冯恩信 电磁场与电磁波 课后习题答案

习题

1.1已知•=2£+39—2；月=£+£—22,求:(a)4和B的大小(模)；(b)A和5的单位

矢量；(c)AB-,(d)MxQ；(e)A和8之间的夹角；(f)A在3上的投影。

解：(a)4和8的大小

A=同=QA；+A；++32+『=V14=3.74

3=年8+B；+B；=712+12+22=瓜=2.45

(b)A和8的单位矢量

2]

«=-=痂(2x+3y-z)=0.535i+0.802$-0.267z

-B1

b=j=桌(x+y-2z)=0.408x+0.408g-0.81位

(C)AB

屋"A也+AV纥+A也=2+3+2=7

(d)AxB

八人A人

xyzyz

AxB-4AA3-1=-5£+3y-z

B、B、B.1-2

(e)4和B之间的夹角a

根据Z-»=ABcosa得

AB7

cosa=0.764a=40.19°

~AB9.163

⑴A在8上的投影

AB7

Ab2.86

B245

1.2如果矢量A、8和C在同一平面，证明A・(5xC)=0。

证明：设矢量A、8和C所在平面为孙平面

B=Bxx+Byy

C^Cxx+Cyy

xyz

BxC=BxByBz=(ByCz-BzCy)x+(BzCx-BXCZ)y+(BxCy-ByCx)z

CxCyC

=①C「B,C工

A(BxQ=0x(BxCy-ByCx)z-z=O

1.3已知A=£cosa+gsina、B=xcos^-ysin(3C=xcos/3+ysin(3,证明这三个

矢量都是单位矢量，且三个矢量是共面的。

证明：

1)三个矢量都是单位矢量

A=同=JA：+A；+A；=Vcos2«+sin2a=1

B=网=JB；+B；+B：=7cos2^+sin2^=1

c=|c|=Jc：+C；+C；=7cos2^+sin2^=1

2)三个矢量是共面的

土yZ

B_=2cos/?sin伉

BxC^BxxByv

ccc

A(BxC)=0x2cos用sin废-2=0

1.4当AIZ时.求a。

解：当N1Z时，=0

A,B=tz+2+3=0

所以

a=-5

1.5证明三个矢量4=5£-5$、B=3x-7y-z^C=一2£-2£-2形成一个三角形的三

条边，并利用矢积求此三角形的面积。

证明：因为A-B=2x+2y+z

A+(-B)+C=0

所以三个矢量A、B和C形成一个三角形

此三角形的面积为

Xyzxyz

5=小、同=0=V52+52+202/2=10.6

A,A5-5

B、B;3-7-1

1.6P点和Q点的位置矢量分别为5£+12亍+2和2£-3亍+二求从P点到Q点的距离矢

量及其长度。

解：从P点到Q点的距离矢量为

R=rQ-rp=(2x-3y+z)-(5x+12y+z)=-3x-15y

从P点到Q点的距离为

/?=|^|=732+152=15.3

1.7求与两矢量A^4x-3y+z和B=2x+y-z都正交的单位矢量。

解：设矢量C与两矢量A=4£—3夕+2和5=2£+夕—2都正交，则

A-C=4C-3C+C.=0(1)

**)Z

BC=2Cx+C-yC.t.=0(2)

⑴+(2)得6Cv-2Cv=0tC,=3C(3)

(1)+3义(2)得10Cv-2Q=0fCz=5CV(4)

如果矢量6是单位矢量，则

C=Ic|=TcJTcfTcF=7C>9C1+25C^=1

所以c*=j=0.169

71+9+25

J=3C”().5()7

C.=5Q=0.845

C=0.169r+0.5079+0.845z

1.8将直角坐标系中的矢量场分别用圆柱和圆球坐标系中的

坐标分量表示。

解：在圆柱坐标系中

cos。si”0cos。si”01cos。

=-sin^9cos。0“=-sin^9cos。00=—sin。

0010010__0

Fx(夕,夕,z)=cos痂-sin(p(p

cos。si”0-4-cosesi”0usin。

F*二一si”cose0—-sinecose01=cos。

一心一

001_FZ2001_00

F21p,°,z)=sin痂+cos时

在圆球坐标系中

F“sin。cos°sinOsinocos。

殳=cosOcos。cosOsine一sin。

正叫-sin^cos。0

sinOcosesinOsin夕cos。丁sin。cose

=cos0cos(pcosOsin。一sin。0=cosOcosp

-sincos°00-sin

Fx(r,a(P)=sin0cos(pp+cos^cos^-sinqxp

工2sinOcos。sinOsin夕cos。

F©2=cosOcos/cosOsin夕一sin。%

F*-sin°cos夕0\_Fz2_

sinOcos。sinOsin0cos。-0-sin8sine

=cosOcosocos^sin^?—sin。1—cosOsin/

一sinocos。0J0cos°

.人

F2(r,0.cp)=sinsin+cos^sin(p6+cos(p^)

1.9将圆柱坐标系中的矢量场二三用直角坐标系中的坐标分

量表示。

.；

A•(1)

一

得

凡cos°—sin夕022cos夕

%=sin夕cose00二2sine

00100

6(x,y,z)=2cosm+2sin新

又因为(2)

一2

F[(x,y,z)=2Q=-(xr+yy)

F2(x,y,z)=-3sin砒+3cos行

利用(2)式可得

_3

F、(x,y,z)=3(p=,,(戏-yx)

k+y

1.10将圆球坐标系中的矢量场;运用直角坐标系中的坐标分

量表示。

解：根据

sin3cos(pcos。cos。-sin°55sin6cose

%=sinOsin°cosOsin/cos。0=5sinOsin夕

cos。一sin6005cos。

Ff(x,y,z)=x5sin0cos(p+y5sin9sin夕+z5cos。

x-rsin0cos(p

又因为<y=rsin^sin^?(2)

z=rcosO

一5

得耳(%,y.z)=-=====(xx+yy+zz)

yjx+y+z

Raa>)=。=0x/

人i/人八八、

「二/,,,(xx+yy+zz)

Jx+y+z-

0=/,；(方一词

E(厂,ao)=。=。x/

，/人人、4/八八人、

=厂,广(xy-yx)x,,(xx+yy+zz)

Jx+y^x2+y2+z-

=-/JT\7l-z(x2+/)+xzr+yzy]

7x2+y2^x2+y2+z2

1.11计算在圆柱坐标系中两点P(5,n/6,5)和Q(2,万/3,4)之间的距离。

解：两点P(5,乃/6,5)和。(2,乃/3,4)之间的距离为

4=J(X|—%)2+(>|一内产+91-Zz)?

222

=A/(5XCOS(ZT/6)-2XCOS(^/3))+(5xsin(^/6)-2xsin(^/3))+(5-4)

=J(3.33)2+(0.768,+⑴2=712.69=3.56

1.12空间中同一点上有两个矢量，取圆柱坐标系，4=30+50—42,8=2。+40+32,

求:(a)4+8；(b)AxB；(c)A和B的单位矢量；(d)A和3之间的夹角；(e)A和3的大

小；⑴A在5上的投影。

解：

(a)H+月=(3+2)万+(5+4)0+(-4+3)2=5。+9。-2

(c)=1-(3。+5。一4z)=—(2p+4^+3z)

A、*二.y“7.07"”

人B1短即+力+3力

b=—===(2p+4^+3z)

B抄+42+32

(d)A和3之间的夹角

-1

0=cos(「B)-cos-I(———)=68.4。

AB38.077

(e)A和3的大小

A==7.071

B=4B"B；+B：=5.385

(DA在5上的投影

-人1

A・/?=(3Q+50—42)・y^(2Q+40+32)=2.6

1.13矢量场中，取圆柱坐标系，已知在点r(1,乃/2,2)矢量为4=2。+30,在点Q(2,%,3)

矢量为5=—3Q+1O2；求:(a)A+5；(b)A(c)A和3之间的夹角。

解：转换A到直角坐标系

.I—sin^>(5IT/L

.A

Asun^oocs<

OO

A--3x+2y

-100-3

B0-1003x+1Oz

0010

(a)A+B-29+102

(b)A-B=9

(c)A和8之间的夹角

6=cos-1(^-^)=cos-1(^-)=125.7°

AB15.44

1.14计算在圆球坐标系中两点P(10,乃/4,万/3)和Q(2,乃/2,外之间的距离及从P点到Q

点的距离矢量。

解：根据圆球坐标与直角坐标的关系

x=rsin0cos(p

{y=rsinOsin。

z-rcosO

X[=rsin6cos°=1Ox0.707x0.5=3.535

<y]=rsinsin=10x0.707x0.866=6.122

Z]=rcosd=10x0.707=7.07

x2=rsin^cos^=2x1x(-1)=-2

<y2-rsin^sin^?=2xlx=0

z2=rcosd=2x0=0

d=-々尸+(弘一丁2尸+(Z]-22)2

=7(3.535+2)23*68+(6.122)2+(7.07)2=10.87

1.15空间中的同一点上有两个矢量，取圆球坐标系，A=3r+0+5(p,8=2/一。+40,

求:(a)A+8；(b)A“；(c)A和3的单位矢量；(d)4和B之间的夹角；(e)A和8的

大小；⑴A在8上的投影。

解：(a)4+3=5/+90

(b)A•B=25

(c)A和5的单位矢量

AZ*I人

3=^(3/+6+50)；Z?=^(2f—6+4。)

V35V21

(d)A和8之间的夹角

6=cos-1(无当=cos'1(金-)=22.75°

AB27.11

(e)A和B的大小

A=+由+A；=5.92

8=加+比+用=4.58

(f)A在5上的投影

=(3/+3+50A4(25一。+4。)=5.455

1.16求/'(X,y,Z)二/产％的梯度。

解：V/=x—+y—+z^~=3x2y2zx+2x3yzy+x3y2z

dx.dydi

1.17求标量场三在点（I11）沿方向的变化率。

解:公琮+痔+冬

yi+6+4z2

l,、二(xx-2y+z)

次+V+1

2=xy—2x+4z

J/+y2+]

所以

詈|(1”)=/

1.18由利用圆柱坐标和直角坐标的关系，推导

解：在直角坐标系中

(1)

X=pcos夕

y=psin(p(2)

z二z

P

(p=arctg—(3)

x

(4)

(5)

由（2）、（3）式可得

dp

——=COS（P(6)

dx

__2_

d(px2y1.5、

-=——--=——广一7=——sine(7)

&1+(')2尸+y-P

X

ep

=sin(p(8)

Sy

1

d(pxx1”、

—=-------=—-----=—cos*(9)

②i+(2)2%+yP

X

由(1)一(5)式得

V0=x——+y——+z——

今4d

人人八八8D人独

=(Qcose-0sin(p)——+(Qsin0+0cos0)——+2——

dx,dydi

而

加50dpM)d(pSO1S中.

——=-------1-------=---COS69-------sin。

&dpdxd(pdxdppd(p

。①dpd(pd①.13①

——=-----二+------=——SH10+-----COS69

"dpdyd(p8ydppd(p

再由(6)-(9)式可得

VO=(Qcos°_0sino)(—cos(p------sincp)

dppd(p

)

/人.A、/凶.八

十(Qsin0+0cos0)(——sin夕+_L硬cos。)+z——

明pe(pdi

。以高"+足以sin?。—0名cosesi”-非以cos*”

dppd(pdppd(p

+Q丝sin”对生。s2/+0旦。s*n°+对生。s源”+把

dppd(pdppd(pdz.

--------------^~Z-

1.19求/（p，8，z）=pcos。的梯度。

解:W旦+01且+2巨=pcos(p-(p^n(p

dppd(pdi

1.20由二，利用圆球坐标和直角坐标的关系，推导

立

---------------——------------------------------------------------O

解：

x=rsinOcosg

<y=rsinOsin夕

z=rcosO

x=rsin6cos0+ecosOcos。-0sin(p

y=rsin9sino+3cos6sin0+0cos。

z=/cosg-Asine

冽)。①drS①dOSOd(p

—=-----1-------1------

Sx,drdxdOdxd(pdx

加。①dr50dO6①d(p

adrdydOdyd(pdy

竺

逸。①drS①dO3①

—=-----1-------1---

didrdzdOdzd(paz

dr

=sincos(p

dx

dr

=sin夕sine

%=S

&1e

co1a

丝-

=r

a

x丽1oos

¥-

-rc

"

1・八

法——sin6

r

丽sincp

axrsin0

丽

¥cos。

rsin^

妞=0

dz

XE>=；v---1^*--Ls—

=(以包+名丝+以丝)(沁in%os°+%os%os°-0sin°)

drdxd0dxd(pdx

+(黎导瑞*瑞凯沁inesino+%"n"cos°)

凶）a”+项ae+加＞3夕

+(■)(/cosg-isin。)

drdz80dzd(pdz

50八人人

=(——sincose)(/sin6cos°+ecosecos夕一0sin0)

dr

13①人人人

+(------cosBcoscp)(/sin，cose+8cos9cos0-0sine)

rd0

-(---^-sin(p)(沁in8cos0+3cosecos0-0sino)

rsin^dtp

50八八八

+(——sinOsin°)(rsin^sincp+^cos^sin(p+(pcos(p)

dr

+(--^cos6sin°)(rsin3sin(p-\-^cos^sin^>+(pcos(p)

rd0

150人八

+(------------cos。)(rsin夕sin夕+，cos6sin0+0cos夕)

rsin0d(p

8中八

+(——cos0)(尸cos。一6sin夕)

dr

13①人

+(--------sin。)(/cos6—Osin夕)

rdO

-------------------------------

1.21求/'(r,。,。)=sinOcos夕的梯度。

解：

\7f=r—+0―-—+(p---------—

drr36rsin6&

=/2rsin8cos°+为cosecos0—伊sin。

1.22求梯度％?其中左为常数。

解：

T=Q

Vr=r—=r

dr

Nekr=r^—=rkekr

dr

在圆球坐标系中，矢量场附为反力=与尸，其中左为常数，证明矢量场协对

1.23

任意闭合曲线/的环量积分为零，即

,户，=0。

/

证明：根据斯托克思定理：

dl=JJVxF^S

/s

rr0rsin60

da

VxF(r\-\v7xx厂r—=0

rrsm0ap

00

所以

p.j/=||VxF</S=O

is

1.23证明(1)(2)

证明：

(1)V2登色虫+夕且虫+22虫

+&+®+dzT

Tdx+2a•甲》•<p2dy<PdzT2dz

=工"①+0①+小例-£｛戈曳+》名+史｝

dxdydz5~firdydz

击(5▽①一①▽%)

(2)VF(①)=£2/+夕色尸+2£尸

dxdydz

aaa

=xF—O+F^—O+zF—O=尸(①)▽①

dxdydz

HA-JS-

1.24由SA=lim^-------推导*-F=^o

AYT0AVa

解：

<d€^

必rbpdAd(p洱,dpQ(p就

—：-----1：-x------1:------1:------1-

dpdxd(pdxdpdyd(pdy3L

由

29(bpdd。d

二+/~一+(JW)

~wVi0\

名蜘dd兹

-H-7----1-FV=

'WwIV0

TOdd)QddQdQ

-v^+lv(b,soo—+£y——力uisOsoo——i-v——仍so。力uis+cv——d),uis+

-WzIQIQQ1'

dd)Qddd)gd

SOUS

的呼〃00亍一^—d).soOyH-V^°^JY+小工呼^----+

/dtd)QddqtdQ

‘V^-U【S—+'v——0SO30UIS-----彷UIS0SOOV---------d),S03V——=

1'\Q'I^QzQ

gd>d小Qd.dg

-r^-4-(C^SOOy+duiscy)—dsooy+^sooy+<^uisy)—<^uis+

d)Qddq

(d)uisy-Osooy)—d)uiSy-(d)uisy-Osoo'y)—dsoo=

7ffgd)Q&Qd°XQd)QXQd°

而小而7+语坛+而砺+/至一

d0

Oso。一=

U)UIS=—

dXQ

6^UIS--一

d)Q

Y。

力soo=

雨

Osoo婚+。呼”w=Ay

diisV°°V=V爵

VTiooV

七Io<2>5CE><2klK=》

&|Oi^CI1S—<2>5ODV

(2)

——=sinSeos(p

dx

a-/=sinOsin/

5y

ar=cos8

f/e

菽=-cosOcos(p

r

衫

1八・

^=—cosc/sm^?

1.〃

=——sm8

dzr

d(p_sincp

dxrsin0

d(p_cos(p

dy厂sin。

丝=0

dz

|_-fir^O

eS

3^xdrdAxQ6dAxd(p必)，dr5AyQ0dAyQ(p

drdx50dxd(pdxdrdyd0dyd(pdy

阴一drdA.d0dA.d(p

+--—+—-—+---——

drdzdOdzd(pdz

=sin^cos(p—(sin^cos(pA+cos9cos(pA一sin出)

drr0

+cos^cos(p------(sin^cos(pAr+coscos(pAe-sin@4°)

sin。d

(sinOcosM+cos6cos处0-sin(pA^)

rsin®加

d

+sinsin一(sinOsin出,.+cosOsin(pA+cos出)

dre

+cossin——(sin0sin(pA+cos6sin(pA+cos(pA)

r60r0

COS。U/•C.A八・AA、

+-----z------(sin^sin(pA+cos^sin(pA+cos出)

rsin0&pr0

a

+cos0—(cos0A-sin3A)

drr0

sin63,八4.»、

-------------(cos3A—sin6A)

r30r0

222

-sin^cos(p-^-Ar+sincos^cos(p—A0-sin68s°sin(p-^-A

drdrdr

.2・2日.2.0

+sinOsin(p-Ar4-sin^cos^sin(p—A0+sin^sin^?coscp—

2

4-cos0-Ar-cosOsin。二A。

drdr

+—(sinSeos6cos2(p-A+cos2Seos2cp—A-cos8cos^9sincp-A)

r30r36o30

+—(sinSeosOsin?cp—A+cos2^sin2(p—A4-cosBsin9cos(p—A)

r30r36036

--(sin6cos0—A-sin20-A)

r30r33o

+—(cos2/9cos2(pA-sin/9cos^cos2(pA)

rr0

+—(cos2Osin23A-sincos0sin2(pA)

rr0

1.

+—(sin*-90A+sincos0A)

rrO

aae

12

H---------(-sin^sin^cos^——Ar-cos0sin(pcos(p——Ao+sin(p—A)

rsin^d(p&pap

1/•n。An•CZ.2A\

+--------(sin夕sin/cos。——A+cos，sin°cos9——A+coscp——A)

usingd(pr的o的

+——-——(sinBsin?(pA+cos0sin2(pA+sin^?cos(pA)

rsin。r0

22

+Ja(sin6cos(pAr+cosgeos(pA0—sin夕cosepA^)

d2sin。。cos。1啊

=—(A)+-A+-------------(4)+--------4+--------------

drrrrrsin^30rsin^rsin^d(p

1d1d1必。

=/万（厂94）+嬴工为（而啊）+嬴工不

1.26计算下列矢量场的散度

b)户=万+p(p

b)V-F=-—(pF)+-^+^-=-

p3p'p3(pdz.p

、V7己1。/•CI7、1,4,cos26

c)V-F=——(r-F)d--------(sin此)H-----------=——sindH------

r~drrsin^60rsin。d(prsin0

1.27计算散度(9),▽•¥,▽•(豆后)，其中G为常矢量。

解：

▽.(而)=2

Pdp

ccI口。小日中日①小日.2小1日，孤、1I?①

1.28由V-中二一-+―丁推导▽-<!）=----（夕——）+——-

今242pdp^dpp1前

解：

60dpM>d(p60SO.150

——=-£-——+—^——=cos0----sine?-----

dxdxdpdxd(pdppd(p

以=%以+生虫=sine以+cos^l^

dydydpdyd(pdppd(p

a?①a.i5a®.iao

菽=(8S*而-sm*方.)w(c。即法-sm。4而)x

2d2①a,i颉、.id,。①、

=cos"(p——sin0cos0——(----)-sm(p-----(cos。——)

dp2dppd(ppd(pdp

.ia.e①、

+sin^——(zsin^?—)

po(pd(p

a2(p=(sin/+cosj与(sin夕辿+cosj吗

②2dppd(pdppd(p

,a2o.a」e①、ia'.项、

=sirr2夕——-+sin^cos^—(----)+cos°-----(sin°——)

dpdppd(ppd(pdp

1de①、

+cos(p---(zcos夕—)

pd(pd(p

m小2e之①.a/s①、.idao>、

①=cos**cp——--sin^?cos^?——(----)-sin^9-----(zcos。---)

dpdppd(ppd(pdp

.1a.50)、

+sin^——(zsin^?—)

pd(po(p

.oa2O.dA13/.

+sin-(p——-+sin(pcoscp——(----)+cos*-----(sin。---)

8p~dppd(ppd(pdp

1d3中、

+COS夕一7——(zCOS*——)

pd(pd(p

a2o>.1SO.162O.16①

=——-+sin2-(p------sin^cos^-------+sin^cos^>-----

dp'pdppd(pdpp-d(p

2150).1①.1921於①

+cos(p------Fcos^sin(p--------cosQsin(p----Fcos-(p--——-

pdppd(pdpp-d(pp'd(p'

①131①1。，泊)、1J?①

=^-^+——+-7T=-h(Q=)+2…q2

dp~pdpp-d(p~popoppap

1.29已知

a)f(r)=x2z

b)f(r)=p

c)/(r)=r

求力九

解：

a)小富+篆答〜

b)-Ug旦)+上包+宫」

pdpdpp~d(pSL1p

2

、也_1巴20\13「/、1^f_2

c)Vf=——(r—)H---------(sin6—)H-----------=-

r~drdrr~sin^dOdOr~sin_03(p~r

1.30求矢量场穿过由确定的区域的封闭面的通

量。

解：

解法1：

rp—»—•rp—»—•,r-*—,rp—»—•rp-*一

目FdS=Jj>dS+[j>dS+Jj>"S+JjFdS

sS\S2S3s4

5为半径为1的圆弧侧面；S2为侧平面；§3下端面；S,上端面。

1n

Jjk•=JJ{pp+0+z2)•zpdcpdz=jjppdcpdz=71

51哥00

i1

jjF-=Jj(pp+0+z2)•(-9)渥z=_jJ(dzdx

y=0

s2s2-10

01

=jt/x-jt/x=0

-10

jp.曲=JJ(而+0+ZZ)

z=().(-z)^=0

S3S3

jp.而=jj(侬+0+ZZ)•(z)pdpdcp=7112

S4S4Z1

，，

1F—•-d—S•=jPi*—j•d—♦+Pj/*—jd—•+PJi*Jm—♦+/*—•"S—•=3%/2

SS]S?S3S4

解法2：

丹户=Jjjv•FdV=JJJ3dV=3V=3万/2

VV

先(<

yz

旦d

£

一

1.31由(\/乂4)・贷=山工1------推导VxA=金a

分

As—>04AA

yz

解：

1)设立=\,/为边长为Ay和Az的，中心在(x,y,z)的矩形回路

r_-SAdA

\Adl--4Az-(A、,+--Az)Ay+(A+―-Ay)Az+A、,Ay

I&zdy

=----AzAyH--LA.yAz

&dy

Zdzdy

2)设。=9,/为边长为Ax和Az的，中心在(x,y,z)的矩形回路

--dA8A

A-dl=-A/ix-(A+—Ar)Az+(A+--Az)Av+AAz

xdxxdz

■也必上+也加

dxdz

1----==---二+—2

Avdxdz

3)设吩=2,/为边长为Ar和Ay的，中心在(x,y,z)的矩形回路

--dAS4V

A-dl=一A、、Ay-(Av+--Ay)Ac+(Ay+-Ar)Ay+Ax/Sx

dydx

-也A)&+冬g

dydx

\A-di

/盟+外

Avdydx

因此

▽xu£(一里•+当+兴-四+吗+2(.生+9)

dzdydxdzdydx

<-

元z

g

旦

金a

44

1.32计算矢量场的旋度

解:

AA

xyzXyz

adadea

VxF

3cdydia@di

工F、.工孙2yz-1

=x(-2y)+9(0+0)+z(-x+0)

c人人

=-2yx-xz

1.33计算Vx万,X7x元▽x(zQ),Vx0

解:

八八A

PP(PZ

万」

▽x亘亘旦=0

Pdpd(