大学文科数学-线性代数-矩阵

第4章线性代数初步第6讲大学文科数学（）主讲教师|矩阵(2)2本节内容01可逆矩阵02逆矩阵地求解方法04矩阵地简单应用03逆矩阵地性质301可逆矩阵📝定义4.19对于矩阵是否也存在类似地运算？设是一个不为零地数,有,为地倒数。对于阶方阵,如果有一个阶方阵,使,则称矩阵为可逆矩阵,矩阵为地逆矩阵。401可逆矩阵如果方阵可逆,则地逆矩阵是唯一地。方阵地逆矩阵记作,即501可逆矩阵📚例1解已知根据定义验证因为且故601可逆矩阵📝定义4.20伴随矩阵设阶方阵,即由地各个元素地代数余子式排列成地阶方阵701可逆矩阵设801可逆矩阵901可逆矩阵📖定理4.9必要性:可逆充分性:且

阶方阵可逆地充要条件是,且10本节内容01可逆矩阵02逆矩阵地求解方法04矩阵地简单应用03逆矩阵地性质1102逆矩阵地求解方法📚例2解求解逆矩阵,可以通过计算行列式与伴随矩阵来得到已知,求地逆矩阵。在矩阵地右边添上一个同阶单位矩阵,然后进行初等行变换。当把左边地矩阵变成单位矩阵时,右边地单位矩阵就变成1202逆矩阵地求解方法📚例3解求矩阵地逆矩阵。1302逆矩阵地求解方法14本节内容01可逆矩阵02逆矩阵地求解方法04矩阵地简单应用03逆矩阵地性质1503逆矩阵地性质📝性质4.9设在阶方阵。(1)若可逆,则也可逆,且(2)若可逆,则也可逆,且1603逆矩阵地性质可逆(3)若可逆,则也可逆,且可逆(4)若与均为同阶可逆方阵,则也可逆,且

1703逆矩阵地性质📝性质4.10若,则有可逆18本节内容01可逆矩阵02逆矩阵地求解方法04矩阵地简单应用03逆矩阵地性质1904矩阵地简单应用应用1:解矩阵方程设是一方阵,是矩阵。若矩阵乘法有意义,则称为矩阵方程。若可逆,则2004矩阵地简单应用📚例4解求解矩阵方程。可逆,故2104矩阵地简单应用📚例5解解矩阵方程2204矩阵地简单应用📚例6（信息编码）一个简单地传递信息地方法是,将每一个字母与一个整数相对应,然后传输一串整数.假设26个英文字母与空格与整数地对照情况如表4.1所示.表4-1字母及空格ABCDEFGHIJKLMN整数1234567891011121314字母及空格OPQRSTUVWXYZ空格

整数151617181920212223242526

-1

2304矩阵地简单应用我们可以用矩阵乘法对信息进行加密.设矩阵地所有元素均为整数,且其行列式则这样地元素也均为整数.我们可以用这个矩阵对信息进行变换,变换后地信息将很难被破译.为说明这个加密技术,令信息"SENDMONEY"可以编码为19,5,14,4,-1,13,15,14,5,25.但是,这种编码很容易被破译.2404矩阵地简单应用乘积将需要编码地信息19,5,14,4,-1,13,15,14,5,25放置在3行矩阵地各列上(最后一列为凑够3个数,补两个0),得2504矩阵地简单应用给出了用于传输地编码信息:62,100,119,19,35,39,63,97,112,50,75,100.接收到信息地（其与发信息地已事先约定,因此知道加密矩阵）,首先将收到地信息也放置在3行矩阵地各列上,得到矩阵2604矩阵地简单应用然后通过解矩阵方程进行译码,得最后对照表4.1就能明白所发信息地意思是"SENDMONEY".2704矩阵地简单应用应用2:实际问题建模（婚姻状况模型）📚例7某城市每年有25%地已婚女性离婚,15%地单身女性结婚,城市有80万已婚女性与20万单身女性。假设所有女性地总数为一常数,1年后,有多少已婚女性与单身女性？2年后呢？2804矩阵地简单应用解可构造一个2阶方阵,矩阵地第一行元素分别为1年后仍处于婚姻状态地已婚女性与离婚地单身女性地百分比,第二行元素分别为1年后离婚地已婚女性与未婚地单身女性地百分比,即用表示城市女性口向量,则1年后城市女性口向量为2904矩阵地简单应用年后有城