(必考题)初中八年级数学下册第十八章《平行四边形》经典题(含答案解析)

一、选择题1.如图，在△ABC中，NACB=90。，点。在zc边上且AD=BD,M是B。的中点.若AC=16,6C=8,则CM等于( )A.5 B.6 C.8 D.10A解析：A【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出CM=；BD，设CM=x，则BD=AD=2x，再根据勾股定理列方程求解即可得出答案.【详解】解：NACB=90。，m是bd的中点，/.CM=1BD2设CM=x，则BD=AD=2x,/AC=16CD=AC—AD=16—2x在Rt△BCD中，根据勾股定理得BC2+CD2=BD2即82+(16-2x>=(2x>解得：x=5，故选A.【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.2.如图，将长方形纸片沿对角线折叠，重叠部分为△BDE，则图中全等三角形共有()0对1对20对1对2对3对C解析：C【分析】因为图形对折，所以首先4CDB至△ABD,由于四边形是长方形，进而可得△ABE至△CDE,如此答案可得.【详解】解：:△BDC是将长方形纸片ABCD沿BD折叠得到的，/.CD=AB,AD=BC,BD=BD,/.△CDB至△ABD(SSS),/.ZCBD=ZADB/.EB=ED/.CE=AE又AB=CD/.△ABE至△CDE,「•图中全等三角形共有2对故选：C【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.做题时要由易到难，循序渐进.3.如图，在△•C中，D,E分别是的中点，5C=12,F是。£的上任意一点，连接ARC7"DE=3DF,若N"C=90。，则AC的长度为()A.4 B.5 C.8 D.10C解析：C【分析】根据三角形中位线定理求出DE,根据题意求出EF,根据直角三角形的性质计算即可.【详解】解：:D、E分别是AB、AC的中点，・•.DE是^ABC的中位线，…DE=-BC=6,2・「DE=3DF,「.EF=4,■:乙AFC=90°,E是AC的中点，AC=2EF=8,故选：C.【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键.4.如图，在平行四边形ABC。中，ZB+ZD=100°,则等于（）A.50° B.65° C.100° D.130°A解析：A【分析】根据平行四边形的对角相等求出NB即可得解.【详解】解：MBCD中，ZB=ZD,-：ZB+N0=100°,乙—xl00°=50°,2故选：A.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形的对角相等是基础题..平行四边形一边的长是12cm，则这个平行四边形的两条对角线长可以是（）A.4cm或6cmb.6cm或10cmc.12cm或12cmd.12cm或14cmD解析：D【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=2AC,OB=2BD,然后利用三角形三边关系分析求解即可求得答案.【详解】解：:四边形ABCD是平行四边形，:OA=—AC,OB=—BD,2 2A、;AC=4cm,BD=6cm,

0A=2cm,0B=3cm,OA+OB=5cm<12cm,不能组成三角形，故不符合;B、AC=6cm,BD=10cm,0A=3cm,0B=5cm,OA+OB=8cm<12cm,不能组成三角形，故不符合;C、AC=12cm,BD=12cm,0A=6cm,0B=6cm,OA+OB=12cm=12cm,不能组成三角形，故不符合;D、AC=12cm,BD=14cm,0A=6cm,0B=7cm,OA+OB=13cm>12cm,能组成三角形，故符合;故选D.【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系.注意掌握平行四边形的对角线互相平分.C.OA=OC,OB=ODB.ADIIBC,AB=CD.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,下列条件不能判定四边形ABCDC.OA=OC,OB=ODB.ADIIBC,AB=CDD.AB=CD,AD=BCB解析：B【分析】根据平行四边形的判定方法即可判断.【详解】A、B、CA、B、C、D、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定;无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形;根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定;故选：B.【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理..如图，直线，上有三个正方形。力,若“，c的边长分别为1和3,则b的面积为（）

A.8B.9C.10D.A.8B.9C.10D.11C解析：C【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得然后证明AACB=ADCE,再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可.【详解】解：如图：由于〃、b、。都是正方形，所以AC=CD,ZACD=90°；/ZACB+ZDCE=AACB+ABAC=90°,即Z-BAC=/ECD,在AA5C和ACH）中，/ABC=/CED=90。<ZACB=ZCDE,AC^DC.\AACB=ACDE(AAS),:.AB=CE,BC=DE；在RtAABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2^DE2=12+32=10,即S=10,b则b的面积为10,故选：C.【点睛】本题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，证明AACB=ADCE是解题的关键.8.如图，菱形ABCD中，ZABC=60°,AB=4,E是边AD上一动点，将4CDE沿CE折叠，得到ACFE,则4BCF面积的最大值是()B CB CA.8 B.8。3 C.16 D.16<3A解析：A【分析】由三角形底边BC是定长，所以当^BCF的高最大时，△BCF的面积最大，即当FC±BC

时，三角形有最大面积.【详解】解：在菱形ABCD中，BC=CD=AB=4又••・将△CDE沿CE折叠，得到4CFE,FC=CD=4由此，△BCF的底边BC是定长，所以当4BCF的高最大时，△BCF的面积最大，即当FC_LBC时，三角形有最大面积「.△BCF面积的最大值是•尸。=Jx4x4=82 2故选：A.故选：A.【点睛】本题考查菱形的性质和折叠的性质，掌握三角形面积的计算方法和菱形的性质正确推理计算是解题关键.9.如图，已知在正方形ABCD中，E是BC上一点，将正方形的边CD沿DE折叠到DF,延长EF交AB于点G,连接DG.现有如下4个结论：①AG=GF；②AG与EC一定不相等；③/GDE=45。；④△BGE的周长是一个定值.其中正确的个数为（）解析：C234解析：C234C【分析】根据HL证明△ADGM△FDG,根据角的平分线的意义求NGDE,根据GE=GF+EF=EC+AG,确定国BGE的周长为AB+AC.【详解】根据折叠的意义，得△DEC^△DEF,「.EF=EC,DF=DC,NCDE=NFDE,DA=DF,DG=DG,/.RtAADG至RtAFDG,/.AG=FG,NADG=NFDG,/.ZGDE=ZFDG+ZFDE二一(NADF+ZCDF)=45°,「△BGE的周长=BG+BE+GE,GE=GF+EF=EC+AG,「.△BGE的周长=BG+BE+EC+AG=AB+AC,是定值，，正确的结论有①③④，故选C.【点睛】本题考查了正方形中的折叠变化，直角三角形的全等及其性质，角的平分线，三角形的周长，熟练掌握折叠的全等性是解题的关键.10.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,ZACD=30。，若^ABC的周长比aAOB的周长大10,则AB的长为().A.10<3 B.5<3 C.10 D.20A解析：A【分析】由矩形的性质和已知条件求出AB=\；3BC,BC=10,即可得出答案.【详解】解：:四边形ABCD是矩形，，AO=CO=DO=BO,AD=BC,ZABC=90°,ABIICD,，ZBAC=ZACD=30°,•二ab=\,：3bc,「△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AO+OC+BC,△AOB的周长=AB+AO+BO,又「ABC的周长比^AOB的周长长10,，AB+AC+BC-(AB+AO+BO)=BC=10,，ab、3BC=10<3；故选：A.【点睛】本题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质，求

出BC的长是解题的关键.二、填空题11.如图，在平行四边形A5C。中，AD=2CD,F是AD的中点，CE1AB,垂足E在线段上.下列结论①4DCF=NECF；@EF=CF;（3）ZDFE=3ZAEF；④中，一定成立的是 .（请填序号）BEC CEr勺一1 a②③④【分析】如图延长EF交CD的延长线于H作ENIIBC交CD于NFKIIAB交BC于K利用平行四边形的性质全等三角形的判定和性质一一判断即可解决问题【详解】解：如图延长EF交CD的延长线于H作ENII解析：②③④【分析】如图延长EF交CD的延长线于H.作ENIBC交CD于N,FKIAB交BC于K.利用平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质一一判断即可解决问题.【详解】解：如图，延长EF交CD的延长线于H.作ENIBC交CD于N,FKIAB交BC于K.丁四边形ABCD是平行四边形，「.ABICH,「.NA=NFDH,在^AFE和^DFH中，叱A=/FDH</AFE=/HFD,^AF=DF△AFEM△DFH,;CE±AB,ABICH,「.NECH=90°CF=EF=FH,故②正确，;DF=CD=AF,「.NDFC=NDCF=NFCB,「NFCB〉NECF...NDCF〉NECF,故①错误，.「FKIAB,FDICK四边形DFKC是平行四边形，

,AD=2CD,F是AD中点,.DF=CD,「•四边形DFKC是麦形，ZDFC=ZKFC,AEIIFK,ZAEF=ZEFK,FE=FC,FK±EC,ZEFK=ZKFC,ZDFE=3ZAEF,故③正确，•••四边形EBCN是平行四边形,''BEC-^Aenc'.「Saehc=2Saefc，S-hc>Saenc,・•・Sabec<2S*ef，故④正确，故正确的有②③④.故答案为②③④.【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.12.在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点P在正方形的边上，若NAEB=105°,AE=EP,则NAEP的度数为.60°或90°或150°【分析】首先根据题意作出正方形以及NAEB再以E为圆心EA为半径作圆与正方形的交点即为满足条件的P点分类讨论即可【详解】如图所示在正方形ABCD中NAEB=105°.•点P在正解析：60°或90°或150°【分析】首先根据题意作出正方形以及NAEB,再以E为圆心，EA为半径作圆，与正方形的交点即为满足条件的P点，分类讨论即可.【详解】如图所示，在正方形ABCD中，NAEB=105°,•・•点P在正方形的边上，且AE=EP,「•可以E为圆心，EA为半径作圆，与正方形的交点即为满足条件的P点，①当P在AD上时，如图，AE=EPp丁NEBA=45°,

ZEAB=180o-45°-105o=30°,NEAPy。。，△EAP*等边三角形，此时NAEP『60°；②当P在CD上时，如图，AE=EP2，AE=EP3，由①可知NDEP『180°；05°-60°=15°,此时NDEP『nDEP2=15o,ZCEP2=ZAEP『60°,止匕时NAEP2=60o+15o+15o=90°；ZAEP3=2ZAED=2x(180°-105°)=150°,故答案为：60。或90。或150。.【点睛】本题考查正方形的性质以及等腰三角形的判定，熟练运用尺规作图的方式进行等腰三角形的确定是解题关键.13.如图，直角三角形ABC中，ZACB=90°,CD_LA5于点。，Ab平分/C钻交CD于点£,交于点尸，EGHAB交CB千HG,FH1AB于H,以下4个结论：@ZACD=ZB;②△CEF是等边三角形；③CD=FH+DE；④5G=CE中（将正确结论的序号填空）正确的是,①③④【分析】连接EH（将正确结论的序号填空）正确的是,①③④【分析】连接EH得出平行四边形EHBG推出BG=EH求出NCEF=ZAFC得出CE=CFffiACAE空△HAE推出CE=EH即可得出答案【详解】解：如图连接EH'/ZACB=90°/.Z3+Z4=9解析：①③④【分析】连接EH,得出平行四边形EHBG,推出BG=EH,求出NCEF=NAFC,得出CE=CF,证△CAEM△HAE,推出CE=EH,即可得出答案.【详解】解：如图，连接EH,丁NACB=90°,」.N3+N4=90°,;CD±AB,「.NADC=90°,「.NB+N4=90°,N3=NB,故①正确；丁NADC=NACB=90°,」.N1+NAFC=90°,N2+NAED=90°,丁AE平分NCAB,「.N1=N2,丁NAED=NCEF,「.NCEF=NAFC,「.CE=CF,「.△CEF是等腰三角形，故②错误;丁AF平分NCAB,FH±AB,FC±AC,「.FH=FC,在RtACAF和RtAHAF中，JAF=AF[CF=FH，「.RtACA碎RtAHAF(HL),「.AC=AH,在△CAE和△HAE中，产二AH<Z1=Z2,、AE=AE「.△CAE^△HAE(SAS),:.N3=NAHE,CE=EH,;N3=NB,「.NAHE=NB,「.EHIIBC,;CD±AB,FH±AB,「.CDIFH,•・四边形CEHF是平行四边形，「.CE=FH,「.CD=CE+DE=FH+DE,故③正确；「EGIIAB,EHIIBC,•・四边形EHBG是平行四边形，「.EH=BG,CE=EH,BG=CE.故④正确.所以正确的是①③④.故答案为：①③④.【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，有一定的难度.14.如图，在心AABC中，ZACB=9Q\AC=6,AB=10,过点A作AM//C瓦。石平分NACB交40于点瓦。是线段上的点，连接8。，过点5作成_LBQ交于点延长线于点G过点Q作QF±CB运用AAS定理证明^QBF空△BPG根据平行线的性质和角平分线的定义求得^AEC为等腰直角三角形利用勾股定理求得线段BC的长然后结合全解析：10【分析】过点P作PGLCB，交CB的延长线于点G，过点Q作QFLCB，运用AAS定理证明△QBFM△BPG，根据平行线的性质和角平分线的定义求得△AEC为等腰直角三角形，利用勾股定理求得线段BC的长，然后结合全等三角形和矩形的性质求解.【详解】解：过点P作PGLCB,交CB的延长线于点G,过点Q作QF±CB丁BP,BQ,PG±CB」.N1+N2=90°,N2+N3=90°「.N1=N3;QF±CB,BP,BQ「.NQFB=NPGB=90°又「APBQ为等腰三角形「.QB=PBZ1=Z3/QFB=/PGBQB=PB

△QB碎△BPGPG=BF,BG=QF•••ZACB=90°,CE平分NACBZACE=ZECB=45°又「AMIICB,ZAEC=ZECB=45°ZAEC=ZACE=45°AEC为等腰直角三角形AMIIBC,ZACB=90°ZCAM+ZACB=180°,即NCAM=90°ZCAM=ZACB=ZPGB=90°「•四边形ACGP为矩形，PG=AC=6,AP=CG在RSABC中，BC=^2-AC2=8CF=BC-BF=BC-PG=8-6=2QF±BC,ZECB=45°CQF是等腰直角三角形，即CF=QF=2AP=CG=BC+BG=BC+QF=8+2=10【点睛】本题考查矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键15.如图，在四边形ABC。中，/ABC=150。，BD平分/ABC，过A点作AE//BC交BD于点E,EF±BC于点F若AB=6，则EF的长为.3【分析】过点3【分析】过点A作AM±CB交CB延长线于点M根据题意可知NABM=30°可求AM=3再利用平行四边形的性质求出EF【详解】解：过点A作AM_LCB交CB延长线于点M：ZABM=30°/.AM=AB=解析：3【分析】过点A作AM_LCB,交CB延长线于点M,根据题意可知，ZABM=30°,可求AM=3,再利用平行四边形的性质，求出EF.【详解】解：过点A作AM_LCB,交CB延长线于点M,•//ABC=150。，ZABM=30°,AM=1AB=1-x6=3,AM±CB,EFLBC,：.AMIIEF,.AE//BC,「•四边形AMFE是平行四边形，AM±CB,「•四边形AMFE是矩形，EF=AM=3,【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质和平行四边形的判定，恰当的作辅助线，构造特殊的直角三角形是解题关键.16.如图，矩形ABCD中，AD=10,AB=14，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，点D的对应点为D,若D落在/ABC的平分线上时，DE的长为.…机 1c：/\ 5或【分析】连接BD‘过D'作MN±AB交AB于点MCD月右 1于点N作D'P±BC交BC于点P先利用勾股定理求出MD’再分两种情况利用勾股定理求出DE【详解】解：如图连接BD‘过D'作MN±AB交AB于点10解析：5或1【分析】连接BD’,过D'作MNLAB,交AB于点M,CD于点^作D'P±BC交BC于点P,先利用勾股定理求出MD’,再分两种情况利用勾股定理求出DE.【详解】解：如图，连接BD‘，过D'作MNLAB，交AB于点M，CD于点仙作D'P^BC交BC于点P•・•点D的对应点D′落在NABC的角平分线上,「.MD'=PD'，设MD'二x，贝UPD'=BM=x，「.AM=AB-BM=14-x，又折叠图形可得AD=AD'=10，:x2+(14-x)2=100，解得x=6或8，即MD'=6或8.在RSEND'中，设ED'=a，①当MD'=6时，AM=14-6=8，D‛N=10-6=4，EN=8-a，・=a2=42+(8-a)2，解得a=5，即DE=5，②当MD'=8时，AM=14-8=6，D‛N=10-8=2，EN=6-a，:a2=22+(6-a)2，10 210解得a=—，即DE=—.、10故答案为：5或—.【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的.17.如图，在平行四边形ABCD中，BF平分NABC，交AD于点F，CE平分NBCD，交AD于点E，AB=8，EF=1，则BC长为.a产fp/ 15【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出8 CNABF=NAFB得出AF=AB=8同理可得DE=DC=8再由EF的长即可求出BC的长

【详解】解：:四边形ABCD是平行四边形ADIIBCDC=AB=8A解析：15【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出NABF二NAFB,得出AF=AB=8,同理可得DE=DC=8,再由EF的长，即可求出BC的长.【详解】解：二•四边形ABCD是平行四边形，/.ADIIBC,DC=AB=8,AD=BC,/.ZAFB=ZFBC,,/BF平分NABC,ZABF=ZFBC,则NABF=ZAFB,/.AF=AB=8,同理可证：DE=DC=8,,/EF=AF+DE-AD=1,即8+8-AD=l,解得：AD=15；故答案为：15.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出AF二AB是解决问题的关键.18.如图，矩形ABC。全等于矩形座FG,点C在5G上，连接。尸，点H为。尸的中点，若AB=2。，BC=12,则CH的长为.【分析】连接并延长交于Q【分析】连接并延长交于Q由矩形的性质得出由平行线的性质得出由证得得出则是等腰直角三角形得出由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果【详解】如图所示：连接并延长交于Q:矩形全等于矩形・・・・・・丁点H为的中点解析：4、；2【分析】连接GH并延长GH交CD于Q，由矩形的性质得出AB=CD=BG=20，BC=FG=12，FG//AE//CD,/GCQ=90。，由平行线的性质得出NHFG=NHDQ，由A5A证得△〃尸G04HDQ，得出DQ=FG=12,HG=HQ,CG=BG-BC=8,CQ=CD-DQ=8,则^GC。是等腰直角三角形，得出GQ=竣CQ=8<2，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果.【详解】如图所示：连接GH并延长GH交CD于Q,;矩形ABCD全等于矩形BEFG，...AB=CD=BG=20，BC=FG=12，FG//AE//CD，ZGCQ=90。，ZHFG=ZHDQ，•.•点H为DF的中点，「.HF=HD，，ZHFG=ZHDQ在^HFG和aHDQ中，｛HF=HD ，ZGHF=ZQHD...aHFG与HDQ(ASA),...DQ=FG=12,HG=HQ,CG=BG—BC=20—12=8,CQ=CD-DQ=20-12=8,.aGCQ是等腰直角三角形，.GQ=广CQ=8R,在Rt^GCQ中，HG=HQ,.CH=2GQ=2X8<2=4v'2,故答案为：4<2.【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，通过作辅助线构建全等三角形是解题的关键..如图，在RtAABC中，NACB=90°,D是斜边AB中点，若/B=30°,AC=2,贝UCD=【分析】先由所对的直角边是斜边的一半求解再利用直d D S角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案【详解】解：ZACB=90°ZB=30°AC=2D是斜边AB中点故答案为：【点睛】本题考查的是含的直角三角形解析：2.【分析】先由30。所对的直角边是斜边的一半求解再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案.【详解】解：Z/\CB=90°,Z8=30°,AC=2,/.AB=2AC=4,；。是斜边八8中点,CD=-AB=2.2故答案为：2.【点睛】本题考查的是含30。的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键..如图所示，在口ABCD中，AC与BD相交于点。，若/DAC=ZEAC,AE=4,AO=3，则S 的面积为 .AAEC，/;，二子/ 【分析】先证明△AEC是等腰三角形再证OELAC然sEC后用勾股定理求出OE即可求【详解】解：如图1连接OE,「四边形ABCD是平行四边形「.OA=OC=3ADIIBC「.NDAC=NACB又：：.NACB=NEA解析：3<7【分析】先证明△AEC是等腰三角形，再证OELAC,然后用勾股定理求出OE,即可求工人.AAEC【详解】解：如图1,连接OE,AB£C图1丁四边形ABCD是平行四边形，OA=OC=3,ADIIBC,「.NDAC=NACB,又:/DAC=/EAC,「.NACB=NEAC,AE=EC=4,「.△AEC是等腰三角形，「.OE±AC,在RSAOE中，由勾股定理得，AO2+OE2=AE2,「•32+OE2=42,•••OE=J7,1一。一u「.s=一义6义久7=3%；7,2AEC 2故答案是：3<7.【点睛】本题综合考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质和勾股定理等相关知识，证明^AEC是等腰三角形是解本题的关键.三、解答题.已知：在Rt△ABC中，/BAC=90,DE是直角边AB的垂直平分线，/DBA=/ABC，连接AD.求证：（1）四边形ADBC是梯形；（2）AD=-BC.2解析：（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）利用垂直平分线的性质可得到AD=BD,利用等边对等角可得到NDBA=NDAB,进而可以证明ADIIBC,可以证出四边形ADBC是梯形；（2）延长DE交BC于F,证明△BDEM△BFE,从而得出四边形ACFD是平行四边形，进而得出结论.【详解】证明：（1）如图，

DE是AB的垂直平分线，AD=BD,ZDBA=ZDAB,ZDBA=ZABC,ZABC=DAB,ADIIBC,AC与BD不平行，「•四边形ADBC是梯形，(2)如图，延长DE交BC于F,D 卫丁NDBA=NABC,BE=BE,NDEB=NBEF=90°,「.△BDEM△BFE,BF=BD=AD,丁NBAC=NBEF=90°,「.DFIIAC,「ADIIBC,••・四边形ACFD是平行四边形，「.AD=FC,FC=BF=AD,「•AD=1BC.2【点睛】此题主要考查了梯形的判定，垂直平分线的性质以及平行四边形的判定和性质等知识，利用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，以及作出辅助线(延长DE交BC于F),是解决问题的关键.22.综合与实践：问题情境：数学活动课上，老师和同学们一起以“矩形的旋转”开展数学活动.具体操作如下：第一步：如图1,将长与宽都相等的两个矩形纸片ABCD和EFGH叠放在一起，这时对角线AC和EG互相重合.FBAEFBAE第二步：固定矩形ABCD,将矩形£FG"绕AC的中点。逆时针方向旋转，直到点£与点5重合时停止.问题解决：(1)奋进小组发现：在旋转过程中，当边与EF交于点"，边CD与GH交于点、N,如图2、图3所示，请写出线段40与CN始终存在的数量关系，并利用图2说明理由.(2)奋进小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形MRNQ时，如图3所示，请你猜测四边形MRNQ的形状，并试着证明你的猜想.探索发现：(3)奋进小组还发现在问题(2)中的四边形MRNQ中/MQN与旋转角/AOE存在着特定的数量关系，请你写出这一关系，无需说明理由.解析：(1)AM=CN，理由见解析；(2)四边形MRNQ为菱形，证明见解析；(3)/MQN=/AOE【分析】(1)结论：AM=CN.先证明△AOS^△COT(AAS)，推出AS=CT,OS=OT,/3=/4，再证明△ESM^△GTN(ASA)即可解决问题.(2)过点Q作QK±EF,QL,CD,垂足分别为点K,L.首先证明四边形QMRN是平行四边形，再证明QM=QN即可.(3)结论：NMQN=NAOE.理由三角形的外角的性质以及平行线的性质即可解决问题.【详解】(1)关系：AM=CN理由：如图：设EG分别与AB、CD相交于点S、T；・「四边形ABCD与EFG"都是矩形，且点。为对角线的中点;..AB//CD,EF//GH,OA=OC,OE=OG.Z1=Z2；又ZAOS=ZCOT△AOS也△C"(AAS)AS=CT,OS=OT；..ES=GT.又EFUGH,，/5=/6；又/l=/2；Z3=Z4AESM^AG77V(ASA)SM=TN,则AS+5M=C7+77V即AM=CN(2)四边形"RNQ为菱形.证明：过点Q作QK_LEF,QL_LCD,垂足分别为点K,L.G由题可知：矩形ABC四矩形EFGHAD=EH,ABIICD,EFIIHG四边形QMRN为平行四边形，-/QK±EF,QL_LCD,/.QK=EH,QL=AD,ZQKM=ZQLN=90°/.QK=QL,又•「ABHCD,EFIIHG,/.ZKMQ=ZMQN,ZMQN=ZLNQ,/.ZKMQ=ZLNQ,/.△QKM且△QLN(AAS)/.MQ=NQ••・四边形mknq为菱形.(3)结论：ZMQN=ZAOE.理由：如图中，,/ZQND=Z1+Z2,ZAOE=Z1+Z3,又由题意可知旋转前N2与N3重合,/.Z2=Z3,/.ZQND=ZAOE,,/ABHCD,/.ZMQN=ZQND,/.ZMQN=ZAOE.【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找确定的三角形解决问题，属于中考压轴题.23.如图，在口ABCD中，5P分别是N0AB和/CBA的角平分线，已知AD=5.(1)求线段AB的长；(2)延长AP，交BC的延长线于点Q.①请在答卷上补全图形；②若BP=6,求△A6Q的周长.解析：(1)10；(2)①见解析；②36【分析】(1)依据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到DP=AD=5,CP=BC=5,进而得出AB的长；(2)①根据题意画出图形；②依据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到AB=QB,再根据BP平分NABQ,即可得出BP_LAQ,AP=QP,依据勾股定理得出AP的长，进而得到△ABQ的周长.【详解】解：(1).•.在dABCD中，AD=5,BC=5,ABIICD,ZBAP=ZDPA,AP平分NBAD,ZBAP=ZDAP,ZDAP=ZDPA,DP=AD=5,同理可得，CP=BC=5,CD=10,AB=10；(2)①如图所示:②:ADIIBQ,「.NQ=ZDAP,又「NDAP=NBAP,「.NQ=NBAP,AB=QB=10,又:BP平分NABQ,「.BP±AQ,AP=QP,・••RtAABP中，AP=、252—BP2=8,「.AQ=16,「.△ABQ的周长为：16+10+10=36.【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：平行四边形的对边平行，对边相等.24.已知：如图，在正方形ABC。中，点£为边A5的中点，连结。点尸在。石上CF=CD,过点尸作尸G,尸。交AD于点G.(1)求证：GF=GD；(2)联结A尸，求证：AF1DE.AGD解析：(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)由CF=CD可证得=方，因为/ADC=/GFC=90°,所以/GFD=/GDF,再由等腰三角形的判定即可得证；(2)因为CF=CD,G/=GQ,所以GC是ED的垂直平分线，再证△0AE04CDG由全等三角形对应边相等可得=DG,这样AG=GD=GF即可解决问题；【详解】证明：(1)；四边形ABC。是正方形，ZADC=90°,•/FG：LFC,ZGFC=90°,-CF=CD:.ZCFD=ZCDE,；,/GFC-NCFD=NADC-NCDE,BpZGFD=ZGDF,GF=GD.(2)如图，连结CG.s c•••CF=CD,GF=GDs c•••CF=CD,GF=GD・二点G、C在线段FD的中垂线上,GC1DE,「./CDF+ZDCG=90°,vZCDF+ZAPE=90°,，/DCG=/ADE.四边形A8CD是正方形，AD=DC,ZDAE=ZCDG=90°,:.ADAE^ACDG,/.AE=DG,一点£是边AB的中点，.・•点G是边AO的中点，,\AG=GD=GF,ZDAF=ZAFG,ZGDF=ZGFDDAF+AAFG+^GFD+AGDF=180°,2ZAFG+2ZGFD=180°ZAFD=90°,即AfDE【点睛】本题是正方形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识，侧重考查了学生的逻辑推理能力和对知识的应用能力.25.已知：如图，在四边形ABC。中，点G在边的延长线上，CE平分/BCD、CF平分/GCD,E尸//BC交CD于点O.(1)求证：OE=OF；(2)若点。为的中点，求证：四边形NCF是矩形.解析：(工)见解析；(2)见解析【分析】(1)由角平分线的定义及平行线的性质可证得/DCE=/压。，/EFC=/DCF,得OE=OC,OF=OC,即可得出结论；(2)先证得四边形OECF是平行四边形，再利用角平分线的定义可求得N£CF=90。,则可证得四边形。为矩形.【详解】证明：(I)：CE平分/BCD、CF平分/GCD/.ZBCE=ZDCE,ZDCF=ZGCFEFIIBC,/.ZBCE=ZFEC,ZEFC=ZGCFZDCE=ZFEC,/EFC=/DCF..OE=OC,OF=OC,/.OE=OF.(2)二•点。为CD的中点，OD=0C，又OE=OF,「•四边形NCF是平行四边形.CE平分/BCD、CF平分ZGCD,1••ZDCE=—ZBCD,/DCF=—/DCG2 2「./DCE+/DCF=1(/BCD+/DCG)」/BCG=90。2 2:/DCE+ZDCF=ZECF,/ECF=90°••・四边形decf是平行四边形，・•・平行四边形DECF是矩形.【点睛】本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键.26.如图，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，点E在BA的延长线上，且PB=PE，连结DE.(1)求证：PD=PE.(2)试判断DE和BP的数量关系，并说明理由.解析：(1)见解析；(2)DE=、打BP，见解析【分析】(1)根据SAS证明△APD^AAPB可得pd=PB,再结合PD=PE即可得出结论;(2)证明QPE是等腰直角三角形即可得出结论.【详解】解：(1)证明：:四边形ABCD是正方形，「.AB=AD,丁AC是正方形ABCD的对角线，ACAD=ZCAB=45。;AP=AP,aAPD^aAPB(SAS),PD=PB,PB=PE,/.PD=PE.DE=<2SP.理由如下：;由（1）知，△APD^AAPB,PD=PB=PE,设ZPEB=ZPBE=ZPDA=x。，ZEPB=180。-2x。，「ZDAP=45。，ZDPA=ZBPA=180。—45。—x=135。—x。，ZAPE=ZEPB—ZBPA=180。—2x。—（135。—x。）=45。—x。，ZDPE=ZDPA—ZAPE=135。一x。一（45。一x。）=90。.adpe是等腰直角三角形，二DE=<2DP=\：2BP.【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.27.如图，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD=10cm,ZA=ZB=ZC=ZD=90。，点E在边AB上，且AE=4cm，如果点P在线段BC上以2cmz秒的速度B点向C点运动，同时，点Q在线段