高中数学-7柱、锥、台和球的体积-新人教B版必修

PAGE1-2012-2013高一数学必修2（人教B版）第一章各节同步检测1-1-7柱、锥、台和球的体积一、选择题1．设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，若长方体所有棱的长度之和为24，一条对角线的长度为5，体积为2，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)等于()A.eq\f(11,4) B.eq\f(4,11) C.eq\f(11,2) D.eq\f(2,11)[答案]A[解析]∵4(a＋b＋c)＝24，V＝abc＝2，a2＋b2＋c2＝25，∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)，∴36＝25＋2(ab＋bc＋cc)，∴ab＋bc＋ac＝eq\f(11,2).∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(ab＋bc＋ac,abc)＝eq\f(11,4).2．一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为eq\r(15)，那么这个正三棱锥的体积是()A．9 B．9eq\r(2)C．7 D.eq\f(7,2)[答案]A[解析]设正三棱锥的高为h，则有h＝eq\r((\r(15))2－(2\r(3))2)＝eq\r(3)，∴V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×6×3eq\r(3)×eq\r(3)＝9.3．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为()A．R B．2RC．3R D．4R[答案]D[解析]设圆柱的高为h，则有πR2h＝3×eq\f(4,3)πR3，∴h＝4R.4．等体积的球与正方体，它们的表面积的大小关系是()A．S球>S正方体 B．S球＝S正方体C．S球<S正方体 D．不能确定[答案]C[解析]设球的半径为R，正方体的棱长为a，则eq\f(4πR3,3)＝a3，∴a＝eq\r(3,\f(4π,3))R，S正方体＝6a2＝6×eq\r(3,(\f(4π,3))2)R2＝eq\r(3,16π2×24)R2，S球＝4πR2＝eq\r(3,(4π)3)R2＝eq\r(3,16π2×4π)R2，∴S球<S正方体，故选C.5．(2010·抚顺一中高一上学期月考)若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积比为()A．1∶2∶3 B．2∶3∶4C．3∶2∶4 D．3∶1∶2[答案]D[解析]设球的半径为R，由题意，得V圆柱＝2πR3，V圆锥＝eq\f(2,3)πR3，V球＝eq\f(4,3)πR3.∴V圆锥∶V圆锥∶V球＝3∶1∶2.6．一圆锥的底面半径为4，用平行于底面的截面截去底面半径为1的小圆锥后得到的圆台是原来圆锥的体积的()A.eq\f(63,64) B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,64)[答案]A[解析]轴截面如图，由题意eq\f(PO1,PO)＝eq\f(O1D,OB)＝eq\f(1,4)，V圆锥PO1＝eq\f(π,3)·PO1，V圆锥PO＝eq\f(16,3)π·PO，∴V圆台O1O＝V圆锥PO－V圆锥PO1＝eq\f(16,3)π·PO－eq\f(π,3)·PO1＝eq\f(16,3)π·PO－eq\f(π,3)·eq\f(1,4)·PO＝eq\f(63,12)π·PO，∴eq\f(V圆台OO1,V圆锥PO)＝eq\f(\f(63,12)π·PO,\f(16,3)π·PO)＝eq\f(63,64).(或由：截得小圆锥底半径为1，原来底半径为4，∴相似比为14，故小圆锥与原来大圆锥体积比为164，∴截得圆台与原来大圆锥的体积比为6364)．7．(2009·山东)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．2π＋2eq\r(3) B．4π＋2eq\r(3)C．2π＋eq\f(2\r(3),3) D．4π＋eq\f(2\r(3),3)[答案]C[解析]由三视图知几何体为圆柱上放一个正四棱锥，其中圆柱底面直径和高均为2，四棱锥的底面边长为eq\r(2)，侧棱长为2，∴其高为eq\r(3).∴V＝π×12×2＋eq\f(1,3)(eq\r(2))2×eq\r(3)＝2π＋eq\f(2\r(3),3).故选C.8．已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为()A．32eq\r(3) B．28eq\r(3)C．24eq\r(3) D．20eq\r(3)[答案]B[解析]由题意，得正六棱台的上底面面积为S1＝6×eq\f(\r(3),4)×22＝6eq\r(3)，下底面面积为S2＝6×eq\f(\r(3),4)×42＝24eq\r(3)，∴正六棱台的体积V＝eq\f(1,3)×2×(6eq\r(3)＋eq\r(6\r(3)×24\r(3))＋24eq\r(3))＝28eq\r(3).二、填空题9．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．[答案]eq\f(8000,3)cm3[解析]由主视图、左视图、俯视图可知此几何体为一个四棱锥，底面是边长为20的正方形，高为20，∴该几何体的体积为eq\f(1,3)×20×20×20＝eq\f(8000,3)(cm3)．10．将半径为R的半圆卷成一个圆锥，这个圆锥的体积为____________．[答案]eq\f(\r(3),24)πR3[解析]设圆锥的底面半径为r，由题意，得πR＝2πr，∴r＝eq\f(1,2)R.∴圆锥的高h＝eq\r(R2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))2)＝eq\f(\r(3),2)R，故圆锥的体积V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π·eq\f(1,4)R2·eq\f(\r(3),2)R＝eq\f(\r(3),24)πR3.11．(2009·天津)如图是一个几何体的三视图．若它的体积是3eq\r(3)，则a＝________.[答案]eq\r(3)[解析]由三视图可知，几何体为底面边长为2，高为3的正三棱柱．∴V＝eq\f(1,2)×2×a×3＝3eq\r(3)，∴a＝eq\r(3).12．一个圆柱的高缩小为原来的eq\f(1,n)，底面半径扩大为原来的n倍，则所得的圆柱的体积为原来的________．[答案]n倍[解析]设原来圆柱的底面半径为r，高为h，根据题意，得新圆柱的底面半径为nr，高为eq\f(h,n)，∴V原柱＝πr2h，V新柱＝π×(nr)2×eq\f(h,n)＝nπr2h，∴V新柱∶V原柱＝nπr2h∶πr2h＝n∶1，故所得的圆柱的体积为原来的n倍．三、解答题13．已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1[解析]如图所示，VA1－EBFD1＝VA1－EBF＋VA1－EFD1＝VF－A1EB＋VF－A1ED1＝eq\f(1,3)·a·eq\f(a2,4)＋eq\f(1,3)·a·eq\f(a2,4)＝eq\f(a3,6).14．一个球的大圆面积增为原来的100倍，那么这个球的体积有什么变化？[解析]球的体积变为原来的1000倍．设原来球的半径为r，后来球的半径为R，则πR2＝100πr2，∴R＝10r，∴V1＝eq\f(4,3)πr3，V2＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π(10r)3＝1000V1.15．如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．[分析]剩余部分的几何体不是规则几何体，可利用长方体和棱锥的体积之差来求得剩余部分的体积．[解析]已知长方体可以看成直四棱柱ADD′A′－BCC′B′.设它的底面ADD′A′的面积为S，高为h，则棱锥C－A′DD′的底面积为eq\f(1,2)S，高是h，故棱锥C－A′DD′的体积为VC－A′DD′＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)Sh＝eq\f(1,6)Sh.余下的体积是Sh－eq\f(1,6)Sh＝eq\f(5,6)Sh.所以棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1：5.16．求棱长都为a的正四棱锥的体积．[解析]正四棱锥O－ABCD的底面是正方形，其面积是a2，设点N是底面正方形的中心，∴ON是正四棱锥的高．∵△OAN是直角三角形，且OA＝a，AN＝eq\f(AC,2)＝eq\f(\r(2),2)a，∴ON＝eq\r(OA2－AN2)＝eq\r(a2－\f(a2,2))＝eq\f(\r(2),2)a，由棱锥的体积公式，得V＝eq\f(1,3)·a2·eq\f(\r(2),2)a＝eq\f(\r(2),6)a3.17．棱台的上底面积为16，下底面积为64，求棱台被它的中截面分成的上、下两部分体积之比．[解析]如图，将棱台还原成