测量平差重点难点

第二章全章共分5节，是本课程的重点内容之一。

重点：偶然误差的规律性，精度的含义以及衡量精度的指标。

难点：精度、准确度、精确度和不确定度等概念。

要求：弄懂精度等概念；深刻理解偶然误差的统计规律；牢固掌握衡量精度的儿个指标。

第三章全章共分7节，是本课程的重点内容之一。

重点：协方差传播律，权与定权的常用方法，以及协因数传播律。

难点：权，权阵，协因数和协因数阵等重要概念的定义，定权的常用方法公式应用的条件，

以及广义传播律（协方差传播律和协因数传播律）应用于观测值的非线性函数情况下

的精度评定问题。

要求：通过本章的学习，弄清协因数阵，权阵中的对角元素与观测值的权之间的关系；

能牢固地掌握广义传播律和定权的常用方法的全部公式，并能熟练地应用到测量

实践中去，解决各类精度评定问题。

第四章全章共分5节。

重点：测量平差的基本概念，四种基本平差方法的数学模型和最小二乘原理。

难点：函数模型的线性化，随机模型。

要求：牢固掌握木章的重点内容；深刻理解最小二乘原理中“最小”的含义；对于较

简单的平差问题，能熟练地写出其数学模型。

第五章全章共分4节，是基本测量平差方法之一。

重点：条件平差的数学模型，平差原理,基础方程及其解以及精度评定问题。

难点：各种不同类型的控制网（水准网，测角网和测边网）中，必要观测数——t的

确定，非线性条件方程线性化，以及求平差值非线性函数的中误差。

要求：通过本章的学习，能牢固掌握并能推导条件平差全部的公式；能熟练地列出各

种控制网中的条件方程并化为线性形式；并求出平差值、单位权中误差和平差

值函数的中误差。

第六章全章共分3节，是基本测量平差方法之一。

重点：附有参数的条件平差数学模型，平差原理，基础方程及其解。

难点：各种不同类型的控制网中，条件方程个数——c的确定，函数模型的建立。

要求：了解附有参数的条件平差法的平差原理；在对各种类型的控制网平差时，能准确

地确定条件方程的个数；并熟练地列出条件方程以及组成法方程。

7

全章共分9巧，是基本平差方法之一。

重点：间接平差原理、数学模型、基础方程及其解，以及精度评定等内容。

难点：测角网、测边网坐标平差和导线网、GP$网间接平差时误差方程的列立及线性化，

求参数的非线性函数的中误差。

要求：通过本章的学习，牢固掌握间接平差的平差原理并能推导全部的公式；能熟练

地列出测角网、测边网坐标平差的线性化误差方程，以及参数的非线性函数的权

函数式；并求出参数平差值、单位权中误差和参数函数中误差。

第八章全章共分3节，是基本平差方法之一。

重点：附有限制条件的间接平差原理，函数模型的建立和法方程的组成，以及求参数

函数的中误差。

难点：误差方程的列立，限制条件个数——s的确定及方程的列立，求参数函数的协因数。

要求：了解附有限制条件的间接平差原理，能熟练地列出对各种控制网平差时的误差方程

和限制条件方程，并组成法方程。

第九章全章共分5节，是对4种基本平差方法的综合和总结。

重点：附有限制条件的条件平差（概括平差函数模型）函数模型的建立，概括平差函数

模型与4种基本平差方法函数模型之间的关系。

难点：最小二乘估计量最优统计性质的证明和单位权方差估值公式的推导。

要求：弄清各种平差方法的共性和特性，以及4种基本平差方法函数模型与概括平差函数

模型之间的关系。

第十章全章共分6节。

重点：误差椭圆、相对误差椭圆三个参数的计算、作法和用途，任意方向。（或吠）的

位差的计算公式。

难点：极值方向WE和程F的确定和误差椭圆的作用。

要求：通过本章的学习，能熟练地求出任意方向0(或次)上的位差；根据已知待定点坐

标平差值协因数阵，准确地计算误差椭圆、相对误差椭圆的三个参数并画出略图,

误差椭圆在平面控制网优化设计中的作用。

第一章思考题1.1观测条件是由那些因素构成的？它与观测结果的质量有什么联系？

1.2观测误差分为哪几类？它们各自是怎样定义的？对观测结果有什么影响？试举例说明。

1.3用钢尺丈量距离，有下列几种情况使得结果产生误差，试分别判定误差的性质及符号：

(1)尺长不准确；

(2)尺不水平；

(3)估读小数不准确；

(4)尺垂曲；

(5)尺端偏离直线方向。

1.4在水准了中，有下列几种情况使水准尺读书有误差，试判断误差的性质及符号：

(1)视准轴与水准轴不平行；

(2)仪器下沉；

(3)读数不准确；

(4)水准尺下沉。

1.5何谓多余观测？测量中为什么要进行多余观测？

答案：

1.3(1)系统误差。当尺长大于标准尺长时，观测值小，符号为“+”；当尺长小于标准

尺长时，观测值大，符号为

(2)系统误差，符号为

(3)偶然误差，符号为“+”或“-”

(4)系统误差，符号为

(5)系统误差,符号为

1.4(1)系统误差，当i角为正时，符号为当i角为负时，符号为“+”

(2)系统误差，符号为“+”

(3)偶然误差,符号为"+”或

(4)系统误差，符号为

第二章思考题

2.1为了鉴定经纬仪的精度，对已知精确测定的水平角夕=450000,作12次同精度观测,

结果为：

45°00'06"45°59'55"45°59'58"4500004

4500003"45°00'04"45°00'00"45°59'58"

45°59'59"45°59'59"45°00'06'45°0003,

设。没有误差，试求观测值的中误差。

2.2已知两段距离的长度及中误差分别为300.465m±4.5cm及660.894m±4.5cm,试说明这

两段距离的真误差是否相等？他们的精度是否相等？

2.3设对某量进行了两组观测，他们的真误差分别为：

第一组：3,-3,2,4,-2,-1,0,-4,3,-2

第二组：0,-1,-7,2,1,-1,8,0,-3,1

试求两组观测值的平均误差£、R和中误差可、（72,并比较两组观测值的精度。

2.4设有观测向量L,]7,已知名=2秒，&=3秒，44=一2秒2,试写出其

协方差阵。。

22XX

'4-20'

2.5设有观测向量X=[4心4了的协方差阵〃=-29-3,试写出观测值

3133XX

0-316

L”L2,小的中误差及其协方差（7%、和与心。

答案：

2.16=3.62"

2.2它们的真误差不一定相等，相对精度不相等，后者高于前者

2.3«=2.44=2.44=2.7<7,=3.6

两组观测值的平均误差相同，而中误差不同，山于中误差对大的误差反应灵敏，故通常采用

中误差做为衡量精度的的指标，本题中@<力，故第一组观测值精度高

（4一2、

242丫丫=0Q（秒2）2・5%=2,%=3，%=4.。%=-2,%4=°,气4=-3

y7

第三章思考题

3.1下列各式中的乙（i=l,2,3）均为等精度独立观测值，其中误差为（T,试求X的中误差:

⑴x=g（L,+£3）+4；

（2）x=生

k

3.2已知观测值4，4的中误差S=。2=。，02=0，设乂=24+5,丫=4-24，

Z=L.L,,t=X+Y,试求X,Y,Z和/的中误差。

3.3设有观测向量4=[4L2其协方差阵为

-400~

DLL=030

002

分别求卜列函数的的方差:

(1)F1=L]—3k；

(2)F2—3L,2J

Tsin/

3.4设有同精度独立观测值向量f=&JLj的函数为X=S"百工，

匕=%s—&，式中%B和S.为无误差的已知值，测角误差。=1"，试求函数的方差。：、

CT；及其协方差

)2)1)2

3.5在图中△ABC中测得NA士边长6±q，c±(Tc,试求三角形面积的中误差区。

3.6在水准测量中，设每站观测高差的中误差均为1mm,今要求从已知点推算待定点的高

程中误差不大于5cm,问可以设多少站？

3.7有一角度测4个测回，得中误差为0.42〃，问再增加多少个测回其中误差为0.28〃？

3.8在相同观测条件下，应用水准测量测定了三角点A,B,C之间的高差，设三角形的边

长分别为S/=10km,S2=8km,S尸4km,令40km的高差观测值权威单位权观测，试求各段

观测高差之权及单位权中误差。

3.9以相同观测精度NA和ZB,其权分别为乙=；,Peg已知％=8",试求单位

权中误差缶和NA的中误差2。

■5-2"

3.10已知观测值向量L的权阵为士力=,试求观测值的权弓和弓、

21LL—24L,■

答案:

+片］+H

3.1⑴4=(J

3.2(Tv=2(T,CTV=V5<T,£T.=7^；=V13<T

3.3D,.=22,DF,=184+27c

,S2

3.4(T2=—^■―—(cos2L,+sin2L.cot2L,)

"Vp2sin2L.V"1”

吟=1(秒B

巴必=o

222222222

3.5<7(^^bCcos\(y\/(/?")+CsinAo;+bsinAcr(

3.6最多可设25站

3.7再增加5个测回

3.8[=4.0,6=5.0,6=10.0,CTO=V4OCT(M

3.90)=5.66,(JA=11.31

3.104=4,2=—

445

第四章思考题

4.1几何模型的必要元素与什么有关？必要元素就是必要观测数吗？为什么？

4.2必要观测值的特性是什么？在进行平差前，我们首先要确定哪些量？如何确定几何模型

中的必要元素？试举例说明。

4.3在平差的函数模型中，n,t,r,u,s,c等字母代表什么量？它们之间有什么关系？

4.4测量平差的函数模型和随机模型分别表示那些量之间的什么关系？

4.5最小二乘法与极大似然估计有什么关系？

第五章思考题参考答案

(a)n=6,t=3,r=3

(b)n=6,t=3,r=3

(c)n=14,t=5,r=9

(a)n=13,t=6,r=7

共有7个条件方程,其中有5个图形条件,2个极条件。

(b)n=14,t=8,r=6

共有6个条件方程,其中有3个图形条件,3个极条件。

(c)n=16,t=8,r=8

共有8个条件方程,其中有6个图形条件,2个极条件。

(d)n=12,t=6,r=6

共有6个条件方程,其中有4个图形条件,1个圆周条件，1个极条件。

5.3n=23,t=6,r=17

共有17个条件方程，其中有9个图形条件，1个圆周条件，1个固定角条件，1个

固定边条件，5个极条件。

5.4(1)n=22,t=9,匚13：7个图形条件，1个圆周条件，2个极条件，2个边长条件，•

个基线条件。

(2)

第六章思考题

6.1某平差问题有12个同精度观测值，必要观测数t=6,现选取2个独立的参数参与平差,

应列出多少个条件方程？

6.2有水准网如图，A为已知点，高程为=10.000〃?，同精度观测了5条水准路线，观

测值为4=7.25Im,h2=0.312m,h3=-0.091m,h4=1.654m,h5=0.400m,若设

AC间高差平差值Ac为参数戈，试按附有参数的条件平差法，

（1）列出条件方程

（2）列出法方程

（3）求出待定点C的最或是高程

6.3下图水准网中，A为已知点，Pl,P2,P3为待定点，观测了高差4~小，观测路线长

度相等，现选择P3点的高程平差值为参数，求P3点平差后高程的权。

6.4下图水准网中，A为已知点，高程为“八=10.000m,修~匕为为待定点，观测高差及

路线长度为:Y

〃产1.270m,SI=2;

1

/22=-3.380m,S2=2;//__

/i=2.114m,S3=l;

37\

〃4=L613m,S4=2;

1\A

/?5=-3.721m,S5=l;1\

\/

〃6=2.931m,S6=2;

/p.

30.782m,S7=2;\，t

若设P2点高程平差值为参数，求：（1）列出条件方程；（2）列出法方程；（3）求出观测值

的改正数及平差值；（4）平差后单位权方差及P2点高程平差值中误差。

6.5如图测角网中，A、B为已知点，C、D为待定点，观测了6个角度，观测值为:

Ll=40°23'58"，L2=37°

L3=53°49'02”,L4=57°00'05”

L5=3159'00"，L4=36°25'56”

若按附有参数的条件平差，（1）需要设哪些量为参数；（2）列出条件方程；（3）求出观测值

的改正数及平差值。

思考题参考答案

6.2n=5t=3r=2u=lc=3

6.3n=5t=3r=2u=lc=3

Vl+V4+V5+W]=0

也+也-吟+卬2=0

U]+U2-X+卬3=0

.=1，.=1

6.4(1)V]+V2+V3+4=0

P3+^4+彩+6=。

吟+1，6+口?+8=0

V1+V7-X=0

(2)

-5102O'一段一一4-

141006

K2

01520(+-8=0

2024-1储0

000-100_

K5_

(3)v=[-l-1-2-4044]7(mm)

£=[1.269-3.3812.1121.609-3.7212.9350.786丫(〃〃〃)

(4)<7：=34.7。“〃,)

。戈=0.5,。)=17.3(机机b,=4.2(机加)

6.5(1)设戈=NADB,Xo=10301O'06"

(2)vi+v6=0

也+^3+^4+V5-17''=0

,,

-0.955□]+0.220也-0.731v3+0.649v4-0.396彩+0.959v6+2=0

(3)法方程：

200.004r-0-

04-0.2580-17

+=0

0.004-0.2582.990(2

1000_X0

K=[04.23-0.3『

x=0

V=[0,34.24.444.3-0.3『(")第七章思考题

7.1如图闭合水准网中，A为已知点，高程为〃八=10.000皿，Pl,P2为高程未知点，观测

高差及路线长度为：

/?i=1.352m,Sl=2km;

〃2=-0.531m,S2=2km;

/?3=-0.826m,S3=lkm;

试用间接平差求各高差的平差值。

7.2图中A、B、C为已知点，P为为待定点，网中观测了3条边长心~小，起算数据及观

测数据均列于表中，现选待定点坐标平差值为参数，其坐标近似值为(57578.93m,

70998.26m),试列出各观测边长的误差方程式。

坐标,.

点号

X/mY//HL\

A60509.59669902.525

ri•/

B58238.93574300.086

C51946.28673416.515

边号LIL2L3

观测值Im3128.863367.206129.88

7.3下图水准网中，A、B为已知点尸1~P3为待定点，观测高差小〜自，相应的路线长度为

4km，2km,2km,2km,4km,若已知平差后每千米观测高差中误差的估值为3m/n,试求

尸2点平差后高差的中误差。第1I章，思考题

8.1附有限制条件的间接平差中的限制条件与条件平差中的条件方程有何异同？

8.2附有限制条件的间接平差法适用于什么样的情况？解决什么样的平差问题？在水准测

量平差中经常采用此平差方法吗？

8.3在图中的大地四边形中，A、B为已知点，C、D为为待定点，现选取L3,L4,L5,

L6,L8的平差值为参数，记为无，戈2,…其5,列出误差方程和条件方程。

8.4如图水准网中，A为已知点，高程为“A=10.000m,观测高差及路线长度为:

线路h/mS/km

若设参数其=［尤戈2戈31、［凡凡定权时C=2km,试列出：

（1）误差方程和限制条件

（2）法方程式

8.5试证明在附有限制条件的间接平差中：（1）改正数向量V与平差值向量£互不相关；（2）

T

联系数K,与未知数的函数0=fx+fn互不相关。

思考题参考答案

8.3n=8t=4u=5s=l

令L3,LA,L5,L6,L8的参数近似值为X：°(i=1,2…5),且父=X°+£,误差方程为:

Vj=力+X3-”5—.

7

%=我

其中常数项：

4=『（x；+x”x；）

/2=4_（180"_X；_X；_X；）

/7=^-(1800-%2

限制条件：

[cotX：-cot(X；+X；)]£1_[cot(X：+X；)+cot(X；+功区+[cotX；—cot(X；+£,)]&_

'sinX；_sin(X：+X,sinX：、

%-1-cot(X；+L)乙

、sinX^sinXfsinfX^+L,)

7

8.4(1)误差方程

匕=£

匕=&

匕=E+22+4(〃?"?)

匕=&

限制条件

X]一Xj-2=0

（2）法方程

310

130

001

01-1

7.4在剪接平差中,又与£,£与丫是否相关？试证明。

7.5有水准网如图，A、B、C、D为已知点，尸|、P2为待定点，观测高差〃|~生，路线长

度为$=$2=$5=6h"，53=8km,S4=4km,若要求平差后网中最若点高程中误差W5机机，

试估计该网每千米观测高差中误差为多少？

思考题参考答案

7.1Aj=1.356m,=—0.822加,h3=—0.534m

7.2

--0.93670.3502'F5.22'

V(cin\=-0.1960-0.9806-5.56

7

3,1'一"_6.47_

0.9189-0.3945

7.36；=14,<T（）=3.74

7.5每千米观测高差中误差小于3.3mm

第八章思考题

8.1附有限制条件的间接平差中的限制条件与条件平差中的条件方程有何异同？

8.2附有限制条件的间接平差法适用于什么样的情况？解决什么样的平差问题？在水准测

量平差中经常采用此平差方法吗？

8.3在图中的大地四边形中，A、B为已知点，C、D为为待定点，现选取L3,LA,L5,

L6,L8的平差值为参数，记为父”父2,…35,列出误差方程和条件方程。

8.4如图水准网中，A为已知点，高程为〃八=10.000加，观测高差及路线长度为:

线路h/mS/km

12.5631

2-1.3261

3-3.8852

4-3.8832

若设参数戈=［吊戈2戈31=［凡力Aj，定权时C=2km,试列出:

（1）误差方程和限制条件

（2）法方程式

8.5试证明在附有限制条件的间接平差中：（1）改正数向量V与平差值向量£互不相关；（2）

T

联系数K,与未知数的函数0=fx+fa互不相关。

思考题参考答案

8.3n=8t=4u=5s=l

令L3,L4,L5,L6,L8的参数近似值为X：)(i=1,2…5),且戈误差方程为:

V；=x2+x3-x5-Z,

匕=-g-92-尤3-，2

匕=£

匕=&

匕=为

匕=月

Vj=—%2—%3一—‘7

%=工

其中常数项：

4=4-(x；+x；-x；)

/^^-(iso0-%,0-%"-X3)

Z7=£7-(1800-%2-^-^4)

限制条件：

[cotX：-cot(X；+X-[cot(X：+Xj+cot(X；+乙)慢+[cotX；-C0t(%5+/^)^3-

[cotX^-cotfxf+^jj^+^otfxf+^)-001X；]&-W,=0

'sinX；-sin(X；+X；)sinX；、

-1-cot(X；+G)L

%sinX：sinX；sin(X；+4)

7

8.4(1)误差方程

匕=为

匕=&

V3=x]+x24-4(mm)

匕=当

限制条件

(2)法方程

第十章思考题

10.1在某测边网中，设待定点修的坐标为未知参数，即其=[X]yj,平差后得到反

的协因数阵为。款=,1,且单位权方差用=3.0加2,

(1)计算P点纵、横坐标中误差和点位中误差；

(2)计算外点误差椭圆三要素经、E、F；

(3)计算P点在方位角为90°方向上的位差。

10.2如何在尸点的误差椭圆图上，图解出P点在任意方向〃上的位差%?

10.3某平面控制网经平差后求得修、P2两待定点间坐标差的协因数阵为:

Q0心3-22

cm2/

-23

单位权中误差为6。=1'，试求两点间相对误差椭圆的三个参数。

10.4已知某三角网中P点坐标的协因数阵为:

2.10