讨论分两个层次：第一个层次是讨论斜率是否存在；第二个层次是讨论斜率的正、负．也可以分为m＝1，m>1，m<1三种情况进行讨论．第四十一页，共四十八页，2022年，8月28日第四十二页，共四十八页，2022年，8月28日直线l过点M(－2，m)，N(m,4)两点，则直线l的斜率为________.第四十三页，共四十八页，2022年，8月28日当堂检测第四十四页，共四十八页，2022年，8月28日1．如下图，直线l的倾斜角为(

)A．45° B．135°C．0° D．不存在[答案]

B