1.1.1-空间向量及其线性运算

空间向量及其线性运算【学习目标】课程标准学科素养1.理解空间向量的概念.(难点)2.掌握空间向量的线性运算.(重点)3.掌握共线向量定理、共面向量定理的应用.(重点、难点)1、逻辑推理2、数学运算【自主学习】知识点一空间向量的概念思考1.类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.(1)在空间，把具有_____和_____的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_____或______.空间向量用有向线段表示，有向线段的_____表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作eq\o(AB,\s\up14(→))，其模记为__________.(2)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫_______，记为0单位向量______的向量叫单位向量相反向量与向量a长度_____而方向_____的向量，称为a的相反向量，记为－a相等向量方向_____且模_____的向量称为相等向量，_____且_____的有向线段表示同一向量或相等向量知识点二空间向量的加减运算及运算律思考2.下面给出了两个空间向量a、b，作出b＋a，b－a.(2)空间向量加法交换律a＋b＝空间向量加法结合律(a＋b)＋c＝知识点三空间向量的数乘运算思考3.实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？(1)实数与向量的积与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：①|λa|＝____.②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向；当λ＝0时，λa＝0.(2)空间向量数乘运算满足以下运算律①λ(μa)＝______；②λ(a＋b)＝________；③(λ1＋λ2)a＝_________(拓展).知识点四共线向量与共面向量思考4.(1)回顾平面向量中关于向量共线知识，给出空间中共线向量的定义.定义：表示空间向量的有向线段所在的直线____________，则这些向量叫做________或平行向量.共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使________.定义平行于同一个_____的向量三个向量共面的充要条件向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)使__________点P位于平面ABC内的充要条件存在有序实数对(x，y)，使eq\o(AP,\s\up14(→))＝___________对空间任一点O，有eq\o(OP,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋__________(2)(3)共线向量定理的推论——三点共线问题共面向量定理的推论——四点共面问题【小试牛刀】1、判断正错(1)零向量没有方向．()(2)有向线段都可以表示向量，向量都可以用有向线段表示．()(3)平面内所有的单位向量是相等的．()(4)空间中，将单位向量起点放在一起，其终点组成的图形是球．()(5)任何两个向量均不可以比较大小()2、在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，顶点连接的向量中，与向量eq\o(AD,\s\up7(→))相等的向量共有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.已知空间四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(CB,\s\up7(→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝c，则eq\o(CD,\s\up7(→))等于()A.a＋b－c B.－a－b＋cC.－a＋b＋c D.－a＋b－c【经典例题】题型一空间向量概念注意：在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致．例1给出下列命题：①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCD­A1B1C1D1中，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(A1C1,\s\up7(→))；③若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反；④在四边形ABCD中，必有eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→)).其中正确命题的序号是________.[跟踪训练]1(1)下列关于空间向量的说法中正确的是()A．若向量a，b平行，则a，b所在直线平行B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反C．若向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))满足|eq\o(AB,\s\up6(→))|＞|eq\o(CD,\s\up6(→))|，则eq\o(AB,\s\up6(→))＞eq\o(CD,\s\up6(→))D．相等向量其方向必相同(2)如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量eq\o(AA′,\s\up7(→))相等的向量有________；与向量eq\o(A′B′,\s\up7(→))相反的向量有________________.(要求写出所有适合条件的向量)题型二空间向量的线性运算注意：1.熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律；2.要注意数形结合思想的运用.例2在如图所示的平行六面体中，求证：eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\o(AD′,\s\up6(→))＝2eq\o(AC′,\s\up6(→)).[跟踪训练]2如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值.(1)eq\o(BD′,\s\up7(→))＝xeq\o(AD,\s\up7(→))＋yeq\o(AB,\s\up7(→))＋zeq\o(AA′,\s\up7(→))；(2)eq\o(AE,\s\up7(→))＝xeq\o(AD,\s\up7(→))＋yeq\o(AB,\s\up7(→))＋zeq\o(AA′,\s\up7(→)).题型三向量的共线及判定例3如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up7(→))＝2eq\o(ED1,\s\up7(→))，F在对角线A1C上，且eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up7(→))，求证：E，F，B三点共线.注意：要证E，F，B三点共线，只需证明下面结论中的一个成立即可：(1)eq\o(EB,\s\up6(→))＝meq\o(EF,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋λeq\o(EF,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝neq\o(AE,\s\up6(→))＋(1－n)eq\o(AF,\s\up6(→)).[跟踪训练]3在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，请判断eq\o(EF,\s\up16(→))与eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))是否共线．题型四向量共面例4如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心.试用向量方法证明E，F，G，H四点共面.[跟踪训练]4如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝eq\f(1,3)BD，AN＝eq\f(1,3)AE.求证：向量eq\o(MN,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))，eq\o(DE,\s\up7(→))共面.【当堂达标】1.下列说法：①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；②若向量eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))满足|eq\o(AB,\s\up7(→))|＞|eq\o(CD,\s\up7(→))|，且eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(CD,\s\up7(→))同向，则eq\o(AB,\s\up7(→))＞eq\o(CD,\s\up7(→))；③若两个非零向量eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(CD,\s\up7(→))满足eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝0，则eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))为相反向量；④eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))的充要条件是A与C重合，B与D重合.其中错误的个数为()A.1B.2C.3D.42．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是()A．a＝b B．a＋b为实数0C．a与b方向相同 D．|a|＝33．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up6(→))，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AA1,\s\up6(→))＋y(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，则()A．x＝1，y＝eq\f(1,2) B．x＝eq\f(1,2)，y＝1C．x＝1，y＝eq\f(1,3) D．x＝1，y＝eq\f(1,4)4．如图所示，空间四边形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则eq\o(MN,\s\up6(→))等于()A．eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)c B．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c D．－eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)c5、如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：①单位向量共有多少个？②试写出模为eq\r(5)的所有向量．③试写出与向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的所有向量．④试写出向量eq\o(AA′,\s\up6(→))的所有相反向量．6.如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，试用a，b，c表示向量eq\o(OG,\s\up7(→)).7、如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up7(→))，eq\o(CG,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\