第四节无穷小与无穷大

第四节无穷小与无穷大1第一页，共二十页，2022年，8月28日【无穷小产生的背景——第二次数学危机】芝诺提出的四个著名的悖论：第一个悖论是说运动不存在，理由是运动物体到达目的地之前必须到达半路，而到达半路之前又必须到达半路的半路……如此下去，它必须通过无限多个点，这在有限长时间之内是无法办到的。第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟。因为乌龟在他前面时，他必须首先到达乌龟的起点，然后用第一个悖论的逻辑，乌龟总在他的前面。这两个悖论是反对空间、时间无限可分的观点的2第二页，共二十页，2022年，8月28日第四个悖论是游行队伍悖论，内容大体相似第三个悖论是说“飞矢不动”，因为在某一时间间隔，飞矢总是在某个空间间隔中确定的位置上，因而是静止的。这两个悖论是反对空间、时间由不可分的间隔组成这说明希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾。当然他们无法解决这些矛盾。十八世纪的数学思想的确是不严密的、直观的、强调形式的计算，而不管基础的可靠与否，其中特别是：没有清楚的无穷小概念，因此导数、微分、积分等概念不清楚；对无穷大的概念也不清楚；发散级数求和的任意性；符号使用的不严格性；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及可否展成幂级数等等。例如以求速度为例，瞬时速度是Δs/Δt当Δt趋向于零时的值。Δt是零、是很小的量，还是什么东西？这个无穷小量究竟是不是零？这引起了极大的争论，从而引发了第二次数学危机。3第三页，共二十页，2022年，8月28日一直到十九世纪二十年代，一些数学家才开始比较关注于微积分的严格基础。它们从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里克莱等人的工作开始，最终由威尔斯特拉斯、戴德金和康托尔彻底完成，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。波尔查诺不仅承认无穷小数和无穷大数的存在，而且给出了连续性的正确定义。柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量开始，认识到函数不一定要有解析表达式。他抓住了极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，并定义了导数和积分；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；狄里克莱给出了函数的现代定义。在这些数学工作的基础上，维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的ε-δ的极限、连续定义，并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上，从而克服了危机和矛盾。十九世纪七十年代初，威尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析终于建立在实数理论的严格基础之上了。4第四页，共二十页，2022年，8月28日一、无穷小1.【直观定义】极限为零的变量称为无穷小5第五页，共二十页，2022年，8月28日【例如】【注意】（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的常数.（3）说一个量是无穷小，必须指明其变化过程6第六页，共二十页，2022年，8月28日2.无穷小与函数极限的关系:【证】【定理1】时,有对自变量的其它变化过程类似可证.7第七页，共二十页，2022年，8月28日【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);牛—莱称《无穷小分析》【补例】写成其极限值与一个无穷小之和的形式.【解】故f(x)能写成其极限值与一个无穷小之和.8第八页，共二十页，2022年，8月28日二、无穷大1.【直观定义】绝对值无限增大的变量称为无穷大的

x,总有则称函数当时为无穷大,使对一切满足不等式①(或正数X),记作【精确定义2】

设f(x)在内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）,若任给

M>0,总存在9第九页，共二十页，2022年，8月28日【特殊情形】正无穷大+∞，负无穷大－∞．【注意】(1)无穷大是变量,不能与很大的数混淆;

常数中不存在无穷大.(3)无穷大是一种特殊的无界变量,而无界变量未必是无穷大，但它至少有一个无穷大子列(2)若上述定义中将①式改为则记作10第十页，共二十页，2022年，8月28日【无穷大】【无界量】【比喻】［无穷大］某过程中，组织纪律性强，某时刻后，步调一致地向无穷远跑.［无界量］某范围内的某过程中，较自由、散漫，有的向无穷远跑，有的掉队，有的原地踏步不动，行动不一致.无穷大必无界，但无界未必是无穷大.【两者区别与联系】11第十一页，共二十页，2022年，8月28日由此可知不是无穷大．有无穷大子列，故无界.【例如】不是无穷大.12第十二页，共二十页，2022年，8月28日【证】【例1】13第十三页，共二十页，2022年，8月28日2.【铅直渐近线】(1)［铅直渐近线］【例如】是函数的铅直渐近线。(2)［水平渐近线］(3)［小结求渐近线］14第十四页，共二十页，2022年，8月28日【例2】【解】15第十五页，共二十页，2022年，8月28日三、无穷小与无穷大的关系【定理2】在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.【证】【分析】注意到由无穷大定义16第十六页，共二十页，2022年，8月28日关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.由无穷小定义【意义】17第十七页，共二十页，2022年，8月28日四、小结1.主要内容:两个定义;两个定理.铅直渐近线2.几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小00000（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无