2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析

2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（）A． B． C． D．参考答案：C考点：向量的线性运算性质及几何意义；几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P是△ABC边BC上的中线AO的中点．再根据几何概型公式，将△PBC的面积与△ABC的面积相除可得本题的答案．解答：解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则∵，∴，得=﹣2由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC的距离的．∴S△PBC=S△ABC．将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P==故选C点评：本题给出点P满足的条件，求P点落在△PBC内的概率，着重考查了平面向量加法法则、向量共线的充要条件和几何概型等知识，属于基础题．2.已知实数满足，若恒成立，则的最小值为（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：D略3.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（

）A．65

B．184

C．183

D．176参考答案：B4.已知为钝角，且，则__________.参考答案：略5.阅读右图的程序框图,若输出的值等于,那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（▲）

A．?

B．?

C．?

D．?参考答案：A6.由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略7.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（A） （B） （C） （D）参考答案：D该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥．其中底面ABCD是边长为4的正方形，高为CC1=4，该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的直径为,所以球的半径为,，所以球的表面积是，选D.（11）已知集合，在区间上任取一实数，则“”的概率为（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】,，所以，因为，所以。根据几何概型可知的概率为，选C.8.在等差数列中，，则数列的前11项和等于A．

B．

C．

D．参考答案：D9.已知a,b∈R,且ab≠0，则在下列四个不等式中，不恒成立的是(

)A. B.C. D.参考答案：B略10.已知函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所()A．ω＝1，φ＝B．ω＝1，φ＝－C．ω＝2，φ＝

D．ω＝2，φ＝－

参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，若，

参考答案：12.(13)如图,△ABC为圆的内接三角形,BD为圆的弦,且BD//AC.过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.若AB=AC,AE=6,BD=5,则线段CF的长为

.参考答案：13.定义在上的函数，满足，（1）若，则

.（2）若，则

（用含的式子表示）.参考答案：（1）；（2）略14.（1）（坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线的位置关系是

_

．参考答案：相离15.已知，，则___.参考答案：16.已知一组数据x1，x2，…xn的方差为3，若数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b（a，b∈R）的方差为12，则a的所有的值为

．参考答案：±2【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据数据x1，x2，…xn的方差与数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的方差关系，列出方程，求出a的值．【解答】解：根据题意，得；∵数据x1，x2，…xn的方差为3，∴数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b（a，b∈R）的方差为a2?3=12，∴a2=4∴a=±2．故答案为：±2．17.抛物线C：（）的准线与x轴的交点为M，过点M作C的两条切线，切点分别为P，Q，则

．参考答案：由题意得,设过点切线方程为,代入得,即,因此

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题15分)如图，三棱锥P-ABC中，底面ABC，是正三角形，AB=4，PA=3，M是AB的中点.（1）求证：平面PAB；（2）设二面角A-PB-C的大小为，求的值.参考答案：【答案解析】（1）证明：略；（2）．

解析：（1）因为底面，所以． ┅3分因为△是正三角形，是的中点，所以． ┅6分所以，平面． ┅7分（2）（几何法）作于，连，则．所以，是二面角的平面角． ┅11分因为，，所以，．从而，故． ┅15分（向量法）以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图．平面的一个法向量． ┅10分，．设是平面的法向量，则，取法向量． ┅13分故． ┅15分【思路点拨】（1）只需证明直线CM与平面PAB中两条相交直线AB、AP垂直；（2）（几何法）作出二面角的平面角，构造含此角的三角形求解.(向量法)建立空间直角坐标系，确定所求二面角中每一个半平面的一个法向量，因为两法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补，所以只需求这两法向量夹角的余弦值即可.19.（本小题满分15分）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为（0＜＜1，则出厂价相应提高的比例为0.7，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量.（1）若年销售量增加的比例为0.4，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例应在什么范围内？（2）年销售量关于的函数为，则当为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？参考答案：18、（本题满分15分）解：（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x）；出厂价为13×（1+0.7x）；年销售量为5000×（1+0.4x），

……2分因此本年度的利润为即：

…6分由，

得

…………8分（2）本年度的利润为则

………10分由

当是增函数；当是减函数.∴当时，万元，

………12分因为在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值，

………14分所以当时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．

………15分略20.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3?a4=117，a2+a5=22．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an+1}的前n项和．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列的性质、一元二次方程的根与系数的关系即可得出．（2）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解（1）设等差数列{an}的公差为d，且d＞0，由等差数列的性质，得a2+a5=a3+a4=22，所以a3，a4是关于x的方程x2﹣22x+117=0的解，所以a3=9，a4=13，易知a1=1，d=4，故通项为an=1+（n﹣1）×4=4n﹣3．…（2）∵an=4n﹣3，∴an+1=4n﹣2．∴数列{an+1}是以2为首项，4为公差的等差数列，其前n项和=2n+=2n2．21.在四棱锥中，.（1）设AC与BD相交于点M，，且MN∥平面PCD，求实数m的值；（2）若，且，求二面角的正弦值.参考答案：解：（1）因为,所以．因为，平面，平面平面，所以．所以，即．（2）因为,可知为等边三角形，所以，又，故，所有．由已知，所以平面，如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则，所以，则，设平面的一个法向量为，则有即设，则，所以，

设平面的一个法向量为，由已知可得即令，则，所以．所以，设二面角的平面角为，则．

22.（本题满分14分）已知函数，，（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意，恒成立，试求实数的取值范围.参考答案：(１)当a＝时，f（x）＝x＋＋2，

………2分∵f（x）在区间［1，＋∞）上为增函数，

………5分∴f（x）在区间［1，＋∞）上的最小值为f（1）＝．………7分(２)方法一：在区间［1，＋∞）上，f（x）＝＞0恒成立x2＋2x＋a＞0恒成立.

………9分设y＝x2＋2x＋a，x∈［1，＋∞），y＝x2＋2x＋a＝（x＋1）2＋a－1递增，∴当x＝1时，ymin＝3＋a，于是当且仅当ymin＝3＋a＞0时，函数f（x）恒成立，故a＞－3．…………14分方法二：f（x）＝x＋＋2，x∈［1，＋∞），当a≥0时，函数f（