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文档简介
2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.在等差数列中,,则()A. B. C. D.2.若tan()=2,则sin2α=()A. B. C. D.3.已知三棱锥,若平面,,,,则三棱锥外接球的表面积为()A. B. C. D.4.已知数列满足,且,其前n项之和为,则满足不等式的最小整数n是()A.5 B.6 C.7 D.85.已知角、是的内角,则“”是“”的()A.充分条件 B.必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.在中,内角所对的边分别是.已知,,,则A. B. C. D.7.己知关于的不等式解集为,则突数的取值范围为()A. B.C. D.8.已知向量,且,则的值为()A.6 B.-6 C. D.9.在中,,,成等差数列,,则的形状为()A.直角三角形 B.等腰直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形10.等差数列中,已知,且公差,则其前项和取最小值时的的值为()A.6 B.7 C.8 D.9二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.若函数是奇函数,其中,则__________.12.已知三个事件A,B,C两两互斥且,则P(A∪B∪C)=__________.13.设x、y满足约束条件,则的取值范围是______.14.若直线上存在满足以下条件的点:过点作圆的两条切线(切点分别为),四边形的面积等于,则实数的取值范围是_______15.已知向量,向量,若与垂直,则__________.16.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为0.04,出现丙级品的概率为0.01,则对成品抽查一件抽得正品的概率为________.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.设向量,,其中.(1)若,求的值;(2)若,求的值.18.将边长分别为、、、…、、、…的正方形叠放在一起,形成如图所示的图形,由小到大,依次记各阴影部分所在的图形为第个、第个、……、第个阴影部分图形.设前个阴影部分图形的面积的平均值为.记数列满足,(1)求的表达式;(2)写出,的值,并求数列的通项公式;(3)定义,记,且恒成立,求的取值范围.19.设函数.(1)若,解不等式;(2)若对一切实数,恒成立,求实数的取值范围.20.已知数列的前项和,函数对任意的都有,数列满足.(1)求数列,的通项公式;(2)若数列满足,是数列的前项和,是否存在正实数,使不等式对于一切的恒成立?若存在请求出的取值范围;若不存在请说明理由.21.如图,在三棱锥中,侧面与侧面均为边长为2的等边三角形,,为中点.(1)证明:;(2)求点到平面的距离.
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】
利用等差中项的性质得出关于的等式,可解出的值.【详解】由等差中项的性质可得,由于,即,即,解得,故选:B.【点睛】本题考查等差中项性质的应用,解题时充分利用等差中项的性质进行计算,可简化计算,考查运算能力,属于基础题.2、B【解析】
由两角差的正切得tan,化sin2α为tan的齐次式求解【详解】tan()=2,则则sin2α=故选:B【点睛】本题考查两角差的正切公式,考查二倍角公式及齐次式求值,意在考查公式的灵活运用,是基础题3、B【解析】
根据题意画出三棱锥的图形,将其放入一个长方体中,容易知道三棱锥的外接球半径,利用球的表面积公式求解即可.【详解】根据题意画出三棱锥如图所示,把三棱锥放入一个长方体中,三棱锥的外接球即这个长方体的外接球,长方体的外接球半径等于体对角线的一半,所以三棱锥的外接球半径,三棱锥的外接球的表面积.故选:B【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球问题,对于三棱锥三条棱有两两垂直的情况,可以考虑将其放入一个长方体中求解外接球半径,属于基础题.4、C【解析】
首先分析题目已知3an+1+an=4(n∈N*)且a1=9,其前n项和为Sn,求满足不等式|Sn﹣n﹣6|<的最小整数n.故可以考虑把等式3an+1+an=4变形得到,然后根据数列bn=an﹣1为等比数列,求出Sn代入绝对值不等式求解即可得到答案.【详解】对3an+1+an=4变形得:3(an+1﹣1)=﹣(an﹣1)即:故可以分析得到数列bn=an﹣1为首项为8公比为的等比数列.所以bn=an﹣1=8×an=8×+1所以|Sn﹣n﹣6|=解得最小的正整数n=7故选C.【点睛】此题主要考查不等式的求解问题,其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题,属于不等式与数列的综合性问题,判断出数列an﹣1为等比数列是题目的关键,有一定的技巧性属于中档题目.5、C【解析】
结合正弦定理,利用充分条件和必要条件的定义进行判断【详解】在三角形中,根据大边对大角原则,若,则,由正弦定理得,充分条件成立;若,由可得,根据大边对大角原则,则,必要条件成立;故在三角形中,“”是“”的充要条件故选:C【点睛】本题考查充分条件与必要条件的应用,利用正弦定理确定边角关系,三角形大边对大角原则应谨记,属于基础题6、B【解析】
由已知三边,利用余弦定理可得,结合,为锐角,可得,利用三角形内角和定理即可求的值.【详解】在中,,,,由余弦定理可得:,,故为锐角,可得,,故选.【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用.7、C【解析】
利用绝对值的几何意义求解,即表示数轴上与和-2的距离之和,其最小值为.【详解】∵,∴由解集为,得,解得.故选C.【点睛】本题考查绝对值不等式,考查绝对值的性质,解题时可按绝对值定义去绝对值符号后再求解,也可应用绝对值的几何意义求解.不等式解集为,可转化为的最小值不小于1,这是解题关键.8、A【解析】
两向量平行,內积等于外积。【详解】,所以选A.【点睛】本题考查两向量平行的坐标运算,属于基础题。9、B【解析】
根据等差中项以及余弦定理即可.【详解】因为,,成等差数列,得为直角三角形为等腰直角三角形,所以选择B【点睛】本题主要考查了等差中项和余弦定理,若为等差数列,则,属于基础题.10、C【解析】因为等差数列中,,所以,有,所以当时前项和取最小值.故选C.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解析】
定义域上的奇函数,则【详解】函数是奇函数,所以,又,则所以填【点睛】定义域上的奇函数,我们可以直接搭建方程,若定义域中则不能直接代指.12、0.9【解析】
先计算,再计算【详解】故答案为0.9【点睛】本题考查了互斥事件的概率计算,属于基础题型.13、【解析】
由约束条件可得可行域,将问题转化为在轴截距取值范围的求解;通过直线平移可确定的最值点,代入点的坐标可求得最值,进而得到取值范围.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示:将的取值范围转化为在轴截距的取值范围问题由平移可知,当过图中两点时,在轴截距取得最大和最小值,,的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查线性规划中的取值范围问题的求解,关键是能够将问题转化成直线在轴截距的取值范围的求解问题,通过数形结合的方式可求得结果.14、【解析】
通过画出图形,可计算出圆心到直线的最短距离,建立不等式即可得到的取值范围.【详解】作出图形,由题意可知,,此时,四边形即为,而,故,勾股定理可知,而要是得存在点P满足该条件,只需O到直线的距离不大于即可,即,所以,故的取值范围是.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式,意在考查学生的转化能力,计算能力,分析能力,难度中等.15、;【解析】
由计算可得.【详解】,∵与垂直,∴,.故答案为-1.【点睛】本题考查向量垂直的坐标运算.由向量垂直得其数量积为0,本题属于基础题.16、0.95【解析】
根据抽查一件产品是甲级品、乙级品、丙级品是互为互斥事件,且三个事件对立,再根据抽得正品即为抽得甲级品的概率求解.【详解】记事件A={甲级品},B={乙级品},C={丙级品}因为事件A,B,C互为互斥事件,且三个事件对立,所以抽得正品即为抽得甲级品的概率为故答案为:0.95【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件概率的求法,还考查了运算求解的能力,属于基础题.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)【解析】
(1)由向量垂直的坐标运算求出,再构造齐次式求解即可;(2)先由向量的模的运算求得,再由求解即可.【详解】解:(1)若,则,得,所以;(2)因为,,则,因为,所以,即,化简得,即,所以,因为,所以,则,所以,,所以,故.【点睛】本题考查了三角函数构造齐次式求值,重点考查了两角差的正弦公式及二倍角公式,属中档题.18、(1);(2),,;(3).【解析】
(1)根据题意,分别求出每一个阴影部分图形的面积,即可得到前个阴影部分图形的面积的平均值;(2)依据递推式,结合分类讨论思想,即可求出数列的通项公式;(3)先求出的表达式,再依题意得到,分类讨论不等式恒成立的条件,取其交集,即得所求范围。【详解】(1)由题意有,第一个阴影部分图形面积是:;第二个阴影部分图形面积是:;第三个阴影部分图形面积是:;所以第个阴影部分图形面积是:;故;(2)由(1)知,,,所以,,当时,当时,,综上,数列的通项公式为,。(3)由(2)知,,,由题意可得,恒成立,①当时,,即,所以,②当时,,即,所以,③当时,,即,所以,综上,。【点睛】本题主要考查数列的通项公式求法,数列不等式恒成立问题的解法以及分类讨论思想的运用,意在考查学生逻辑推理能力及运算能力。19、(1)或;(2)【解析】
(1)时,不等式化为,求解即可;(2)分和两种情况分类讨论,并结合二次函数的性质,可求出答案.【详解】(1)时,不等式化为,即,解得或,即解集为:或.(2)当时,,符合题意,当时,由题意得,解得,综上所述,实数的取值范围是:.【点睛】本题考查不等式恒成立问题,考查一元二次不等式的解法,考查学生的计算求解能力,属于基础题.20、(1),;(2).【解析】分析:(1)利用的关系,求解;倒序相加求。(2)先用错位相减求,分离参数,使得对于一切的恒成立,转化为求的最值。详解:(1)时满足上式,故∵=1∴∵①∴②∴①+②,得.(2)∵,∴∴①,②①-②得即要使得不等式恒成立,恒成立对于一切的恒成立,即,令,则当且仅当时等号成立,故所以为所求.点睛:1、,一定要注意,当时要验证是否满足数列。2、等比乘等差结构的数列用错位相减。3、数列中的恒成立问题与函数中的恒成立问题解法一致。21、(1)见解析;(2)【解析】
(1)由题设AB=AC=SB=SC=SA,连结OA,推导出SO⊥BC,SO⊥AO,由此能证明SO⊥平面ABC;(2)设点B到平面SAC的距离为h,由VS﹣BAC=VB﹣SAC
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