高中数学课时跟踪检测八生活中的优化问题举例新人教A版选修

PAGEPAGE5课时跟踪检测(八)生活中的优化问题举例一、选择题1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为s＝eq\f(4,3)t3－2t2，那么速度为0的时刻是()A．1秒末 B．0秒C．2秒末 D．0秒或1秒末解析：选D由题意可得t≥0，且s′＝4t2－4t，令s′＝0，解得t1＝0，t2＝1，故选D.2．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为()A．2和6 B．4和4C．3和5 D．以上都不对解析：选B设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x＜4时，y′＜0；当4＜x≤8时，y′＞0.所以当x＝4时，y最小．3．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为()A.eq\f(R,2)和eq\f(3,2)R B.eq\f(\r(5),5)R和eq\f(4\r(5),5)RC.eq\f(4,5)R和eq\f(7,5)R D．以上都不对解析：选B设矩形的宽为x，则长为2eq\r(R2－x2)，则l＝2x＋4eq\r(R2－x2)(0＜x＜R)，l′＝2－eq\f(4x,\r(R2－x2)).令l′＝0，解得x1＝eq\f(\r(5),5)R，x2＝－eq\f(\r(5),5)R(舍去)．当0＜x＜eq\f(\r(5),5)R时，l′＞0；当eq\f(\r(5),5)R＜x＜R时，l′＜0，所以当x＝eq\f(\r(5),5)R时，l取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为eq\f(\r(5),5)R，eq\f(4\r(5),5)R.4．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品的零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8300－170p－p2.则最大毛利润(毛利润＝销售收入－进货支出)为()A．30元 B．60元C．28000元 D．23000元解析：选D设毛利润为L(p)，由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)，此时L(30)＝23000.因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元．5．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新墙壁，当砌新墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为()A．32米，16米 B．30米，15米C．40米，20米 D．36米，18米解析：选A设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x米，其他两边的边长均为y米，则xy＝512，则所用材料l＝x＋2y＝2y＋eq\f(512,y)(y＞0)，求导数，得l′＝2－eq\f(512,y2).令l′＝0，解得y＝16或y＝－16(舍去)．当0＜y＜16时，l′＜0；当y＞16时，l′＞0.所以y＝16是函数l＝2y＋eq\f(512,y)(y＞0)的极小值点，也是最小值点．此时，x＝eq\f(512,16)＝32.所以当堆料场的长为32米，宽为16米时，砌新墙壁所用的材料最省．二、填空题6．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米．解析：设广场的长为x米，则宽为eq\f(40000,x)米，于是其周长为y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(40000,x)))(x＞0)，所以y′＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(40000,x2))).令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，这时y＝800.当0＜x＜200时，y′＜0；当x＞200时，y′＞0.所以当x＝200时，y取得最小值，故其周长至少为800米．答案：8007．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为________cm.解析：设该漏斗的高为xcm，体积为Vcm3，则底面半径为eq\r(202－x2)cm，V＝eq\f(1,3)πx(202－x2)＝eq\f(1,3)π(400x－x3)(0＜x＜20)，则V′＝eq\f(1,3)π(400－3x2)．令V′＝0，解得x1＝eq\f(20\r(3),3)，x2＝－eq\f(20\r(3),3)(舍去)．当0＜x＜eq\f(20\r(3),3)时，V′＞0；当eq\f(20\r(3),3)＜x＜20时，V′＜0.所以当x＝eq\f(20\r(3),3)时，V取得最大值．答案：eq\f(20\r(3),3)8．如下图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．解析：设CD＝x，则点C的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，0))，点B的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2))，∴矩形ABCD的面积S＝f(x)＝x·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2))＝－eq\f(x3,4)＋x，x∈(0,2)．由f′(x)＝－eq\f(3,4)x2＋1＝0，得x1＝－eq\f(2\r(3),3)(舍去)，x2＝eq\f(2\r(3),3)，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))时，f′(x)＞0，f(x)是递增的，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，2))时，f′(x)＜0，f(x)是递减的，当x＝eq\f(2\r(3),3)时，f(x)取最大值eq\f(4\r(3),9).答案：eq\f(4\r(3),9)三、解答题9．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加，年销售量y关于x的函数式为y＝3240eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋\f(5,3)))，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？[年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量]解：由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1＋x)，每辆车的出厂价为13(1＋0.7x)，年利润为f(x)＝[13(1＋0.7x)－10(1＋x)]·y＝(3－0.9x)×3240×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋\f(5,3)))＝3240(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，则f′(x)＝3240(2.7x2－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)，由f′(x)＝0，解得x＝eq\f(5,9)或x＝3(舍去)．当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,9)))时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)，1))时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．所以当x＝eq\f(5,9)时，f(x)取极大值，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))＝20000.因为f(x)在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值．所以当x＝eq\f(5,9)时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．10．某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10000平方米，该中心每块球场的建设面积为1000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)＝800eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,5)lnx))来刻画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？解：设建成x个球场，则1≤x≤10，每平方米的购地费用为eq\f(128×104,1000x)＝eq\f(1280,x)元，因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)＝800eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(