福建省永安市第三中学-高一数学下学期第一次月考试题

PAGE试卷第=1页，总=sectionpages33页PAGE10福建省永安市第三中学2020-2021学年高一数学下学期第一次月考试题（考试时间：120分钟总分：150分）第Ⅰ卷（非选择题共60分）单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1、已知复数，，则()A. B. C. D.2、已知复数，（），则“”是“为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 3、在中，若,则（）A.B. C. D.4、在中，角的对边分别是，，则=（）A.B.C.D.5、已知向量，其中，，且，则向量和的夹角是（）A．B．C．D．6、在中，分别是角的对边，若，则的形状一定是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形7、已知，，且，则=()A. B. C. D.8、如图在中，是的中点，是的三等分点（靠近点），若（），则()A．B.C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9、在复平面内点所对应的复数分别为,则下列结论正确的是()A.的共轭复数虚部为 B.C.为纯虚数 D.若，则点对应的复数是10、下列命题中,正确的命题为（） A.对于向量，若，则或 B.若为单位向量，且∥，则； C.若与共线，与共线，则与共线D.四边形中，11、设平面向量两两所成的夹角相等，且，，，则的值可能为()A． B． C． D．12、在中,内角的对边分别为,且,则下列叙述正确的有（）A.B.若,则的面积的最大值为C.若,,且,则D.若，且满足条件的不存在，则边的取值范围是第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13、若，则．14、设平面向量，若，则．15、如图，冠豸山上原有一条笔直的山路，现在又新架设了一条索道，小李在山脚处看索道，测得张角；从处攀登4千米到达处，回头看索道，测得张角；从处再攀登8千米方到达处，则索道的长为千米．16、在中有如下结论：“若点为的重心，则”．设分别为内角的对边，点为的重心.若，则内角的大小为_；当时，的面积为_.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17、（本题共10分）设复数（其中），．（Ⅰ）若是实数，求的值；（Ⅱ）若是纯虚数，求．

（本题共12分）已知两个非零向量．（Ⅰ）若向量是夹角为120°的单位向量，试确定实数，使和垂直；（Ⅱ）若，求证：三点共线．19、（本题共12分）在①；②；③三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．问题：在中，内角的对边分别为,且满足，．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若为上一点，,且,求．(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)．20、（本题共12分）在中，内角的对边分别为,向量，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求角的大小及向量在方向上的投影向量.【提示：向量在方向上的投影向量为，其中为与同向的单位向量，为与的夹角】21、（本题共12分）岛观察站发现在其南偏东方向有一艘可疑船只，正以每小时海里的速度沿南偏东方向航行(如图所示)，观察站即刻通知在岛正南方向处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东方向且相距海里的处，随即以每小时海里的速度前往拦截．（1）问：海监船接到通知时，距离岛多少海里？（2）假设海监船在处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．22、（本题共12分）在平行四边形中，，若分别是边上的点，且满足，.（Ⅰ）当,时,求向量和夹角的余弦值；（Ⅱ）当时,求的取值范围.永安市第三中学高中校2020级高一下学期3月份月考数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案DCBAABCD二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.题号9101112答案BCBDACBC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.14.15.16.eq\f(π,6)，eq\f(9\r(3),4)【16、解析】由aeq\o(MA,\s\up6(→))＋beq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\f(\r(3),3)ceq\o(MC,\s\up6(→))＝aeq\o(MA,\s\up6(→))＋beq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\f(\r(3),3)c(－eq\o(MA,\s\up6(→))－eq\o(MB,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(\r(3),3)c))eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(\r(3),3)c))eq\o(MB,\s\up6(→))＝0，因为eq\o(MA,\s\up6(→))与eq\o(MB,\s\up6(→))不共线，∴a－eq\f(\r(3),3)c＝b－eq\f(\r(3),3)c＝0，∴a＝b＝eq\f(\r(3),3)c.∴在△ABC中，由余弦定理可求得cosA＝eq\f(\r(3),2)，∴A＝eq\f(π,6).若a＝3，则b＝3，c＝3eq\r(3)，S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×3×3eq\r(3)×eq\f(1,2)＝eq\f(9\r(3),4).四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（Ⅰ）∵＝5＋（a－4）i是实数，∴a＝4，z1＝2＋4i，2分∴z1z2＝（2＋4i）（3－4i）＝22＋4i；5分（Ⅱ）∵是纯虚数，∴，故．10分18解：（Ⅰ）和垂直…3分………………6分（Ⅱ），…11分三点共线………………12分19.解：（Ⅰ）选条件①，由正弦定理及得…2分………3分……………4分…………5分……………6分选条件②，……………3分…………6分选条件③，由得……………2分……………5分…………………6分（Ⅱ）由可得,…8分得，…9分所以.…10分在中，由正弦定理得.即…12分20.解：（Ⅰ）由，得cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－eq\f(3,5)，所以cosA＝－eq\f(3,5).因为0<A<π，所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))\s\up12(2))＝eq\f(4,5).（Ⅱ）由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，则sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(5×\f(4,5),4\r(2))＝eq\f(