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文档简介
2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.在棱长为1的正方体中,点在线段上运动,则下列命题错误的是()A.异面直线和所成的角为定值 B.直线和平面平行C.三棱锥的体积为定值 D.直线和平面所成的角为定值2.已知变量,之间的线性回归方程为,且变量,之间的一组相关数据如下表所示,则下列说法中错误的是()681012632A.变量,之间呈现负相关关系B.的值等于5C.变量,之间的相关系数D.由表格数据知,该回归直线必过点3.等差数列中,,则数列前9项的和等于()A.66 B.99 C.144 D.2974.已知且,则的取值范围是()A. B. C. D.5.已知,集合,则A. B. C. D.6.在中,,是的内心,若,其中,动点的轨迹所覆盖的面积为(
)A. B. C. D.7.方程表示的曲线是()A.一个圆 B.两个圆 C.半个圆 D.两个半圆8.中,角所对的边分别为,已知向量,,且共线,则的形状是()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形9.如图,在正方体中,,分别是中点,则异面直线与所成角大小为().A. B. C. D.10.平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A,B的坐标分别为(1,1),(-3,3).若动点P满足,其中λ,μ∈R,且λ+μ=1,则点P的轨迹方程为()A. B. C. D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.如图,在正方体中,点是棱上的一个动点,平面交棱于点.下列命题正确的为_______________.①存在点,使得//平面;②对于任意的点,平面平面;③存在点,使得平面;④对于任意的点,四棱锥的体积均不变.12.等差数列中,,则其前12项之和的值为______13.已知扇形的半径为6,圆心角为,则该扇形的面积为_______.14.在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x∈[0,1]的概率为.15.已知函数一个周期的图象(如下图),则这个函数的解析式为__________.16.在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=6,AB=8,点M为△ABC内切圆的圆心,过点M作动直线l与线段AB,AC都相交,将△ABC沿动直线l翻折,使翻折后的点A在平面BCM上的射影P落在直线BC上,点A在直线l上的射影为Q,则的最小值为_____.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.设平面向量,,函数.(Ⅰ)求时,函数的单调递增区间;(Ⅱ)若锐角满足,求的值.18.本题共3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.已知数列满足.(1)若,求的取值范围;(2)若是公比为等比数列,,求的取值范围;(3)若成等差数列,且,求正整数的最大值,以及取最大值时相应数列的公差.19.已知α为锐角,且tanα=(I)求tanα+(II)求5sin20.已知函数.(1)求函数的最小正周期;(2)求函数的单调递增区间.21.如图,在四边形ABCD中,,,已知,.(1)求的值;(2)若,且,求BC的长.
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】
结合条件和各知识点对四个选项逐个进行分析,即可得解.【详解】,在棱长为的正方体中,点在线段上运动易得平面,平面,,故这两个异面直线所成的角为定值,故正确,直线和平面平行,所以直线和平面平行,故正确,三棱锥的体积还等于三棱锥的体积,而平面为固定平面且大小一定,,而平面点到平面的距离即为点到该平面的距离,三棱锥的体积为定值,故正确,由线面夹角的定义,令与的交点为,可得即为直线和平面所成的角,当移动时这个角是变化的,故错误故选【点睛】本题考查了异面直线所成角的概念、线面平行及线面角等,三棱锥的体积的计算可以进行顶点轮换及线面平行时,直线上任意一点到平面的距离都相等这一结论,即等体积法的转换.2、C【解析】分析:根据平均数的计算公式,求得样本中心为,代入回归直线的方程,即可求解,得到样本中心,再根据之间的变化趋势,可得其负相关关系,即可得到答案.详解:由题意,根据上表可知,即数据的样本中心为,把样本中心代入回归直线的方程,可得,解得,则,即数据的样本中心为,由上表中的数据可判定,变量之间随着的增大,值变小,所以呈现负相关关系,由于回归方程可知,回归系数,而不是,所以C是错误的,故选C.点睛:本题主要考查了数据的平均数的计算公式,回归直线方程的特点,以及相关关系的判定等基础知识的应用,其中熟记回归分析的基本知识点是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力.3、B【解析】
根据等差数列性质,结合条件可得,进而求得.再根据等差数列前n项和公式表示出,即可得解.【详解】等差数列中,,则,解得,因而,由等差数列前n项和公式可得,故选:B.【点睛】本题考查了等差数列性质的应用,等差数列前n项和公式的用法,属于基础题.4、A【解析】分析:,由,可得,又,可得,化简整理即可得出.详解:,由,可得,又,可得,化为,解得,则的取值范围是.故选:A.点睛:本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.5、D【解析】
先求出集合A,由此能求出∁UA.【详解】∵U=R,集合A={x|1﹣2x>0}={x|x},∴∁UA={x|x}.故选:D.【点睛】本题考查补集的求法,考查补集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.6、A【解析】
画出图形,由已知条件便知P点在以BD,BP为邻边的平行四边形内,从而所求面积为2倍的△AOB的面积,从而需求S△AOB:由余弦定理可以求出AB的长为5,根据O为△ABC的内心,从而O到△ABC三边的距离相等,从而,由面积公式可以求出△ABC的面积,从而求出△AOB的面积,这样2S△AOB便是所求的面积.【详解】如图,根据题意知,P点在以BP,BD为邻边的平行四边形内部,∴动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△AOB;在△ABC中,cos,AC=6,BC=7;∴由余弦定理得,;解得:AB=5,或AB=(舍去);又O为△ABC的内心;所以内切圆半径r=,所以∴==;∴动点P的轨迹所覆盖图形的面积为.故答案为:A.【点睛】本题主要考查考查向量加法的平行四边形法则,向量数乘的几何意义,余弦定理,以及三角形内心的定义,三角形的面积公式.意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的解题关键是找到P点所覆盖的区域.7、D【解析】原方程即即或故原方程表示两个半圆.8、D【解析】
由向量共线的坐标表示得一等式,然后由正弦定理化边为角,利用诱导公式得展开后代入原式化简得,分类讨论得解.【详解】∵共线,∴,即,,,整理得,所以或,或或(舍去).∴三角形为直角三角形或等腰三角形.故选:D.【点睛】本题考查三角形形状的判断,考查向量共线的坐标表示,考查正弦定理,两角和的正弦公式,考查三角函数性质.解题时不能随便约分漏解.9、C【解析】
通过中位线定理可以得到在正方体中,可以得到所以这样找到异面直线与所成角,通过计算求解.【详解】分别是中点,所以有而,因此异面直线与所成角为在正方体中,,所以,故本题选C.【点睛】本题考查了异面直线所成的角.10、C【解析】
设点坐标,代入,得到即,再根据,即可求解.【详解】设点坐标,因为点的坐标分别为,将各点坐标代入,可得,即,解得,代入,化简得,故选C.【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算和点的轨迹的求解,其中解答中熟记向量的坐标运算,以及平面向量的基本定理是解答的关键,着重考查了推理运算能力,属于基础题.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、①②④【解析】
根据线面平行和线面垂直的判定定理,以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可.【详解】①当为棱上的一中点时,此时也为棱上的一个中点,此时//,满足//平面,故①正确;②连结,则平面,因为平面,所以平面平面,故②正确;③平面,不可能存在点,使得平面,故③错误;④四棱锥的体积等于,设正方体的棱长为1.∵无论、在何点,三角形的面积为为定值,三棱锥的高,保持不变,三角形的面积为为定值,三棱锥的高为,保持不变.∴四棱锥的体积为定值,故④正确.故答案为①②④.【点睛】本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断,解答本题的关键正确利用分割法求空间几何体的体积的方法,综合性较强,难度较大.12、【解析】
利用等差数列的通项公式、前n项和公式直接求解.【详解】∵等差数列{an}中,a3+a10=25,∴其前12项之和S126(a3+a10)=6×25=1.故答案为:1.【点睛】本题考查等差数列的前n项和的公式,考查等差数列的性质的应用,考查运算求解能力,是基础题.13、【解析】
用弧度制表示出圆心角,然后根据扇形面积公式计算出扇形的面积.【详解】圆心角为对应的弧度为,所以扇形的面积为.故答案为:【点睛】本小题主要考查角度制和弧度制互化,考查扇形面积的计算,属于基础题.14、【解析】
直接利用长度型几何概型求解即可.【详解】因为区间总长度为,符合条件的区间长度为,所以,由几何概型概率公式可得,在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x∈[0,1]的概率为,故答案为:.【点睛】解决几何概型问题常见类型有:长度型、角度型、面积型、体积型,求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度.15、【解析】
由函数的图象可得T=﹣,解得:T==π,解得ω=1.图象经过(,1),可得:1=sin(1×+φ),解得:φ=1kπ+,k∈Z,由于:|φ|<,可得:φ=,故f(x)的解析式为:f(x)=.故答案为f(x)=.16、825【解析】
以AB,BC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,设直线l的斜率为k,用k表示出|PQ|,|AQ|,利用基本不等式得出答案.【详解】过点M作△ABC的三边的垂线,设⊙M的半径为r,则r2,以AB,BC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,如图所示,则M(2,2),A(0,8),因为A在平面BCM的射影在直线BC上,所以直线l必存在斜率,过A作AQ⊥l,垂足为Q,交直线BC于P,设直线l的方程为:y=k(x﹣2)+2,则|AQ|,又直线AQ的方程为:yx+8,则P(8k,0),所以|AP|8,所以|PQ|=|AP|﹣|AQ|=8,所以,①当k>﹣3时,4(k+3)25≥825,当且仅当4(k+3),即k3时取等号;②当k<﹣3时,则4(k+3)23≥823,当且仅当﹣4(k+3),即k3时取等号.故答案为:825【点睛】本题考查了考查空间距离的计算,考查基本不等式的运算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)利用向量的数量积结合两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式,利用正弦函数的单调增区间,求得时函数f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)若锐角α满足,可得cos的值,然后求的值.【详解】解:(Ⅰ).由得,其中单调递增区间为,可得,∴时f(x)的单调递增区间为.(Ⅱ),∵α为锐角,∴..【点睛】本题考查向量的数量积以及三角函数的化简求值,考查了二倍角公式的应用,考查转化思想以及计算能力,属于中档题.18、(1);(2);(3)的最大值为1999,此时公差为.【解析】
(1)依题意:,又将已知代入求出x的范围;(2)先求出通项:,由求出,对q分类讨论求出Sn分别代入不等式Sn≤Sn+1≤3Sn,得到关于q的不等式组,解不等式组求出q的范围.(3)依题意得到关于k的不等式,得出k的最大值,并得出k取最大值时a1,a2,…ak的公差.【详解】(1)依题意:,∴;又∴3≤x≤27,综上可得:3≤x≤6(2)由已知得,,,∴,当q=1时,Sn=n,Sn≤Sn+1≤3Sn,即,成立.当1<q≤3时,,Sn≤Sn+1≤3Sn,即,∴不等式∵q>1,故3qn+1﹣qn﹣2=qn(3q﹣1)﹣2>2qn﹣2>0恒成立,而对于不等式qn+1﹣3qn+2≤0,令n=1,得q2﹣3q+2≤0,解得1≤q≤2,又当1≤q≤2,q﹣3<0,∴qn+1﹣3qn+2=qn(q﹣3)+2≤q(q﹣3)+2=(q﹣1)(q﹣2)≤0成立,∴1<q≤2,当时,,Sn≤Sn+1≤3Sn,即,∴此不等式即,3q﹣1>0,q﹣3<0,3qn+1﹣qn﹣2=qn(3q﹣1)﹣2<2qn﹣2<0,qn+1﹣3qn+2=qn(q﹣3)+2≥q(q﹣3)+2=(q﹣1)(q﹣2)>0∴时,不等式恒成立,∴q的取值范围为:.(3)设
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