数列-第一轮复习

第一轮复习数列【考向指引】数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，故而在高考中占有重要地位。从近几年的高考试题来看，数列部分的复习备课应注意以下几点：数列中SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，应切实注意SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系。探索性问题在数列中考察较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给予证明。探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求。等差、等比数列的基本知识为必考内容，这类考题有容易题、中等题，也有难题。求和问题也是常见的试题类型，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和。将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点。有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点，今后在这方面还会体会的更突出。数列与新增内容（如程序框图）等综合体也应引起高度重视。第一讲数列的概念考点解读数列的概念按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。各项一次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，．．．，第SKIPIF1<0项，……数列的一般形式可简记为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是数列的第SKIPIF1<0项。注意：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成的两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列。定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现。数列的分类根据数列的项数分有穷数列：项数有限的数列。无穷数列：项数无限的数列。按照数列的每一项的值随项数变化的情况分递增数列，递减数列，常数列，摆动数列数列与函数的关系数列可以看成以自然数集或者其有限子集为定义域的函数SKIPIF1<0，当自变量从小到大依次取值时，所对应的一列函数值。数列的通项公式如果数列SKIPIF1<0的第SKIPIF1<0项SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。注意：并不是所有数列都能写出其通项公式。一个数列的通项公式有时是不唯一的。数列通项公式的作用：=1\*GB3①求数列中任意一项；=2\*GB3②检验某数是否是该数列中的一项。数列的三种表示形式列举法，通项公式法和图象法典例根据有限项抽象数列的通项公式写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：3，5，9，17，……；（2）SKIPIF1<0；（3）0,1,0,1，……；（4）2，-6,12，-20,30，…….由数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和给出的递推式变形数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式。用累加、累乘法探求数列SKIPIF1<0的通项公式已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0。求数列SKIPIF1<0的通项公式；这个数列从第几项开始及其后面各项均小于SKIPIF1<0？已知递推关系求指定项已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则m所有可能的取值为。练习数列SKIPIF1<0的一个通项公式是。*已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于。若数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于。若SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=。已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则此数列的通项公式为SKIPIF1<0=。数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式。第二讲等差数列考点解读等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即SKIPIF1<0，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差。等差数列的通项公式：SKIPIF1<0通项公式的变形形式：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0是常数）计算公差的几种基本方法：=1\*GB3①SKIPIF1<0=2\*GB3②SKIPIF1<0=3\*GB3③SKIPIF1<0等差中项：若SKIPIF1<0等等差数列，那么A叫做SKIPIF1<0的等差中项。基本性质：在等差数列中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等差数列的前SKIPIF1<0项和公式1：SKIPIF1<0。公式2：SKIPIF1<0公式3：SKIPIF1<0，当公差SKIPIF1<0时，是一个常数项为零的二次式。典例等差数列求解的基本方法：还原基本量等差数列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值。等差数列性质的运用已知函数SKIPIF1<0，等差数列SKIPIF1<0的公差为2，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0。*等差数列概念的运用递增数列1，5，7，11，13，17，……包含所有既不能被2整除又不能被3整除的正整数，求此数列的第100项。等差数列应用问题在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计。例如北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成，如图所示，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块石板，共有9圈。问：第9圈共有多少块石板？不包括天心石，9圈共有多少块石板？等差数列前SKIPIF1<0项和运用设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=。等差数列的概念的运用在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2，并求这些数的和。等差数列前SKIPIF1<0项和的最值问题已知数列SKIPIF1<0是一个等差数列，且SKIPIF1<0。求SKIPIF1<0的通项SKIPIF1<0；求SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0的最大值。等差数列综合问题设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为实数，首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0的等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0。若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；求SKIPIF1<0的取值范围。练习已知数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，则此数列（）A、是等差数列，SKIPIF1<0B、是等比数列，SKIPIF1<0C、非等差数列，SKIPIF1<0SKIPIF1<0D、非等比数列，SKIPIF1<0SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0，则此数列的通项公式为（）A、SKIPIF1<0B、SKIPIF1<0C、SKIPIF1<0或SKIPIF1<0D、SKIPIF1<0或SKIPIF1<0在等差数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（）A、-6B、4C、-2D、0设SKIPIF1<0，且两数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均为等差数列，那么SKIPIF1<0的值是（）A、SKIPIF1<0B、SKIPIF1<0C、SKIPIF1<0D、SKIPIF1<0成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40，则这四个数是。在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=。等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求此数列的通项。一个等差数列共SKIPIF1<0项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数SKIPIF1<0为（）A、14B、16C、18D、20等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=。在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则此数列前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0的最小值为。一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差SKIPIF1<0。第三讲等比数列考点解读等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母SKIPIF1<0表示，即：SKIPIF1<0。等比数列的通项公式：SKIPIF1<0。既是等差又是等比数列的数列：非零常数列。等比中项：SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的等比中项。即SKIPIF1<0。等比数列的性质：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0。等比数列的递增性：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是递增数列；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是递减数列。等比数列的前n项和公式：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0典例等比数列基本公式的运用已知等比数列SKIPIF1<0前三项的和为3，如果将第三项减去9则这三项又分别是一个等差数列的第一项、第四项和第七项，求数列SKIPIF1<0的通项公式。构造辅助数列解题数列SKIPIF1<0的各项均为正值，SKIPIF1<0，对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都成立，求数列SKIPIF1<0的通项公式。等差数列与等比数列的关系已知数列SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0求证数列SKIPIF1<0是等比数列；求数列SKIPIF1<0的通项公式。等比数列综合问题已知SKIPIF1<0，点（SKIPIF1<0）在函数SKIPIF1<0的图象上，其中SKIPIF1<0证明数列SKIPIF1<0是等比数列；设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0及数列SKIPIF1<0的通项。等比数列基本运算在等比数列SKIPIF1<0中已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值；已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值。等比数列性质的运用已知等比数列SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，求项数n和公比SKIPIF1<0。SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值。等比数列应用问题已知某市2008年底人口数为100万，人均住房面积40平方米，如果该市每年人口增长率为2%，每年平均新建住房面积20万平方米，试求导2012年底人均住房面积。（精确到1平方米，参考数据：SKIPIF1<0）等比综合问题已知数列SKIPIF1<0为等差数列，公差SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0恰为等比数列，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值。练习等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0表示前SKIPIF1<0项的积，若SKIPIF1<0，则（）A、SKIPIF1<0B、SKIPIF1<0C、SKIPIF1<0D、SKIPIF1<0已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（）A、数列SKIPIF1<0是等差数列B、数列SKIPIF1<0是等比数列C、数列SKIPIF1<0可能是常数列D、数列SKIPIF1<0不可能是常数列等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0成等比，那么该等比数列公比的值为。已知等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于。设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0成等差数列，则SKIPIF1<0的值是。等差数列SKIPIF1<0公差不为0，且SKIPIF1<0是等比数列SKIPIF1<0的相邻三项，若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式。一个等比数列前n项的和为SKIPIF1<0，前2n项之和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于。已知等比数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于。在等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于。各项都是正数的等比数列SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等差数列，则SKIPIF1<0的值为？已知等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，前n项的和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等差数列。求SKIPIF1<0；求证：SKIPIF1<0成等差数列。第四讲数列求和问题考点解读数列求和是数列部分的一个重要内容，常见的数列求和方法有如下几种：公式求和法直接运用等差或等比数列的求和公式求和，运用等比求和公式时注意对于公比是否等于1的讨论，另外还有两条公式偶尔也会用到：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分组求和法将原数列中的每一项分拆成两项或多项，或者将原数列中的多项合并为一项，而将原数列转化成为多个或一个可以求和的数列。倒序相加求和法错位相减求和法适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。裂项相消求和法如果一个数列的各项均能化为两项之差，而前面项的减数恰好与后面项的被减数相同，一减一加，中间项被消去，那么求原数列的各项之和就可以达到化简的目的。典例运用公式求和设SKIPIF1<0是一次函数，SKIPIF1<0成等比数列，求SKIPIF1<0的值。特殊公式和分组求和求和：SKIPIF1<0倒序法求和已知函数SKIPIF1<0，其图象经过点SKIPIF1<0。求实数SKIPIF1<0的值并证明SKIPIF1<0；若数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，记其前n项和为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值。错位法求和已知等差数列SKIPIF1<0的前3项和为6，前8项和为-4.求数列SKIPIF1<0的通项公式；设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0。裂项法求和已知等差数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0。求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0。练习设等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=（）A、3B、2C、SKIPIF1<0D、SKIPIF1<0等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（）A、SKIPIF1<0B、SKIPIF1<0C、SKIPIF1<0D、无法确定求和：SKIPIF1<0=。数列SKIPIF1<0的通项为SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项的和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=。设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值。在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求此数列前100项的和SKIPIF1<0。第五讲数列综合问题考点解读通常我们所遇到的数列问题往往不是单纯的等差或等比，很多时候需要将两个数列综合考虑，比如某些数列可以既是等差又是等比，又或者某个等比数列的某些项可以成为等差数列的项。数列作为一种特殊的函数往往能够和其他的数学知识结合在一起，比如数列与函数、不等式等章节的结合，以及周期数列的有关问题。典例等差等比的简单综合已知公差大于0的等差数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0依次成等比数列，求数列SKIPIF1<0的通项公式。三角形中的等差等比问题已知SKIPIF1<0中，三内角SKIPIF1<0的度数依次成等差数列，三边SKIPIF1<0依次成等比数列。求证：SKIPIF1<0是等边三角形。存在性问题与分类讨论思想是否存在互不相等的三个实数SKIPIF1<0，使它们同时满足以下三个条件：=1\*GB3①SKIPIF1<0；=2\*GB3②SKIPIF1<0成等差数列；=3\*GB3③将SKIPIF1<0适当排列后成等比数列。函数中的数列问题设一次函数SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点（-1,0），SKIPIF1<0在函数SKIPIF1<0的图象上。求数列SKIPIF1<0的通项公式；设数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0。数列与不等式已知函数SKIPIF1<0的图象过点SKIPIF1<0（4，SKIPIF1<0），SKIPIF1<0（5,1）求函数SKIPIF1<0的解析式；记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0