目标规划的数学模型

第四章目标规划重点：1、目标规划的数学模型及建模2、目标规划的解法：图解法单纯形法难点：目标规划的数学模型及建模编辑课件§1目标规划的数学模型编辑课件例1

某工厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，有关数据见下表,试求获利最大的生产方案。

ⅠⅡ拥有量原材料㎏设备21121110利润元/件810编辑课件解这是一个单目标的规划问题，设产品Ⅰ、Ⅱ的产量分别为x1和x2，用线性规划问题表述为

maxz=8x1+10x2 2x1+x2≤11x1+2x2≤10x1,x2≥0用图解法(或单纯形法）求得最优决策方案为：x1=4,x2=3,z=62元。编辑课件多目标决策实际上工厂在决策时，要考虑市场等一系列其它条件。如（1）根据市场信息，产品Ⅰ的销售量有下降的趋势，故考虑产品Ⅰ的产量不大于产品Ⅱ。（2）超过计划供应的原材料需要高价采购，这就使成本增加，因此，希望不超过计划的原材料。（3）应尽可能利用设备，但不希望加班。（4）应尽可能达到并超过计划的56元的利润指标。编辑课件目标规划数学模型有关的概念。这样考虑问题时，便为多目标决策问题。目标规划方法是解决这类决策问题的方法之一。下面引入建立目标规划数学模型有关的概念。1、正、负偏差变量d+,d-.2、

绝对约束和目标约束。3、优先因子（优先等级Pk）与权系数。

编辑课件4、

目标规划的目标函数。minz=f(d+,d-).基本形式有三种：（1）恰好达到minz=d++d-（2）不超过目标值minz=d+（3）要求超过目标值minz=d-对于每一个具体目标规划问题，可根据决策人的要求和赋予各目标的优先因子来构造目标函数，以下用例子来说明。编辑课件例2目标规划的数学模型例1的决策者在原材料供应受严格限制的基础上考虑：首先是产品Ⅱ的产量不低于产品Ⅰ的产量；其次是充分利用设备有效台时,但不加班；再次是利润不小于56元。求决策方案。编辑课件解设两种产品的产量分别为x1,x2,按决策者所要求的，分别赋予这三个目标P1,P2,P3优先因子，这问题的数学模型是：

minz=P1d1++P2(d2-+d2+)+P3d3- 2x1+x2≤11x1-x2+d1--d1+=0x1+2x2+d2—d2+=108x1+10x2+d3—d3+=56x1，x2，di-，di+≥0，i=1,2,3.编辑课件目标规划的一般数学模型为(4.1)编辑课件某工厂生产两种产品，受到原材料供应和设备工时的限制，单件利润等有关数据已知的条件下，要求制订其生产计划，具体数据如下：产品AB限量原材料（kg/件）51060设备工时（h/件）4440利润（元/件）68例2编辑课件1、线性规划模型设生产产品A、B的数量分别为x1，x2，并且要求利润极大化，有生产计划的LP规划如下：很容易解得：x1＝8，x2＝2，最优目标函数为64元。编辑课件目标规划的数学模型回到上面的例子。计划人员征求各方的意见，确定在生产计划中应该考虑如下的因素：首先由于产品B销售疲软，因此产品B的生产数量最好不超过产品A的一半。其次由于原材料严重短缺，生产中应该避免过量消耗。第三最好能够节约4小时的工时。最后计划利润不少于48元。四级目标

编辑课件目标上面四个因素，即是提出了四个目标，用数学的形式表示如下：x1－2x2＝05x1＋10x2＝604x1＋4x2＝366x1＋8x2＝48编辑课件前面已经讨论过，目标规划的目的，在于评估在现有环境下（资源和约束）对多个目标实现的可能程度。这种实现的可能程度，我们用离要求目标的偏离值或来描述，i代表了第i个目标，＋代表了正向偏离该目标值的数值，－代表了负向该偏离目标值的数值。因此四个目标可以表示为如下形式：编辑课件目标规划数学模型编辑课件【例3】P114习题4.6某种牌号的鸡尾酒酒系由三种等级的酒兑制而成。已知各种等级酒的每天供应量和单位成本如下：等级ⅰ：供应量1500单位/天，成本6元/单位；等级ⅱ：供应量2000单位/天，成本4.5元/单位；等级ⅲ：供应量1000单位/天，成本3元/单位；该种牌号的酒有三种商标（红、黄、蓝），各种商标酒的混合及售价如表7-17所示。编辑课件表4-17商标兑制要求单位售价/元

红ⅲ少于10%ⅰ多于50%5.5黄ⅲ少于70%ⅰ少于20%5.0

蓝ⅲ少于50%ⅰ多于10%4.8编辑课件要求为保持声誉，确定经营目标为：p1兑制要求配比必须严格满足；p2

企业获取尽可能多的利润；p3

红色商标酒每天量不低于2000单位。试对该问题建立目标规划模型；编辑课件解设j=1,2,3分别代表红、黄、蓝三种商标的离序号，则Xij——第i等级酒在第j种商标酒中所占数量；yj——第j等商标酒的生产数量可建立目标规划数学模型如下：minz=p1(d1-+d1++d2-+d2++d3-+d3++d4-+d4++d5-+d5++d6-+d6+)+p2d7-+p3d8-y1=X11+X21+X31y2=X12+X22+X32（产量关系约束）y3=X13+X23+X33编辑课件X11+X12+X13≤1500X21+X22+X23≤2000

（原料限制约束）X31+X32+X33≤1000p1X31+d1--d1+=10%y1X11+d2--d2+=50%y1X32+d3--d3+=70%y2X12+d4--d4+=20%y2（配比限制）X33+d5--d5+=50%y3X13+d6--d6+=10%y3P25.5y1+5.0y2+4.8y3+d7--d7+=5.5×4500(利润限制)P3y1+d8--d8+=2000(红色商标酒产量限制)yj≥0,Xij≥0,dk-,dk+≥0,(i=1,2,3;j=1,2,3;k=1,2,3,…8)编辑课件建立目标规划的数学模型建立目标规划的数学模型时，需要确定目标值、优先等级、权系数，绝对约束和目标约束等。§2目标规划的图解法§3解目标规划的单纯形法§4灵敏度分析§5应用举例编辑课件【例1】判断下述说法是否正确？（a）目标规划模型是线性规划模型的一种特殊形式；（b）正偏差变量应取正值、负偏差变量应取负值；（c）目标规划模型中，若不含系统（绝对）约束，则一定有解；（d）目标规划的数学模型应同时包括系统约束和目标约束。答：（a）正确。模型结构完全一致，可以将线性规划模型改写成单一目标形式的目标规划。（b）错误。正负变量都定义取非负的值。（c）

正确。目标规划的解是一种相对满意的解。（d）错误。可以没有系统约束。编辑课件§2目标规划的图解法minz=P1d1++P2(d2-+d2+)+P3d3- 2x1+x2≤11x1-x2+d1--d1+=0x1+2x2+d2-—d2+=108x1+10x2+d3-—d3+=56x1，x2，di-，di+≥0，i=1,2,3.编辑课件目标规划图解法的步骤：1画出绝对约束（与线性规划相同）；2画出目标约束：画出正负偏差为零的直线；用箭头画出有正偏差和负偏差的区域；3按优先级别的高低依次找到最优解（满意解）。编辑课件图解法x2

BEFCGDJAx1d1-d1+d2+d2-d3-d3+编辑课件例3某电视机厂装配黑白和彩色电视机，每幢一台需占用装配线1小时，装配线每周计划开动40小时。预计每周彩色电视机的销售量是24台，每台可获利80元，黑白电视机的销售量是30台，每台可获利40元。该厂确定的目标为：第一优先级：充分利用装配线每周计划开动40小时；第二优先级：允许装配线加班；但加班时间每周尽量不超过10小时；第三优先级：装配电视机的数量尽量满足市场需要。因彩社电视机的利润高，取其权数为2。试建立目标规划的数学模型，并求解。编辑课件解首先建立目标规划的数学模型：

设x1,x2分别表示黑白电视机的产量分别为,按决策者所要求的，分别赋予这三个目标P1,P2,P3优先因子，这问题的数学模型是：

minz=P1d1-+P2d2++P3（2d3-+d4-）x1+x2+d1--d1+=40x1+x2+d2--

d2+=50x1+d3--d3+=24x2+d4—d4+=30x1，x2，di-，di+≥0，i=1,2,3,4.编辑课件例3的图解法X2ox1FEBACDHGd4-d3-d2-d1+d1-d2+d4+d3+编辑课件§3解目标规划的单纯形法例4试用单纯形法求解例2minz=P1d1++P2(d2-+d2+)+P3d3- 2x1+x2+xs=11x1-x2+d1--d1+=0x1+2x2+d2—d2+=108x1+10x2+d3—d3+=56x1，x2，xs,di-，di+≥0，i=1,2,3.编辑课件表4-1（1）取xs,d1-,d2-,d3-为基变量，cj0000P1P2P2P3θCBXBbx1x2Xsd1-d1+d2-d2+d3-d3+P2p3Xsd1-d2-d3-110105621181-121011-11-11-1zP1P2p3-1-8-2-10121编辑课件表4-2cj0000P1P2P2P3θCBXBbx1x2Xsd1