线性控制系统的能控性和能观性

线性控制系统的能控性和能观性演示文稿当前1页，总共40页。优选线性控制系统的能控性和能观性当前2页，总共40页。引言状态方程反映了控制输入对状态的影响；输出方程反映系统输出对控制输入和状态的依赖能控性揭示系统输入对状态的制约能力；能观性反映从外部对系统内部的观测能力；能控性和能观性的概念是卡尔曼在1960年提出，成为现代控制理论中最重要的概念，是最优控制设计的基础。状态空间模型建立了输入、状态、输出之间的关系当前3页，总共40页。4含义1:控制作用对状态变量的支配系统输出能否反映状态变量含义2:可控性:能否找到控制作用使任意初态可观测性:能否由输出量的测量值

引言可控性。可观测性。确定终态。各状态。当前4页，总共40页。5

如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制,而由任意的始点达到终点,则系统可控(状态可控)。如果系统的所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映,则称系统是状态可观测的。引言当前5页，总共40页。6引例:给定系统的状态空间描述:

解:展开表明:状态变量,都可通过选择输入u而由始点输出y只能反映状态变量,所以不可观测。

引言终点,所以完全可控。当前6页，总共40页。3.1能控性3.1.1定义

若线性连续定常系统：如果存在一个无约束的输入u(t)，能在有限时间区间内，使系统由某一初始状态x(t0)=x0，转移到指定的任意终端状态x(tf)=xf，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称系统是完全能控的，或简称系统是能控的。

有时也称矩阵（A，B）是能控的。若系统存在某一个状态x(t0)不满足上述条件，则此系统称为不能控系统。当前7页，总共40页。3.1能控性3.1.1定义时间段内存在控制输入u当前8页，总共40页。3.1.2线性定常系统的能控性判别1从A与B判定能控性（能控性判据）定理3.1-1线性定常连续系统(A，B)其状态完全能控的充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即3.1能控性当前9页，总共40页。证明定理3.1-1已知状态方程的解为在以下讨论中，不失一般性，可设初始时刻为零，即t0=0以及终端状态为状态空间的原点，即x(tf)=0。则有利用凯莱-哈密尔顿（CayleyHamilton）定理3.1.2线性定常系统的能控性判别3.1能控性当前10页，总共40页。证明定理3.1-1利用凯莱-哈密尔顿（CayleyHamilton）定理进而得到因tf

是固定的，所以每一个积分都代表一个确定的量，令3.1.2线性定常系统的能控性判别3.1能控性当前11页，总共40页。证明定理3.1-1若系统是能控的，那么对于任意给定的初始状态x(0)都应从上述方程中解出0，1，…，n1来。这就要求系统能控性矩阵的秩为n，即rank[BABA2B…An1B]=n3.1.2线性定常系统的能控性判别3.1能控性当前12页，总共40页。13[例3-1]试判断下列系统的状态可控性。(1)

(2)

3.1.2线性定常系统的能控性判别3.1能控性当前13页，总共40页。14（1）

∴该系统可控。

解：

（2）

∴该系统不可控。3.1.2线性定常系统的能控性判别3.1能控性当前14页，总共40页。15例3-2：试判断系统可控性。3.1.2线性定常系统的能控性判别3.1能控性当前15页，总共40页。rank=2<3,不可控。16解：

3.1.2线性定常系统的能控性判别3.1能控性当前16页，总共40页。17若Ａ为对角型，则状态完全可控的充要条件为：

Ｂ中没有任意一行的元素全为零。（此结论适用于特征值互不相等的情况）

2.可控性对角型判据3.1.2线性定常系统的能控性判别3.1能控性当前17页，总共40页。183.1.2线性定常系统的能控性判别当前18页，总共40页。19

例3-3:

试确定如下几个系统的可控性。1)可控3)可控2)不可控4)不可控3.1.2线性定常系统的能控性判别当前19页，总共40页。20

若为约当型，则状态完全可控的充要条件是：

每一个约当块的最后一行相应的阵中所有的行元素不全为零。（若两个约当块有相同特征值，此结论不成立。）

3.可控性约当型判据设3.1.2线性定常系统的能控性判别当前20页，总共40页。21例3-4:

试判断下列已经非奇异变换成约当规范型的系统的可控性。1)可控2)不可控3.1.2线性定常系统的能控性判别当前21页，总共40页。3.2能观性3.2.1定义

对任意给定的输入信号u(t)，在有限时间tf>t0内，能够根据输出量y(t)在[t0，tf]内的测量值，唯一地确定系统在时刻t0的初始状态x(t0)，则称此系统的状态是完全能观测的，或简称系统能观测的。讨论线性系统的能观测性。考虑零输入时的状态空间表达式当前22页，总共40页。3.2.1定义能观测性的概念非常重要，这是由于在实际问题中，状态反馈控制遇到的困难是一些状态变量不易直接量测。因而在构造控制器时，必须首先估计出不可量测的状态变量。在“系统综合”部分我们将指出，当且仅当系统是能观测时，才能对系统状态变量进行观测或估计。3.2能观性当前23页，总共40页。1从A与C判定能观性（能观性判据）定理3.2-1线性定常连续系统(A，C)其状态完全能观的充要条件是其能观性矩阵3.2能观性3.2.2线性定常系统的能观性判别的秩为n，即T当前24页，总共40页。证明定理3.2-1已知系统(A，C)状态方程的解为在以下讨论中，不失一般性，可设初始时刻为零，即t0=0则有利用凯莱-哈密尔顿（CayleyHamilton）定理3.2.2线性定常系统的能观性判别1从A与C判定能观性（能观性判据）当前25页，总共40页。证明定理3.2-1所以因为一般m<n，此时，方程无唯一解。要使方程有唯一解，可以在不同时刻进行观测，得到y(t1)，y(t2)，…，y(tf)，此时把方程个数扩展到n个，即1从A与C判定能观性（能观性判据）3.2.2线性定常系统的能观性判别当前26页，总共40页。证明定理3.3-1上式表明，根据在（0，tf）时间间隔的测量值y(t1)，y(t2)，…，y(tf)，能将初始状态x(0)唯一地确定下来的充要条件是能观测性矩阵N满秩。1从A与C判定能观性（能观性判据）3.2.2线性定常系统的能观性判别当前27页，总共40页。例3.2-1设系统的状态方程为判断其状态能观性。rankN=2=n

所以系统是能观测的。3.2.2线性定常系统的能观性判别当前28页，总共40页。例3.2-2:

试判断下列系统的可观测性。

解：该系统可观测。

3.2.2线性定常系统的能观性判别当前29页，总共40页。

例3.2-3:试确定使下列系统可观测的a,b取值。

解：

，系统可观测。

3.2.2线性定常系统的能观性判别当前30页，总共40页。

若A为对角型，则系统完全可观测的充要条件是：

输出阵C中没有任何一列的元素全为零。（此结论适用于特征值互不相等的情况）

2.可观测性对角型判据3.2.2线性定常系统的能观性判别当前31页，总共40页。例3.2-3:

试判别以下系统的状态可观测性。

（1）可观测2.可观测性对角型判据3.2.2线性定常系统的能观性判别（1）（2）（2）不可观测当前32页，总共40页。

若A为约当型，则系统完全可观测的充要条件是：

C阵中与每个约当块的第一列相对应的各列中，没有一列的元素全为零，且矩阵C中对应于互不相等的特征值的各列，没有一列的元素全为0.(如果两个约当块有相同的特征值,此结论不成立)。

3.可观测性约当型判据3.2.2线性定常系统的能观性判别当前33页，总共40页。例3.2-4:

试判别下列系统的状态可观测性。

1)不可观测2)可观测3.2.2线性定常系统的能观性判别当前34页，总共40页。3.3能控性与能观性的对偶关系

从前面几节的讨论中可以看出控制系统的能控性和能观测性，无论从定义或其判据方面都是很相似的。这种相似关系决非偶然的巧合，而是有着内在的必然联系，这种必然的联系即为对偶性原理：设系统1的状态空间表达式为设系统2的状态空间表达式为称系统1和系统2是互为对偶的，即2是1的对偶系统，反之，1是2的对偶系统。当前35页，总共40页。3.3能控性与能观性的对偶关系当前36页，总共40页。结论：系统S1可控的充要条件恰是其对偶系统S2可观测的充要条件；系统S1可观测的充要条件又是其对偶系统S2可控的充要条件。3.3能控性与能观性的对偶关系当前37页，总共40页。定理:SISO线性定常系统的传递函数若有零、极点对消，