2020高考数学一轮复习11集合讲义理

第一节会合1．会合的有关观点会合元素的三个特征：确立性、无序性、互异性?.元素与会合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?.会合的三种表示方法：列举法、描绘法、图示法．五个特定的会合：会合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR2．会合间的基本关系表示文字语言符号语言记法关系子集会合的元素都是会合的元素∈?∈?或?AABxxB基本A会合A是会合B的子集，且会合A?B，且?x0∈B，真子B或BA关系B中起码有一个元素不属于Ax0?AA集相等会合A，B的元素完整同样A?B，B?AA＝B不含任何元素的会合．空集是任?x，x??，??A，?空集何会合A的子集，是任何非空集?B(B≠?)?合B的真子集3．会合的基本运算会合的并集会合的交集会合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则会合A的补集为?UA?图形表示意义{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}元素互异性，即会合中不行能出现同样的元素．此性质常用于题目中对参数的弃取．任何会合是其自己的子集．(1)注意?，{0}和{?}的差别：?是会合，不含任何元素；{0}含有一个元素0；{?}含有一个元素?，且?∈{?}和??{?}都正确．(2)在波及会合之间的关系时，若未指明会合非空，则要考虑空集的可能性，如若A?B，则要考虑A＝?和A≠?两种可能.求会合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，会合A实际上是给定的条件．从全集U中拿出会合A的所有元素，剩下的元素组成的会合即为?UA.(2)补集?UA是针对给定的会合A和U(A?U)相对而言的一个观点，一个确立的会合A，对于不一样的会合U，它的补集不一样.[熟记常用结论]1．A?B，B?C?A?C；AB，BC?AC.2．含有n个元素的会合＝{a1，2，，an}有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2Aa个非空真子集．3．A∪?＝A，A∪A＝A，A∪B＝B∪A，A?(A∪B)，B?(A∪B)．4．A∩?＝?，A∩A＝A，A∩B＝B∩A，A∩B?A，A∩B?B.5．A∩B＝A∪B?A＝B.6．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B?(?UA)?(?UB)?A∩(?UB)＝?.7．(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)，(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)．8．A∪?UA＝U，A∩?UA＝?，?U(?UA)＝A，?AA＝?，?A?＝A.[小题检验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1){x|x≤1}＝{t|t≤1}．()(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( )(3)任何一个会合都起码有两个子集．( )(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×二、选填题1．设会合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则会合A∩Z中元素的个数是( )A．3B．4C．5D．6分析：选CA中包含的整数元素有－2，－1,0,1,2，共5个，因此A∩Z中的元素个数为5.2．已知会合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则以下结论正确的选项是( )A．－3∈A

B．3?BC．A∩B＝B

D．A∪B＝B分析：选

C

由题意知

A＝{y|

y≥－1}，B＝{x|x≥2}，故

A∩B＝{x|

x≥2}＝B.3．设全集

U＝{1,2,3,4}

，会合

S＝{1,3}

，T＝{4}

，则(?US)∪T＝(

)A．{2,4}

B．{4}C．?

D．{1,3,4}分析：选A由补集的定义，得?US＝{2,4}，进而(?US)∪T＝{2,4}，应选A.4．会合{－1,0,1}共有________个子集．分析：由于会合有3个元素，因此会合共有23＝8个子集．答案：825．已知会合A＝{m＋2,2m＋m}，若3∈A，则m的值为________．232分析：由题意得m＋2＝3或2m＋m＝3，则m＝1或m＝－.当m＝1时，m＋2＝3且2m2312＋m＝3，依据会合元素的互异性可知不知足题意；当m＝－2时，m＋2＝2，而2m＋m＝3，3故m＝－.2答案：－

32[基础自学过关]考点一会合的含义及表示[题组练透]1．(2018·全国卷Ⅱ)已知会合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )A．9B．8C．5D．4分析：选A法一：将知足x2＋y2≤3的整数x，y所有列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．应选A.法二：依据会合A的元素特色及圆的方程在座标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为会合A的元素个数，应选A.2．若会合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( )99A.2B.8C．0D．0或9829分析：选D当a＝0时，明显建立；当a≠0时，＝(－3)－8a＝0，即a＝8.．设，∈，会合{1，＋b，a}＝0，b，b，则－＝()3abRaabaA．1B．－1C．2D．－2分析：选由于，＋，＝b＋＝bC{1aba}aa0ab0a1a＝－1，b＝1，因此b－a＝2.4．已知会合A＝{x∈N|1＜x＜log2k}，若会合A中起码有3个元素，则k的取值范围为(

)A．(8，＋∞)

B．[8，＋∞)C．(16，＋∞)

D．[16，＋∞)分析：选

C

由于会合

A中起码有

3个元素，因此

log2k>4，因此

k>24＝16，应选

C.[名师微点

]与会合中的元素有关问题的求解策略用描绘法表示会合，第一要搞清楚会合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，理解会合的种类，是数集、点集仍是其余种类会合．会合元素的三个特征中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的会合，在求出字母的值后，要注意检验会合中的元素能否知足互异性．[师生共研过关]考点二会合的基本关系[

典例精析

](1)设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则(

)A．P?

Q

B．Q?

PC．?RP?

Q

D．Q??RP已知会合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，则实数m的取值范围为________．[分析](1)由于P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}，因此?RP＝{y|y>1}，因此?RP?Q，应选C.∵B?A，∴①若B＝?，则2m－1＜m＋1，此时m＜2.2－1≥＋1，mm②若≠，则m＋1≥－2，解得≤≤B?2m3.2m－1≤5，由①②可得，切合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]．[答案](1)C(2)(－∞，3][变式发散]1．(变条件)在本例(2)中，若“B?A”变成“BA”，其余条件不变，怎样求解？解：∵BA，∴①若B＝?，建立，此时m＜2.2m－1≥m＋1，

2m－1≥m＋1，②若

B≠?，则

m＋1≥－

2，

或m＋1>－2，2m－1＜5

2m－1≤5，解得2≤m≤3.由①②可得m的取值范围为(－∞，2．(变条件)在本例(2)中，若“B?

3]．A”变成“

A?

B”，其余条件不变，怎样求解？解：若

A?

B，则

m＋1≤－2，2m－1≥5，

即

m≤－3，m≥3.

因此

m的取值范围为

?.[解题技法

]1．会合间基本关系的

2种判断方法和

1个重点化简会合，从表达式中找寻两会合的关系；两种方法用列举法(或图示法等)表示各个会合，从元素(或图形)中找寻关系重点是看它们能否拥有包含关系，如有包含关系就是子集关系，包含相一个重点等和真子集两种关系2．依据两会合的关系求参数的方法已知两个会合之间的关系求参数时，要明确会合中的元素，对子集能否为空集进行分类议论，做到不漏解．(1)若会合元素是一一列举的，依照会合间的关系，转变成解方程(组)求解，此时注意会合中元素的互异性；(2)若会合表示的是不等式的解集，常依照数轴转变成不等式(组)求解，此时需注意端点值可否取到．[过关训练]1．设M为非空的数集，M?{1,2,3}，且M中起码含有一个奇数元素，则这样的会合M共有( )A．6个B．5个C．4个D．3个分析：选A由题意知，M＝{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．2．已知会合＝{1,2}，＝{|x2＋＋1＝0，∈R}，若?，则实数m的取值范围ABxmxxBA为________．2分析：①若B＝?，则＝m－4＜0，解得－2＜m＜2.②若1∈B，则12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此时B＝{1}，切合题意；2③若2∈B，则2＋2m＋1＝0，解得m＝－5，此时B＝2，1，不合题意．22综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．答案：[－2,2)[师生共研过关]考点三会合的基本运算[典例精析](1)(2018·天津高考)设会合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0，2,3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，则(A∪B)∩C＝( )A．{－1,1}

B．{0,1}C．{－1,0,1}

D．{2,3,4}已知会合A＝{x|x2－x－12>0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x>4}，则实数m的取值范围是( )A．(－4,3)B．[－3,4]C．(－3,4)D．(－∞，4][分析](1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．又＝{x∈R|－1≤x＜2}，∴(∪)∩＝{－1,0,1}．CABC会合A＝{x|x＜－3或x>4}，∵A∩B＝{x|x>4}，∴－3≤m≤4，应选B.[答案](1)C(2)B[解题技法]1．会合基本运算的方法技巧当会合是用列举法表示的数集时，能够经过列举会合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．当会合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的弃取，能够独自检验．2．会合的交、并、补运算口诀交集元素认真找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，牢记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中a元素，节余元素成补集.[过关训练]1．[口诀第1句]会合M＝{y|y＝－x2，x∈R}，N＝{x|x2＋y2＝2，x∈R}，则M∩N＝( )A．{(－1，－1)，(1，－1)}B．{－1}C．[－1,0]D．[－2，0]分析：选D由y＝－x2，x∈R，得y≤0，因此会合M＝(－∞，0]，由x2＋y2＝2，x∈R，得N＝[－2，2]，因此M∩N＝[－2，0]，应选D.2．[口诀第2句]若会合A＝{x|－1＜x＜1，x∈R}，B＝{x|y＝x－2，x∈R}，则A∪B＝( )A．[0,1)B．(－1，＋∞)C．(－1,1)∪[2，＋∞)D．?分析：选C由题意得B＝{x|x≥2}，因此A∪B＝{x|－1＜x＜1或x≥2}．3．[口诀第2R3句]已知会合A＝{x|x－x－2>0}，则?A＝( )A．{x|－1＜x＜2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x>2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}分析：选B∵x2－x－2>0，(x－2)(x＋1)>0，x>2或x＜－1，即A＝{x|x>2或x＜－1}．则?RA＝{x|－1≤x≤2}．应选B.4．设会合＝{x|－1≤x＜2}，＝{|x＜}，若∩≠?，则实数a的取值范围是MNxaMN________．分析：∵M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{x|x＜a}，且M∩N≠?，∴a>－1.答案：(－1，＋∞)[师生共研过关]考点四会合的新定义问题[典例精析]以下图的Venn图中，A，B是两个非空会合，定义会合A?B为阴影部分表示的会合．若，∈R，＝{|＝2x－x2}，＝{|y＝3x，>0}，xyAxyByx则A?B为( )A．{x|0＜x＜2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2}D．{x|0≤x≤1或x>2}给定会合A，若对于随意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称会合A为闭会合，给出以下三个结论：①会合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭会合；②会合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭会合；③若会合A1，A2为闭会合，则A1∪A2为闭会合．此中正确结论的序号是________．[分析](1)由于A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1＜x≤2}，因此?＝?A∪B(∩)＝{x|0≤≤1或x>2}．ABABx(2)①中，－4＋(－2)＝－6?A，因此①不正确；②中，设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k，k∈Z，则n＋n∈A，n－n∈A，因此②正确；③中，令A＝{n|n＝3k，k∈Z}，A＝{n|n12121212＝2k，k∈Z}，则A1，A2为闭会合，但3k＋2k?(A1∪A2)，故A1∪A2不是闭会合，因此③不正确．[答案](1)D(2)②[解题技法]解决会合新定义问题的2个策略紧扣新先剖析新定义的特色，常有的新定义有新观点、新公式、新运算和新法例等，把新定义所表达的问题的实质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定定义义型问题的重点所在用好集会合的性质(会合中元素的性质、会合的运算性质等)是解答会合新定义问题的基合的性础，也是打破口，在解题时要擅长从试题中发现能够使用会合性质的一些条件，质在重点之处用好会合的性质[过关训练]．定义会合的商集运算为Am＝，＝1xBnA{2,4,6}BkB中的元素个数为xx＝－1，k∈A，则会合∪B( )2AA．6B．7C．8D．9分析：选B由题意知，B＝{0,1,2}，1111，B＝0，，，，1，A2463B1111则A∪B＝0，2，4，6，1，3，2，共有7个元素，应选B.2．设P和Q是两个会合，定义会合P－Q＝{x|x∈P，且x?Q}，假如P＝{x|log2x＜1}，＝{x||x－2|＜1}，那么－＝()QPQA．{x|0＜x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|2≤x＜3}分析：选B由log2x＜1，得0＜x＜2，因此P＝{x|0＜x＜2}．由|x－2|＜1，得1＜x＜3，因此Q＝{x|1＜x＜3}．由题意，得P－Q＝{x|0＜x≤1}.[课时追踪检测]一、题点全面练1．已知会合＝{|x2＋－2＝0}，＝{0,1}，则∪＝()MxxNMNA．{－2,0,1}B．{1}C．{0}D．?分析：选A会合M＝{x|x2＋x－2＝0}＝{x|x＝－2或x＝1}＝{－2,1}，N＝{0,1}，则M∪N＝{－2,0,1}．应选A.2．设会合＝{|x2－x－2＜0}，会合＝{x|－1＜x≤1}，则∩＝()AxBABA．[－1,1]B．(－1,1]C．(－1,2)D．[1,2)分析：选B∵＝{|x2－－2＜0}＝{x|－1＜x＜2}，＝{x|－1＜≤1}，∴∩＝{x|AxxBxAB1＜x≤1}．应选B.3．设会合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}，则( )A．M＝N

B．M?

NC．N?

M

D．M∩N＝?分析：选B

∵会合

M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}＝{奇数}，N＝{x|

x＝k＋2，k∈Z}＝{整数}，∴M?

N.应选

B.4.设会合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{1,2,3}，则图中暗影部分所表示的会合是( )A．{4}C．{4,5}

B．{2,4}D．{1,3,4}分析：选

A

图中暗影部分表示在会合

A中但不在会合

B中的元素组成的会合，故图中暗影部分所表示的会合是

A∩(?UB)＝{4}

，应选

A.5．(2018·湖北天门等三地

3月联考

)设会合

A＝{1,2,3}

，B＝{4,5}

，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则

M中元素的个数为

(

)A．3

B．4C．5

D．6分析：选

B

a∈{1,2,3}

，b∈{4,5}

，则

M＝{5,6,7,8}

，即

M中元素的个数为

4，应选B.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知会合

M＝{x|

y＝lg(2

－x)}

，N＝{y|y＝

1－x＋

x－1}，则(

)A．M?

N

B．N?

MC．M＝N

D．N∈M分析：选

B∵会合

M＝{x|

y＝lg(2

－x)}

＝(－∞，

2)，N＝{y|y＝

1－x＋

x－1}＝{0}

，∴N?

M.应选

B.2．(2019·皖南八校联考

)已知会合

A＝{(

x，y)|

x2＝4y}，B＝{(

x，y)|

y＝x}，则

A∩B的真子集个数为

(

)A．1

B．3C．5

D．7分析：选Bx2＝4y，x＝0，x＝4，由得或y＝xy＝0y＝4，即A∩B＝{(0,0)，(4,4)}，∴A∩B的真子集个数为22－1＝3.3．已知会合P＝{y|y2－y－2>0}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}．若P∪Q＝R，且P∩Q＝(2,3]，则a＋b＝( )A．－5B．5C．－1D．1分析：选A由于＝{|2－－2>0}＝{y|y>2或y＜－1}．由∪＝R及∩＝(2,3]，PyyyPQPQ得Q＝[－1,3]，因此－a＝－1＋3，b＝－1×3，即a＝－2，b＝－3，a＋b＝－5，应选A.．已知会合＝xx＝kπ＋π，k∈Z，会合＝xx＝kπ－π，k∈Z，则()4M44N84A．M∩N＝?B．M?NC．N?MD．M∪N＝M分析：选B由题意可知，M＝xx＝k＋ππ＝－，k∈Z84xx＝2nπ－π，n∈Z，＝xx＝2kπ－π或x＝k－π－π，k∈Z，因此，84N8484M?N应选B.5．(2018·安庆二模)已知会合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，若B?A，则实数a＝(

)A．－1

B．2C．－1或

2

D．1或－1或

2分析：选

C

由于

B?

A，因此必有

a2－a＋1＝3或

a2－a＋1＝a.①若a2－a＋1＝3，则a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，知足条件；当a＝2时，A＝{1,3,2}，B＝{1,3}，知足条件．②若a2－a＋1＝a，则a2－2a＋1＝0，解得a＝1，此时会合A＝{1,3,1}，不知足会合中元素的互异性，因此a＝1应舍去．综上，a＝－1或2.应选C.．·合肥二模已知＝，＋∞，＝x∈R1，6(2018)A[1)B|2AB?则实数a的取值范围是()1A．[1，＋∞)B.，122C．3，＋∞D．(1，＋∞)2－1≥1，a分析：选A由于∩≠?，因此1解得a≥1.2a－1≥2a，(二)难点专练——适情自主选7．已知全集＝{∈Z|0＜x＜8}，会合＝{2,3,5}，＝{x|x2－8x＋12＝0}，则会合UxMN{1,4,7}为( )A．M∩(?UN)B．?U(M∩N)C．?U(M∪N)D．(?UM)∩N分析：选C由已知得U＝{1,2,3,4,5,6,7}，N＝{2,6}，M∩(?UN)＝{2,3,5}∩{1,3,4,5,7}＝{3,5}，∩＝{2}，?(∩)＝{1,3,4,5,6,7}，∪＝{2,3,5,6}，?(∪)＝{1,4,7}，UU(?M)∩N＝{1,4,6,7}∩{2,6}＝{6}，应选C.U．·日照联考已知会合＝x|x2y2＝1，＝y|xy∩＝(2018)＋9＋＝1，则8M16N43MN( )A．?B．{(4,0)，(3,0)}C．[－3,3]D．[－4,4]分析：选D由题意可得＝{x|－4≤≤4}，＝{|y∈R}，因此∩＝[－4,4]．故MxNyMN选D.9．(2019·河南八市质检)在实数集R上定义运算*