第四章复变函数的级数表示

第四章复变函数的级数表示1第一页，共六十四页，2022年，8月28日1、复数列的极限§1复数项级数定义1不收敛的数列称为发散数列.2第二页，共六十四页，2022年，8月28日定理1证明3第三页，共六十四页，2022年，8月28日4第四页，共六十四页，2022年，8月28日2、复数项级数级数前n项的和---级数的部分和---无穷级数定义2设复数列定义35第五页，共六十四页，2022年，8月28日根据复数项级数收敛的定义，我们有定理2由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为两个实数项级数的收敛问题.6第六页，共六十四页，2022年，8月28日常见实级数敛散性判别法：1）比较法；2）比值法；3）根值法；4）交错级数的莱布尼兹判别法.注意：定理3的逆命题不成立！定理3注意经常应用定理3的逆否命题！性质7第七页，共六十四页，2022年，8月28日定理4证明定理5由不等式*，我们得到8第八页，共六十四页，2022年，8月28日定义49第九页，共六十四页，2022年，8月28日解例210第十页，共六十四页，2022年，8月28日11第十一页，共六十四页，2022年，8月28日§2幂级数1、函数项级数定义1设复变函数列：-----称为复变函数项级数；级数前n项的和-----级数的部分和；12第十二页，共六十四页，2022年，8月28日2、幂级数定义2的函数项级数称为幂级数.13第十三页，共六十四页，2022年，8月28日关于幂级数的收敛性问题，我们有著名的阿贝尔定理：定理1(----Abel定理）.,,)0(000级数必绝对收敛的

则对满足收敛在⑴若级数zzzzzzcnnn<¹=å¥=.,,00级数必发散的则对满足发散⑵若级数在zzzzz>=14第十四页，共六十四页，2022年，8月28日级数皆收敛且绝对收敛.级数皆发散.z0收敛点0.xyz0发散点0.yx15第十五页，共六十四页，2022年，8月28日证明16第十六页，共六十四页，2022年，8月28日(2)用反证法，对于幂级数（1），请写出相应的阿贝尔定理.17第十七页，共六十四页，2022年，8月28日3、幂级数的收敛圆与收敛半径由Abel定理，幂级数（3）的收敛情况不外乎下述三种情况：(1)对所有的z，级数(3)都收敛.(2

)仅在z=0处级数(3)收敛.

这时，级数(3)在复平面上除z=0外处处发散.18第十八页，共六十四页，2022年，8月28日显然，<.否则，级数(3)将在处发散.:定理，在圆周由.)3(:)3(发散数外，级在圆周收敛；内，级数baba==zczcAbel19第十九页，共六十四页，2022年，8月28日故20第二十页，共六十四页，2022年，8月28日幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散.请分析幂级数(2)的收敛范围.如何求幂级数的收敛半径呢?我们先讨论下面的一个定理:21第二十一页，共六十四页，2022年，8月28日22第二十二页，共六十四页，2022年，8月28日23第二十三页，共六十四页，2022年，8月28日例1解所以24第二十四页，共六十四页，2022年，8月28日

综上思考题:提示:本题不能直接利用定理3（为什么？）.25第二十五页，共六十四页，2022年，8月28日例2求下列幂级数的收敛半径：解(1)26第二十六页，共六十四页，2022年，8月28日27第二十七页，共六十四页，2022年，8月28日4、幂级数的性质

定理4---幂级数的逐项求导运算

实际上，幂级数在收敛圆内可以逐项求导至任意阶导数.28第二十八页，共六十四页，2022年，8月28日---幂级数的逐项积分运算注：定理4为今后将函数展开成幂级数提供了极大的方便.29第二十九页，共六十四页，2022年，8月28日5、幂级数的运算与实幂级数一样，复幂级数也可以进行代数运算.

---幂级数的加、减运算则30第三十页，共六十四页，2022年，8月28日---幂级数的乘法运算（即用第一个幂级数的每一项乘第二个级数，然后合并同次幂系数.）注：上面的运算在两个级数中的较小的收敛圆内成立.但这并不意味着运算后级数的收敛半径就是上面两个级数中的较小一个收敛半径.31第三十一页，共六十四页，2022年，8月28日---幂级数的代换(复合)运算在函数展成幂级数中很有用.例3解：注意到32第三十二页，共六十四页，2022年，8月28日所以代换展开还原33第三十三页，共六十四页，2022年，8月28日本讲小结1、级数收敛的定义和性质2、Abel定理3、幂级数的收敛半径4、幂级数的性质34第三十四页，共六十四页，2022年，8月28日§3泰勒级数

我们知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆的是解析函数，现在我们考虑与此相反的问题：一个解析函数是否能用幂级数来表示？1、泰勒展开定理对实函数而言，一个关键性条件是：应在展开点处具有任意阶导数.对于复变函数来说，由于解析函数具有任意阶的导数，所以这一条件是满足的.下面给出关于这一问题的结论.35第三十五页，共六十四页，2022年，8月28日定理1（Taylor定理）Dk证明：36第三十六页，共六十四页，2022年，8月28日Dkz把上面的式子代入(2),并把它改写成下面的形式37第三十七页，共六十四页，2022年，8月28日而(3)又可以写为38第三十八页，共六十四页，2022年，8月28日39第三十九页，共六十四页，2022年，8月28日40第四十页，共六十四页，2022年，8月28日事实上，设f(z)用另外的方法展开为幂级数:由此可见，解析函数展开成幂级数就是它的Taylor级数，因而是唯一的.41第四十一页，共六十四页，2022年，8月28日42第四十二页，共六十四页，2022年，8月28日(1)直接法----利用公式;(2)间接法----由已知函数的展开式，运用级数的代数运算、分析运算等方法来展开.函数展开成Taylor级数的方法：例如43第四十三页，共六十四页，2022年，8月28日2、几个初等函数的泰勒展开式例1解:思考题:44第四十四页，共六十四页，2022年，8月28日45第四十五页，共六十四页，2022年，8月28日例2把下列函数展开成z的幂级数:解46第四十六页，共六十四页，2022年，8月28日(2)因ln(1+z)在从z=-1向左沿负实轴剪开的平面内解析，ln(1+z)离原点最近的一个奇点是-1,所以它的展开式的收敛范围为z<1.注：以上几个展式显然与相应的实函数展式一致.（逐项积分、求导，收敛半径不变）47第四十七页，共六十四页，2022年，8月28日例3解48第四十八页，共六十四页，2022年，8月28日若f(z)在z0解析，则f(z)可以在z0的某邻域

内展开成z-z0的幂级数.一个自然的问题是:如果在环域r<z-z0<R内解析，

f(z)能否用级数表示呢？§4洛朗(Laurent)级数

本节将讨论在以z0为中心的圆环形区域内解析的函数的级数表示法.它是后面研究的解析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数和计算留数的基础.49第四十九页，共六十四页，2022年，8月28日1、双边幂级数---含有正负幂项的级数定义具有如下形式的级数称为双边幂级数，正幂项(包括常数项)部分：负幂项部分：50第五十页，共六十四页，2022年，8月28日级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R

，则当z-z0<R时，级数收敛;当z-z0>R时，级数发散.

51第五十一页，共六十四页，2022年，8月28日z0rRz0Rr52第五十二页，共六十四页，2022年，8月28日

现在我们考虑相反的问题：在圆环内解析的函数能否展开成一个双边幂级数呢？这也是本节开始提出的问题.关于这个问题的答案是肯定的，这就是下面要讨论的洛朗定理.53第五十三页，共六十四页，2022年，8月28日2、函数展开成双边幂级数定理)5()()(,:)(00则内解析在设.0的任何一条简单闭曲线内绕是zDczzczfRzzrDzfnnn-=<-<å¥-¥=54第五十四页，共六十四页，2022年，8月28日

(2)在许多实际应用中，经常遇到f(z)在奇点z0的去心邻域内解析，需要把f(z)展成级数，那么就利用洛朗（Laurent）级数来展开.级数（5）中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分.55第五十五页，共六十四页，2022年，8月28日由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可用间接法.在大多数情况，均采用这一简便的方法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式.例1解：56第五十六页，共六十四页，2022年，8月28日例2解：例357第五十七页，共六十四页，2022年，8月28日例4xyo12xyo12xyo1258第五十八页，共六十四页，2022年，8月28日解:59第五十九页，共六十四页，2022年，8月28日60第六十页，共六十四页，2022年，8月28日61