等差数列的前项和的性质

等差数列的前项和的性质第一页，共二十七页，2022年，8月28日复习：关于n的二次函数当d≠0时，这是关于n的一个一次函数。2.等差数列的前n项和公式1.等差数列通项公式：第二页，共二十七页，2022年，8月28日5951010050-214.5320.7知三求二500604.5261025502第三页，共二十七页，2022年，8月28日3．在等差数列{an}中，已知S15＝90，那么a8等于()A．3B．4C．6D．12

C1．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋…＋a101＝0，则有()CA．a1＋a101＞0C．a1＋a101＝0B．a1＋a101＜0 D．a51＝51练习：B第四页，共二十七页，2022年，8月28日

在等差数列｛an｝中，⑴已知a2+a15=20,求S16;⑵已知a6=36,求S11．练一练第五页，共二十七页，2022年，8月28日等差数列前n项和的性质第六页，共二十七页，2022年，8月28日1.等差数列{an}的前

m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．30B．170C．210D．2602.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝（）A．63B．45C．36D．27BC3.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则CA．12B．18C．24D．42S6等于()第七页，共二十七页，2022年，8月28日1.在小于100的自然数中，有多少个被３除余２的数？它们的和是多少？课外思考：2．在5，27之间插入10个数，使它们同这两个数成等差数列．求这10个数的和．33个第八页，共二十七页，2022年，8月28日2．在5，27之间插入10个数，使它们同这两个数成等差数列．求这10个数的和．解法一：设插入的10个数依次为a2,a3,…,a11,则5，a2，a3，…，a11，27成等差数列．令S＝a2＋a3＋…＋a11,需求出a2,d．∵a12＝27，a1＝5，∴27＝5＋11d，d=2．

a2＝5＋2＝7．第九页，共二十七页，2022年，8月28日解法二：设法同上．根据a2＋

a11

＝a1＋a12＝5＋27＝32，解法三：设法同上．第十页，共二十七页，2022年，8月28日例3.已知数列的前项和为

,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?第十一页，共二十七页，2022年，8月28日练习：第十二页，共二十七页，2022年，8月28日等差数列前n项和的最值问题____________.65或67第十三页，共二十七页，2022年，8月28日

例1.在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn

的最值．由二次函数的性质可知，当n＝13时，Sn有最大值为169.第十四页，共二十七页，2022年，8月28日

例.已知一个等差数列{an}的通项公式an＝25－5n，求数列{|an|}的前n项和Sn.

错因剖析：解本题易出现的错误就是：(1)由an≥0得，n≤5理解为n＝5，得出结论：Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝50(n≤5)，Sn＝(20－5n)(n－5)

2；(2)把“前n项和”认为“从n≥6起”的和．事实上，本题要对n进行分类讨论．第十五页，共二十七页，2022年，8月28日正解：由an≥0得n≤5，∴{an}前5项为非负，从第6项起为负，当n≥6时，第十六页，共二十七页，2022年，8月28日1.数列{an}是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负．(1)求数列的公差；(2)求前n项和Sn的最大值；(3)当Sn＞0时，求n的最大值．第十七页，共二十七页，2022年，8月28日S6＝6×23＋，(2)∵d＜0，∴数列{an}是递减数列，又a6＞0，a7＜0，∴当n＝6时，Sn

取得最大值，6×5 2×(－4)＝78.(3)Sn＝23n＋n(n－1)

2×(－4)＞0，整理得：n(25－2n)＞0，∴0＜n＜25 2又n∈N*，所求n的最大值为12.第十八页，共二十七页，2022年，8月28日2.已知Sn

为等差数列{an}的前n项和，Sn＝12n－n2.(1)求|a1|＋|a2|＋|a3|；(2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|；(3)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.第十九页，共二十七页，2022年，8月28日解：∵Sn＝12n－n2，∴当n＝1时，a1＝S1＝12－1＝11，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(12n－n2)－12(n－1)＋(n－1)2＝13－2n，当n＝1时，13－2×1＝11＝a1，∴an＝13－2n.由an＝13－2n≥0，得n≤13 2，∴当1≤n≤6时，an>0；当n≥7时，an<0.(1)|a1|＋|a2|＋|a3|＝a1＋a2＋a3＝S3＝12×3－32＝27；第二十页，共二十七页，2022年，8月28日第二十一页，共二十七页，2022年，8月28日课外思考：等差数列共有2n+1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则中间项为_______.第二十二页，共二十七页，2022年，8月28日

等差数列前n项和的实际应用 例3：一个等差数列的前10项之和100，前100项之和为10，求前110项之和．解法一：设等差数列{an}的公差为d，前n项和Sn，则第二十三页，共二十七页，2022年，8月