人教A版高中数学选择性必修一直线和圆的方程 第10课时

PAGEPAGE2课题：2.4.1圆的标准方程但琼燕(合肥一中教育集团北城分校)内容和内容解析1.内容圆的标准方程2.内容解析圆是学生熟悉的基本平面图形，为了研究圆的有关性质，解决与圆有关的问题，我们需要根据确定圆的位置的几何要素建立圆的方程，通过圆的方程，运用坐标法解决一些与圆有关的简单问题。学生在初中就已经学习过圆的一些性质，但只是给出了一些定性刻画，通过本节课的圆的方程的建立以及直线相关知识的学习就可以作出精确定量的判断。圆的方程的知识是平面解析几何的基础知识，圆的方程具有广泛的应用。通过本节课的教学，运用类比的思想构建圆的方程，由浅入深的研究数学问题，加强用代数方法解决几何问题的能力，发散学生思维，体现了数学抽象、直观想象，逻辑推理和数学运算的数学学科素养。基于以上分析，确定本节课的教学重点：圆的标准方程。目标和目标解析目标（1）了解圆的现实背景，体会圆与客观世界的联系，发展学生直观想象、数学建模的学科素养。（2)了解点与圆的位置关系，并能解决相关问题，体会数形结合的思想。（3）掌握利用圆的定义推导圆的标准方程的过程，发展学生数学抽象的学科素养。（4）掌握圆的标准方程中相关量的几何意义，通过给定的圆心坐标和半径能熟练写出圆的标准方程，发展学生逻辑推理，数学运算的学科素养。目标解析达成上述目标的标志是：（1）能结合具体现实情境，抽象出圆的问题，明确确定圆的位置的几何要素。（2）能从几何角度和代数角度判断点与圆的位置关系。（3）能类比直线方程的建构过程，知道从确定圆的位置的几何要素出发，利用两点间的距离公式推导圆的标准方程。（4）能根据圆心坐标和圆的半径熟练地求出圆的标准方程，能从圆的标准方程快速得出圆心坐标、半径。三、教学问题诊断分析初中学习了圆的有关知识，在三角函数、复数和平面向量中，学生已经有了一些在直角坐标系中讨论圆的问题的经验，也经历了完整的建构直线方程的过程，这些都为丰富圆的方程的学习内容奠定了基础。但是学生对曲线与方程之间一一对应关系的认识还不够深刻，对坐标法的应用还不够熟练，需要引导。根据以上分析，确定本节课的教学难点：圆的标准方程的推导及应用教学支持条件分析为了更直观形象的突出重点、突破难点，也为了调动学生的学习兴趣，在教学中可以借助信息技术，如借助多媒体设备呈现教学中需要的图片、音频和视频等问题情境材料，激发学生学习兴趣，增强课堂活力；如用几何画板，GGB等软件绘制图象体会圆的几何要素，变抽象为直观，体会数形结合思想，为数学抽象提供直观的背景；使用希沃同屏软件实时分享学生的探究成果，提升课堂参与度，并充分发挥生生互评、师生互评的评价效能。五、教学过程设计（一）结构导示，总揽全局引导语：多边形和圆是平面几何中的两类基本图形，多边形由“直线形”构成，为了研究多边形的性质，首先通过探求直线位置的几何要素建立了直线方程，把几何问题转化成代数问题，继而通过代数方法研究几何图形的性质，如边所在直线的平行和垂直、边与边的交点与及点到线段所在直线的距离等问题，类似地，为了研究圆的有关性质，解决与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程，引出课题。师生活动：一起回顾本章所学过的内容，利用框图展示设计意图：通过前面的学习，让学生明白要想解决几何问题，首先要转化成代数问题，从形到数再回到形，明确解决平面几何的方向。（二）创设情境，提出问题引导语：古希腊，毕达哥拉斯学派曾说过“圆形，是一切平面图形中最美的图形”，接下来，我们就从形的角度欣赏一下圆形。师生活动:共同观看视频设计意图：通过视频引入，激发学生学习知识的欲望，继而提出问题，要想研究圆形的几何性质，我们需要构建圆的方程，引导学生类比直线方程的研究路径，自主的完成本节课的学习。回顾;在平面直角坐标系中，直线的方程是如何研究的？问题1：我们应该怎样确定圆的研究路径呢？预设答案：教师活动：书写板书设计意图：本节需要类比直线方程的构建过程，研究圆的方程，回顾直线方程的研究路径，从形到数再回到形。让学生类比得出圆的研究路径，接下来所有的问题都让学生自己提问，引导学生自发研究。（三）.类比探索，整体认知问题2：圆的几何要素是什么呢？预设答案：圆心和半径教师追问如何得来?师生活动：圆的定义是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，定点称为圆心，定长称为圆的半径．确定圆的两个基本要素：圆心和半径．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．设计意图：引导学生回顾圆的定义，从定义中抽象出圆的几何要素。问题3：几何关系应该如何刻画呢？预设答案：记为圆上任意一点，问题4：代数关系如何刻画呢？预设答案：根据两点间的距离公式，点M的坐标满足的条件可以表示为，两边平方，得．（1）问题5：方程（1）是圆的方程吗？预设答案：是的，但是要向学习直线的方程一样解决两个问题：（1）直线上的点的坐标都满足方关系式，（2）坐标满足关系式的点都在直线上。师生活动：由上述过程可知，若点在上，点M的坐标就满足方程（1）；反过来，若点M的坐标满足方程（1），就说明点M与圆心A点间距离等于r，点M就在上．这时，我们把方程（1）称为圆心为，半径为r的圆的标准方程．用结构图展示如下：师生活动：(书写板书)圆的标准方程圆心半径设计意图：引导学生回忆直线方程研究过程中的代数关系变成直线的方程要解决的问题带领学生再次经历求曲线方程的一般过程，在具体情境中初步了解曲线和方程的关系．为后续知识的学习埋下伏笔．圆的定义和两点间距离公式是问题解决的核心，方程推导过程中的等价变形是确保纯粹性和完备性的根本所在．（四）．学以致用，解决问题例1．求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上．学生活动：圆心为，半径为5的圆的标准方程是．把点的坐标代入方程的左边，得，左右两边相等，点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上．把点的坐标代入方程的左边，得，左右两边不相等，点的坐标不满足圆的方程，所以点不在这个圆上．师生活动：代数角度和几何角度两方面分析问题。代数角度：点在圆上点的坐标满足方程几何角度：点在圆上思考：进一步地，点在圆内还是圆外，为什么呢？预设答案：点的坐标代入方程的左边，得，由于，意即，所以，点的在圆内．师生活动：同样的，也可以从几何角度来解决，最后从形的角度展示。探究：如何确定点与圆：的位置关系？师生活动：①点在圆内；②点在圆上；③点在圆外设计意图：根据圆的标准方程的推导过程，可以直接通过方程判断点与圆的位置关系，这也是对圆的标准方程深刻理解的必然结果，当然也可以回到形上分析．思考1：是不是只能给出圆心和半径才能写出圆的方程？预设答案：不是，比如圆心和圆上的一点也可以求出圆的方程思考2：已知圆上的两个点能否求出圆的方程？预设答案:不能，因为两点确定一条直线追问：过两点的圆有多少个？预设答案：无数个思考3：已知圆上的三个点能否求出圆的方程？预设答案：可以，因为不在一条直线上的三个点能确定一个圆设计意图：强调求圆的标准方程本质上是求圆心和半径。设置三个思考是为了自然的引出例2.例2．的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程．预设答案：设所求的方程是．因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程．于是，即．三式两两相减，得，解得，代入，得．所以，的外接圆的标准方程是．追问：还有没有其他的方法呢？三角形的外接圆圆心在什么位置？半径怎么求？学生探讨得出思路，请一位同学上黑板演示预设答案：设线段的中点为.由两点的坐标为，可得到的坐标为，直线的斜率为 .因此，线段的垂直平分线的方程是.同理可得，线段的垂直平分线的方程是.圆心的坐标就是方程组的解，解得.所以，圆心的坐标， .所以，圆的标准方程是师生活动：教师规范解答步骤设计意图：解决平面解析几何问题的过程中，要注意综合运用所学的数学知识．代数方法具有程序化的特点。比较容易想到，但有时运算会比较复杂:如果灵活运用平面几何知识，往往能够减少运算量，使问题的解法显得简洁，另外，解决解析几何问题的过程中离不开运算，需要灵活运用运算法则和数学公式．引导语：求圆的标准方程本质上是求圆心和半径，我们知道已知两点可以确定圆心所在的直线，如果再给一个圆心所在的直线就可以求出圆心，继而求出半径。例3．已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上，求此圆的标准方程．学生活动：利用希沃助手拍下学生们写的不同解法解法1：设圆C的方程为∵圆心在直线上，且圆经过解法2：设圆心C的坐标为．因为圆心C在直线上，所以．①因为A，B是圆上两点，所以．根据两点间距离公式，有，即．②由①②可得，．所以圆心C的坐标是．圆的半径．所以，所求圆的标准方程是．解法3：如图，设线段AB的中点为D．由A，B两点的坐标为，，可得点D的坐标为，直线AB的斜率为．因此，线段AB的垂直平分线的方程是，即．由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组的解．解这个方程组，得．所以圆心C的坐标是．圆的半径．所以，所求圆的标准方程是．设计意图：解决本题的关键是确定圆心的坐标，圆心坐标一旦确定，半径随之确定．第一种方法和第二种方法仍然是待定系数法，第三种方法充分利用图形的几何性质，直接找到圆心坐标解决问题．第一，二种方法是“算”出圆的标准方程，第三种方法得到圆心坐标和半径大小后，直接“写”出圆的标准方程．通过例3来总结解决平面几何问题的一般思路，可以从代数角度入手，也可以从几何的角度。（五）梳理小结，深化理解（1）：教学过程（2）：概念原理（3）：思想方法（4）：结构再望师生活动：学生自主总结，展示交流．（1）类比直线方程的研究路径，得出圆的方程的研究路径。学习了圆的标准方程，点与圆的位置关系以及圆的标准方程的求法；（2）进一步巩固了曲线方程探求的一般方法和基本路径；（3）求圆的标准方程有两个基本思路：一是待定系数法；二是充分利用几何关系以简化运算．（4）数形结合的思想，类比法，坐标法等设计意图：帮助学生梳理基本知识，总结解析几何的一般研究方法，为后续的曲线与方程以及圆锥曲线的学习铺路奠基．（六）作业布置，自我提升1.基础巩固：课本第85页1，3第88页习题2.4第3题．2.素养提升：由圆的标准方程以及直线方程的学习，能否以文字的形式总结曲线方程探求的一般步骤和注意事项？请写出你的理解和心得，课后展示交流．

3.拓广探索：六．目标检测，验证效果A组：适用普通高中学生1．圆的圆心坐标和半径分别是()A．，1 B．，3C．， D．，2．已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4，则P(3,2)()A．是圆心B．在圆C外C．在圆C内D．在圆C上3．圆心在y轴上，半径为1，且过点的圆的标准方程为()

A． B．

C． D．4．求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；(2)求过两点C(－1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆的标准方程．设计意图：检测学生对基本知识和基本及基本技能的掌握情况．B组：适用重点高中学生1．已知一个圆的圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，则该圆的