一元非线性回归与相关演示文稿

一元非线性回归与相关演示文稿现在是1页\一共有62页\编辑于星期六优选一元非线性回归与相关现在是2页\一共有62页\编辑于星期六对幂函数直化的主要手段是两边取常用对数。(或自然对数),取常用对数如下：1.幂函数直化7.2.1可化为直线的非线性回归图7.5

幂函数-1by

=

a

x0＜b＜1b>1

b=1y由对数性质得0

这种类型的回归方程一般只确定两个参数。7.29幂函数式为:(见图7.5)现在是3页\一共有62页\编辑于星期六然后再转换a`,即：lga`

=a回归方程

-1令:可得幂函数的直化回归方程为

例7.7已测得云杉平均胸径x(cm)与平均树高y(m)的资料,试配合幂函数的回归方程;再试配合二次抛物线方程*。7.30*注:

一元二次抛物线方程的配合过程见本章所述。所以可得曲线现在是4页\一共有62页\编辑于星期六

x

y

lg(x)

lg(y)

11513.91.1761.14322017.11.3011.23332520.01.3981.30143022.11.4771.34453524.01.5441.38064025.61.6021.40874527.01.6531.43185028.31.6991.45295529.41.7401.468106030.21.7781.480116531.41.8131.497表7.4

云杉平均胸径与平均树高数据图7.6云杉胸径树高散点图7.311520253035404550556065

302826242220181614

...........xy

对表7.4x,y画出散点图初步判定为幂函数,分别对x,y取常用对数得表7.4第4,5列现在是5页\一共有62页\编辑于星期六

解：利用计算器统计功能按下面步骤计算得直化后的回归方程:7.32现在是6页\一共有62页\编辑于星期六所以可得幂函数的回归方程

对曲线相关的研究只研究其相关指数。曲线相关指数可定义为对a`进行反对数转换得7.33现在是7页\一共有62页\编辑于星期六

计算例7.7相关指数（见表7.5）1513.914.63-0.730.532017.117.12-0.020.002520.019.330.670.453022.121.360.740.553524.023.230.770.594025.624.990.610.374527.026.650.350.125028.328.230.07

0.005529.429.73-0.330.116030.231.18-0.980.966531.432.57-1.17

1.37

xi

yi

yi

(yi

-

yi)

(yi

-

yi)

2＾

＾

440269

Q

=5.06表7.5

剩余平方和Q的计算过程

注:

对曲线回归的检验较复杂,主要是Q的值较难求。＾7.34现在是8页\一共有62页\编辑于星期六(1)曲线关系检验表7.7曲线回归的方差分析表差异来源平方和自由度均方均方比F0.01

回归314.3071314.307559.27**10.6

剩余5.0690.562

总和

319.36710Lyy=319.367,

Q=5.06U=319.367-

5.06=314.3077.35

对回归关系的检验:现在是9页\一共有62页\编辑于星期六

(2)直化关系检验表7.6直化后的回归方差分析表差异来源平方和自由度均方均方比F0.01

回归0.1247810.12478367**10.6

剩余

0.0030890.00034

总和

0.12786107.36注：两种检验效果是一样的，如果曲线回归不能直化那么就只能用曲线方法检验了。现在是10页\一共有62页\编辑于星期六2.指数函数直化

指数函数,两边取自然对数可得(注意:这里x

变量并未转换）令:b<0b>0图7.7

指数函数图示x

y则直化方程为:7.37现在是11页\一共有62页\编辑于星期六

例7.8

在栽培试验中,测得某夏季绿肥播种15天后,每5天

x为一期的生长量y(kg),所得数据如下,试对该资料进行回归与相关分析。根据散点图7.8选择指数函数模型y=ae

来研究。bx图7.8

绿肥5天一期生长量曲线两边取自然对数:直化方程:153045500100200400300.......7.38现在是12页\一共有62页\编辑于星期六表7.8

绿肥5天一期生长量数据

xyy`=lnyxy`115584.06060.90220674.20584.10325794.369109.234301404.941148.235352005.298185.436403205.768230.727454806.173277.78∑210134434.8141096.367.39现在是13页\一共有62页\编辑于星期六回归方程的配合:直化后的回归方程:7.40现在是14页\一共有62页\编辑于星期六取反对数得:转曲线回归方程：表7.9

剩余平方和Q的计算过程

xi

yi

yi

(yi

-

yi)

(yi-

yi)＾

＾

＾

155847.4310.57111.72206768.77-1.773.13257999.81-20.81433.0630140144.58-4.5820.9835200209.41-9.4188.5540320303.32

16.68278.2245480439.35

40.651652.422101344

2588.08相关指数计算：27.41现在是15页\一共有62页\编辑于星期六3.双曲线函数直化a<0，b＞0直化：上式可作如下变换双曲线函数如下式图7.9

双曲线函数a>0，b＞0(c)(b)yyxxb∞∞x∞a>0，b<0b00b(a)..y令:可直化为下式7.42现在是16页\一共有62页\编辑于星期六相关指数的意义和直线回归决定系的意义是一样的。这里不能用原始数据求直线相关系数r,

r只能用于直线,不能用于曲线。可得：回归方城配合:对相关指数的说明:7.43现在是17页\一共有62页\编辑于星期六

例7.9

研究“岱字”棉自播至齐苗（以80%出苗为准）的天数（x）与日平均土温(y)的关系,得下表7.10,试作回归分析。表7.10“岱字”棉至齐苗天数与土温的关系xy3330272421183.0034.005.008.0015.0yx481216

40302010

0......图7.10“岱字棉”至齐苗天数土温的关系图7.4432现在是18页\一共有62页\编辑于星期六表7.11“岱字”棉至齐苗天数与土温的关系数据变换xyx`=1/x3330272421183.0034.005.008.0015.00.33330.27270.25000.20000.12500.066610.99898.18106.75004.80002.62501.1988x`y所选模型：23直化式如下7.45x`y220.11110.07440.06250.04000.01560.00441089900725576441324∑1531.2436

34.5537

0.3084059现在是19页\一共有62页\编辑于星期六直化回归方程：曲线回归方程：相关指数：7.46注:

本例还可用y`=a+bx转换,其中y`=

xy,其结果相同。

现在是20页\一共有62页\编辑于星期六

在农业试验中经常遇到一些曲线回归配合问题,现列出几种常用的可直化的函数模型*如:密度与有效穗数间的关系。如:毛细管水的上升高度与时间的关系。如:叶绿素与透光度间的关系。如:棉纤维长分布与次数间关系。如:大豆密度与青荚产量间关系。*注：《农业试验统计》莫惠栋编著上海科技出版社1984如:洋葱鳞茎的直径与重量间的关系。7.47现在是21页\一共有62页\编辑于星期六4.

S

形曲线直化

在生物界中,反应生物的累积发生量(率)y与时间、浓度、药品用量x等关系时,可以用S

形曲线来刻画。如:动植物的累积发病率、累积死亡率、累积发生进度、繁殖过程与时间、浓度与药品用量的关系等。图7.11

对称的S形曲线图7.12

不对称的S形曲线时间浓度用量累积率yx时间浓度用量x累积率y7.48现在是22页\一共有62页\编辑于星期六

(1)对称的S形曲线:一些作物的日生长量或发生量等往往为正态或近似正态分布(下图左),其累积量(率)y%与时间x则呈对称的S形曲线(下图右)。xy日发生量日生长量日期图7.13

正态分布曲线图7.14

对称

s

形曲线xy%日期累积率累积量7.49现在是23页\一共有62页\编辑于星期六

可将资料中的累积率y%视为正态分布的分布函数Φ(u)=P{U≤u},若将y%

转化为正态分布的u值,则u与时间x就成为直线关系了,但是u变量的取值有时为正或为负计算起来很不方便,可采用P=u+5来解决。则P=a+bx

。P

称概率单位值(不要和概率符号P相混淆),在一些统计书中可查到《百分率与概率单位换算表》。7.50对称的S形曲线直化过程：现在是24页\一共有62页\编辑于星期六

例7.10

研究某地越冬代棉花红铃虫的化蛹进度y%与时间x的关系,试进行回归分析。解:首先将观察日期转换为以5月31日为0的数值(x),化蛹进度y%与x成

S

形曲线,再将y%查表转换为概率单位值P,

而P与x即为直线了。

510

1520253035404550

y%502575100..........图7.15

棉红铃虫s形曲线图x5101520253035404550

y%502575100..........x7.51现在是25页\一共有62页\编辑于星期六表7.12

棉花红铃虫化蛹进度表

月/日

x

天

y%

P概率单位

P6/5

53.53.18813.12643.16/10106.43.47803.56277.56/151514.63.94633.999115.86/202031.44.51554.435428.66/252545.64.88954.871844.96/303060.45.26375.308262.17/53575.25.68085.744577.27/104090.26.29306.180988.17/154595.46.68496.617294.77/205097.56.96007.536098.0

∑

275

50.8998＾y%＾7.52现在是26页\一共有62页\编辑于星期六得回归方程:7.53现在是27页\一共有62页\编辑于星期六例如:

测报7月2日时即x=32,代入回归方程得P=5.4719,查表得P对应的累积率为68.15%P概率单位值P=2.756+0.0848x

＾1020304050x..........73456日期图7.16

概率单位与日期直线关系图可计算直线回归的相关系数7.54现在是28页\一共有62页\编辑于星期六

(2)不对称的

S

形曲线:生物生长量或发生量y与时间x的曲线并不都是正态(图7.17),其累积率也呈现出不对称的

S形曲线(图7.18),xyxy%发生量日期日期生长量图7.18

不对称S形曲线图7.17

偏态曲线累积率7.55现在是29页\一共有62页\编辑于星期六

例7.11用氯氰菊酯对菜粉蝶五龄幼虫进行触杀毒力测定(LD50),累积死亡率y%与单位体重药量x(μ/L)之间的图形呈不对称的S形曲线(见下图7.19),试对其直化后进行回归分析。g如果将累积率y%转换成P,则P和时间x的关系仍然是曲线,达不到直化的目的,前面的方法不能直接搬用,但是只要将x取对数转换(lgx),则P与lgx

就为直线了,P=a+blgx

。7.56现在是30页\一共有62页\编辑于星期六

解:将累积更正死亡率查百分率与概率单位值转换表得概率单位值P,再将单位体重药量

转换为lgx

建立直化回归方程

0.00799919.80.0155932.20.037657.80.068481.70.13192.3

x(μg/L)死亡率y%

表7.13菜粉蝶五龄幼虫毒杀力测定12345图7.19

氯氰菊酯触杀菜

粉蝶毒力测定图单位体重药量y%累积死亡率.....10000.040.120.08806040200.16x7.57现在是31页\一共有62页\编辑于星期六

0.007999

-2.09719.84.15120.01559-1.80732.24.53790.0376-1.42557.85.1968

0.0684-1.16581.75.9040

0.131-0.88392.36.4255

∑

-7.377

26.2154

平均

-1.4754

5.2431

x(μ/L)

x`=

lgxy%

P

概率单位

g表7.14

菜粉蝶五龄幼虫毒杀力测定数据123457.58现在是32页\一共有62页\编辑于星期六7.59现在是33页\一共有62页\编辑于星期六即:

lgx概率单位值

P-0.8-1.6-2.0-2.4.....76543-1.4图7.20

直线回归方程

直线回归方程7.60现在是34页\一共有62页\编辑于星期六1

0.007999-2.09719.8

4.15124.05017.1

7.2920.01559

-1.80732.2

4.53794.607

34.7

6.2530.0376

-1.42557.85.1968

5.33963.330.340.0684

-1.16581.75.90405.83980.90.6450.131

-0.883

92.3

6.42556.379

91.60.49

∑

-7.377

26.215

44.92

平均

-1.475

5.2431

x(μ/L)

x`=lgx

y%Pg表7.15

菜粉蝶五龄幼虫毒杀力测定预测及相关指数计算表＾＾P＾y%(yi

–yi)2ii7.61现在是35页\一共有62页\编辑于星期六预测

x=0.04(μ

/L)时,菜粉蝶五龄幼虫死亡率?概率单位值P=8.0746+1.9191×lg0.04=5.392,

将概率单位值转换为百分率:

5.392

转换为百分率≈65.25%,

(查附表)相关指数：r=0.98

g

＾

27.62

5.Logistic

生长曲线(S形曲线)

动植物的生长或繁殖,假定在无限空间、无限营养来源等无约束条件下进行,则其生长或繁现在是36页\一共有62页\编辑于星期六殖量与时间的关系开始时为指数函数:这种关系通常只能在一开始的一段时间内成立,但实际上由于环境条件的恶化、营养的不足、衰老的加快、繁殖的减慢、死亡的增多等约束条件伴随而来,β不能保持稳定,它们将改变这这种关系而呈现出Logistic曲线形式。7.63现在是37页\一共有62页\编辑于星期六

称上式为自然生长方程。其中:y是生长量,繁殖量(或累积率),K是时间无限时y的极限量(率),x为演变时间。该曲线与前两种

s

形曲线有所不同,它没有正态分布或近似正态分布假定,所以具有更广泛的适应性。(1)Logistic

函数表达式或①②7.64现在是38页\一共有62页\编辑于星期六

(2)Logistic

函数的性质1.

当x=0

时可算得起始量2.

当x=-

ln(1/a)/b,y=K/2时为拐点,即变化率从逐增过度到逐减的分界点。3.

当x在[0,-

ln(1/a)/b]区间时变化率逐增;在[-ln(1/a)/b

,∞]变化率逐减。见图7.22xy∞时间累积量累积率

%Kk2x=-

ln(1/a)/b0图7.22

Logistic曲线.7.65拐点现在是39页\一共有62页\编辑于星期六未知参数的确定：①如果

y

是累积率则极限值则K=100。②如果y是生长量或繁殖量,其极限值K可由按下式近似求得在实际应用时(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),是数据中的三对观察值,

x1,x2,x3

是等间距的量,间距不应太小,间距小了算出的K值误差较大。7.66现在是40页\一共有62页\编辑于星期六(3)Logistic

生长曲线直化过程将函数①变形得等式两边同除以y并取自然对数得令：则有:再求解直线回归系数：a`,-

b

7.67现在是41页\一共有62页\编辑于星期六

再对a`取反自然对数得曲线回归系数a,可得方程式

①。

注意:如果对②式直化则有(对回归系数a不再取反对数)。即:

①,②式的

a是不同的,这里必须指出用同一资料所配合的曲线方程①和②是等价的。注:Logistic

曲线方程是由比利时数学家t于1838年导出,但长期湮没,至20世纪20年代才又被统计学家R.Pearl和重新发现。该方程在动植物的饲养、栽培、资源、生态、环境保护等方面的模拟研究中已有较广泛的应用。7.68现在是42页\一共有62页\编辑于星期六

例7.13

试以生长曲线描述例7.10越冬代棉红铃虫化蛹进度和时间的关系。利用Logistic函数的数学性质,求出拐点并解释其实际意义。

解：因为y

变量是化蛹进度为百分数(%),所以当发生时间x无限时y的极限值

K=100

分析计算过程：7.69现在是43页\一共有62页\编辑于星期六表7.17

棉红铃虫化蛹进度和时间表x(天)y%

100

-yy

ln(

)100

-yy

53.527.5713.3168106.414.6252.68271514.65.84931.76632031.42.18470.78152545.61.19300.17653060.40.6556-0.42223575.20.3298-1.10934090.20.1068-2.21964595.40.0482-3.03205097.50.0256-3.6636iiii7.70现在是44页\一共有62页\编辑于星期六反对数求a可得:得曲线回归方程:或①②7.71现在是45页\一共有62页\编辑于星期六当x=0

时化蛹进度y%=1.58%,

当x=-ln(1/62.08864)/0.156395=26.4为拐点,见图7.23。说明在6月27日时化蛹进度达y%=50%,

6月27日前化蛹进度是逐增的,6月27日以后化蛹进度就逐渐减慢。＾

＾图7.23

棉红铃虫化蛹进度xy%化蛹进度日期102030405025507510050%100%6月27日.07.72现在是46页\一共有62页\编辑于星期六

例7.14

测定某种肉用鸡在良好饲养条件下的生长过程,每两周测定一次,得数据如下,试以Logistic方程描述之。(x周次,y重量kg)先求极限生长量K值：由资料可选等间距x对应的y值为7.73解：由下式可求得K值现在是47页\一共有62页\编辑于星期六表7.18

肉用鸡周次体重(ykg)数据表2.827-yy

ln(

)2.827-yy

1

2

0.308.42332.13104.2620240.862.28720.82733.3092

361.730.6341-0.4556-2.7336

482.200.2850-1.2553-10.0424

5102.470.1445-1.9345-19.345

6122.670.0588-2.8336-34.0032

7142.800.0096-4.6460-65.0224

∑

56-8.1667-123.597平均8-1.1667

周次x

重量

yiiiii7.74现在是48页\一共有62页\编辑于星期六配合回归方程：7.75现在是49页\一共有62页\编辑于星期六当:

周(为拐点)

是生长过程的速率由快转慢的界点,当x＜5.76或周时速率逐增,x＞5.76时速率逐减。x＜拐点时,可用指数函数描述,x＞拐点时,则需用Logistic方程才能描述全过程。7.76现在是50页\一共有62页\编辑于星期六一元二次抛物线回归(一元二次多项式回归)7.2.2不可直化的一元非线性回归样本回归方程:1.一元二次抛物线回归的配合数学模型：上式不能直接用取对数的方进行直化,只能用解方程的方法求解回归系数a,b,c。7.77现在是51页\一共有62页\编辑于星期六图7.24

抛物线回归方程与图形y=a+bx+cx2yx

在研究动植物发育速度与温度间的关系、肥料或饲料与产量或重量的关系有时可用抛物线回归来描述。如：苜蓿盲蝽卵不同温度与卵的发育速度间的关系就为抛物线。2.二次抛物线方程系数的最小二乘估计：

令:

求函数

(因为Q是二次函数,所以一定有极值且有极小7.78现在是52页\一共有62页\编辑于星期六值),对函数Q(a,b,c)分别求一阶偏导,令其为0：即:7.79现在是53页\一共有62页\编辑于星期六三元一次正规方程组③①②对上面正规方程组求解a,b,c(行列式解法)………………将方程两边各同除以2,进行整理之,可得下面7.80现在是54页\一共有62页\编辑于星期六得：回归方程:7.81现在是55页\一共有62页\编辑于星期六

例7.15

对苜蓿盲蝽卵进行研究,发现不同温度x与卵的发育速度

y

呈二次曲线型,见表7.19图7.25试对其进行回归分析。

解：盲蝽象卵的发育速度y是按照发育天数的倒数乘以100转换来的。图7.25

苜蓿盲蝽卵温度与发育速度关系图发育速度y温度x.......164812152025303540表7.19苜蓿盲蝽卵温度与发育速度关系

温度x

发育速度

y

15

3.85207.58259.433011.35