20182019学年高中数学考点56圆中最值问题庖丁解题新人教A版

考点56圆中的最值问题与圆相关的最值问题，常常知识面广、综合性强、应用性强，并且情境新奇，能很好的考察学生的创新能力和潜伏的数学修养．【例】已知两点（–2，0），（0，2），点C是圆x2+y2–2=0上随意一点，则△C的面积最小值是ABxAB（）A．32B．32C．3–2D．3222【答案】A1．若实数x，y知足（x＋5）2＋（y－12）2＝142，则x2＋y2的最小值为（）A．2B．1C．3D．2【答案】B【分析】由几何意义可知最小值为14－52＋122＝1．2．由直线y＝x＋1上的点向圆C：x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．【答案】7【分析】直线y＝＋1上点（，y）到圆心C的距离||与切线长d知足＝|2＝(x-3)2y2|-1＋-10000＝2x02－40＋9＝2(x0－1)2＋7≥7．x【易错易混】简单理解为圆上的点到直线的距离，实质是d＝||2-1．PC3．已知点A（8，－6）与圆C：x2＋y2＝25，P是圆C上随意一点，则|AP|的最小值是________．【答案】5【分析】因为82＋（－6）2＝100＞25，故点A在圆外，进而||的最小值为82(6)25＝10－5＝5．AP【解题策略】利用数形联合思想解题能有效地找到解题的捷径，即过圆心作已知直线的垂线，便于求解本题．4．假如圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心为__________．【答案】（0，－1）5．已知点P在圆x2y28x4y110上，点Q在圆x2y24x2y10上，则PQ的最小值是_____________．【答案】355【分析】两圆的圆心和半径分别为C1（4，2），r1=3,C2（–2,–1）,r2=2，22PQminC1C2r1r2(42)(21)323556．假如实数x、y知足方程（x–3）2十（y–3）2=6．求：1）y的最大值与最小值；x2）x+y的最大值与最小值【思路剖析】需考虑代数式

y

及

x+y的几何意义，运用数形联合法求解．x【分析】（1）设

P（x，y），且

P点的轨迹是已知圆

C：（x–3）2+（y–3）2=6．而y的几何意义就是直线OP的斜率（O为坐标原点）．x设y=k，则直线OP的方程为y=kx．x由图可知，当直线OP与圆相切时，斜率取最值．∵点C到直线=kx的距离=|3k3|k21∴当|3k3|=6，即k=322时，直线与圆相切．k21OP∴y上的最大值与最小值分别是322和3–22．x【解题技巧】相关圆的最值问题，常借助于图形性质，利用数形联合求解．一般地，①形如kyb的xa最值问题可转变为求动直线斜率的最值问题；②形如t=ax+by的最值问题常转变为动直线截距的最值问题．1．圆x2y24x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差是（）A．36B．18C．62D．52【答案】C【分析】圆x2y24x4y100的圆心为（2，2），半径为32，圆心到直线xy140的距离为22145232，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2r62，应选C．22．过点P（1，1）的直线，将圆形地区{（x，y）|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（）A．x＋y－2＝0B．y－1＝0C．x－y＝0D．x＋3y－4＝0【答案】A【分析】当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，切合条件．圆心O与P点连线的斜率k＝1，∴直线OP垂直于x＋y－2＝0，应选A．3．过点（1，2）的直线l将圆（x–2）2+y2=4分红两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的A斜率k=________．【答案】22【分析】由图形可知点A（1，222的内部，圆心为O（2，0），要使得劣孤所对）在圆（x–2）+y=4的圆心角最小，只好是直线lOA，因此kl112kOA2.24．已知圆M：x2＋y2＝10和圆N：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0．求过两圆交点且面积最小的圆的方程．5．已知圆C过点P（，14），Q（3，2），且圆心C在直线xy30上．（1）求圆