第五章拉伸剪切与挤压的强度计算

第五章拉伸剪切与挤压的强度计算第一页，共四十一页，2022年，8月28日●变形构件在载荷作用下，其形状和尺寸发生变化的现象●变形固体的变形通常可分为两种：（1）弹性变形---载荷解除后变形随之消失的变形●材料力学研究的主要是弹性变形，并且只限于弹性小变形，即变形量远远小于其自身尺寸的变形（2）塑性变形---载荷解除后变形不能消失的变形第二页，共四十一页，2022年，8月28日变形固体的基本假设（1）均匀连续性假设假设材料无间隙、均匀地充满物体空间，各部分的性质相同。（2）各向同性假设假设材料沿各个方向的力学性能是相同的。（3）小变形假设设定材料在外力作用下的变形与其本身尺寸相比极小，可略去不计第三页，共四十一页，2022年，8月28日第五章拉伸（压缩）、剪切与挤压的强度计算强度---构件抵抗破坏的能力刚度---构件抵抗变形的能力稳定性---构件保持原有平衡状态的能力材料的力学性能是指材料在外力作用下其强度和变形等方面表现出来的性质。构件的承载能力：内力的概念构件在受外力作用时，形状和尺寸将发生变化，其内部质点之间的相互作用力也将随之改变，这个因外力作用而引起的构件内部相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。第四页，共四十一页，2022年，8月28日正应力、切应力应力的概念△F△APm=正应力σ（垂直于截面的应力）切应力τ（相切于截面的应力）

应力单位为：1Pa=1N/m2（帕或帕斯卡)常用单位：MPa（兆帕），1MPa=106Pa=1N/mm2A—截面面积●平均应力Pm，如图所示●单位面积上内力的大小，称为应力单位面积上轴力的大小，称为正应力单位面积上剪力的大小，称为切应力第五页，共四十一页，2022年，8月28日第一节轴向拉伸与压缩的概念、截面法、轴力与轴力图FFFF拉压杆受力特点：

外力(或外力的合力)沿杆件的轴线作用，且作用线与轴线重合。

变形特点：杆沿轴线方向伸长(或缩短)，沿横向缩短(或伸长)。

发生轴向拉伸与压缩的杆件一般简称为拉(压)杆。

第六页，共四十一页，2022年，8月28日一、内力与用截面法求内力轴力:

外力引起的杆件内部相互作用力的改变量。

拉(压)杆的内力。FFmmFFNFF′N由平衡方程可求出轴力的大小：规定：FN的方向离开截面为正(受拉),指向截面为负(受压)。

内力：第七页，共四十一页，2022年，8月28日轴力图：

以上求内力的方法称为截面法，截面法是求内力最基本的方法。用平行于杆轴线的x坐标表示横截面位置，用垂直于x的坐标FN表示横截面轴力的大小，按选定的比例，把轴力表示在x-FN坐标系中，描出的轴力随截面位置变化的曲线，称为轴力图。FFmmxFN注意：截面不能选在外力作用点处的截面上。第八页，共四十一页，2022年，8月28日例1

已知F1=20KN，F2=8KN，F3=10KN，试用截面法求图示杆件指定截面1－1、2－2、3－3的轴力,并画出轴力图。

F2F1F3ABCD112332解:外力FR，F1，F2，F3将杆件分为AB、BC和CD三段，取每段左边为研究对象，求得各段轴力为：FRF2FN1F2F1FN2F2F1F3FN2FN3FN1=F2=8KNFN2=F2-F1

=-12KNFN3=F2+F3-

F1

=-2KN

轴力图如图:

xFNCDBA8KN-12KN-2KN第九页，共四十一页，2022年，8月28日例2F1=2.5kN,F3=1.5kN,画杆件轴力图。解：1)截面法求AC段轴力，沿截面1-1处截开，取左段如图所示∑Fx=0

FN1-F1=0得：FN1=F1=2.5kN2)求BC段轴力，从2-2截面处截开，取右段，如图所示∑Fx=0

–FN2-F3=0得：FN2=-F3=-1.5kN（负号表示所画FN2方向与实际相反）3)右图为AB杆的轴力图第十页，共四十一页，2022年，8月28日

内力在截面上的集度称为应力(垂直于杆横截面的应力称为正应力，平行于横截面的称为切应力)。应力是判断杆件是否破坏的依据。

单位是帕斯卡，简称帕，记作Pa，即l平方米的面积上作用1牛顿的力为1帕，1N／m2＝1Pa。

1kPa＝103Pa，1MPa＝106Pa

1GPa＝109Pa第二节拉压杆横截面上的应力、应变及胡克定理一、杆件在一般情况下应力的概念第十一页，共四十一页，2022年，8月28日二、拉(压)杆横截面上的正应力

根据杆件变形的平面假设和材料均匀连续性假设可推断：轴力在横截面上的分布是均匀的，且方向垂直于横截面。所以，横截面的正应力σ计算公式为：

σ=MPaFN表示横截面轴力（N）A表示横截面面积（mm2）

FFmmnnFFN平面假设变形前的横截面，变形后仍为平面，仅其位置略作平移，这一假设称为平面假设。第十二页，共四十一页，2022年，8月28日三、变形与应变

1.绝对变形:规定：L—等直杆的原长d—横向尺寸L1—拉(压)后纵向长度d1—拉(压)后横向尺寸纵向变形：横向变形：

拉伸时纵向变形为正，横向变形为负；压缩时纵向变形为负，横向变形为正。

纵向变形和横向变形统称为绝对变形。

第十三页，共四十一页，2022年，8月28日拉(压)杆的变形

2.相对变形（线应变）：

单位长度的变形量。′＝纵向线应变横向线应变纵向线应变和横向线应变均为无量纲量第十四页，共四十一页，2022年，8月28日虎克定律：实验表明，对拉(压)杆，当应力不超过某一限度时，杆的纵向变形与轴力FN成正比，与杆长L成正比，与横截面面积A成反比。这一比例关系称为虎克定律。引入比例常数E，其公式为:

E为材料的拉(压)弹性模量，单位是Gpa

FN、E、A均为常量，否则，应分段计算。

由此，当轴力、杆长、截面面积相同的等直杆,E值越大，就越小，所以E值代表了材料抵抗拉(压)变形的能力，是衡量材料刚度的指标。

或第十五页，共四十一页，2022年，8月28日例3

如图所示杆件，求各段内截面的轴力和应力，并画出轴力图。若杆件较细段横截面面积，较粗段，材料的弹性模量，求杆件的总变形。

LL10KN40KN30KNABC解：分别在AB、BC段任取截面，如图示，则：

FN1=10KN10KNFN110KNσ1=FN1/A1

=50MPa30KNFN2

FN2=-30KNσ2=FN2/A2=100

MPa轴力图如图：xFN10KN30KN第十六页，共四十一页，2022年，8月28日由于AB、BC两段面积不同，变形量应分别计算。由虎克定律：可得：AB10KNX100mm200GPaX200mm2==0.025mmBC-30KNX100mm200GPaX300mm2==-0.050mm=-

0.025mm第十七页，共四十一页，2022年，8月28日第三节材料在拉压时的力学性能材料的力学性能：材料在外力作用下，其强度和变形方面所表现出来的性能。它是通过试验的方法测定的，是进行强度、刚度计算和选择材料的重要依据。

工程材料的种类：根据其性能可分为塑性材料和脆性材料两大类。低碳钢和铸铁是这两类材料的典型代表，它们在拉伸和压缩时表现出来的力学性能具有广泛的代表性。第十八页，共四十一页，2022年，8月28日一、拉伸实验和应力——应变曲线

1.常温、静载试验：L0=5~10d0L0d0FF低碳钢标准拉伸试件安装在拉伸试验机上，然后对试件缓慢施加拉伸载荷，直至把试件拉断。根据拉伸过程中试件承受的应力和产生的应变之间的关系，可以绘制出该低碳钢的曲线。

第十九页，共四十一页，2022年，8月28日二、低碳钢曲线分析：试件在拉伸过程中经历了四个阶段，有两个重要的强度指标。

ob段—弹性阶段(比例极限σp弹性极限σe)cd段—强化阶段

抗拉强度

de段—缩颈断裂阶段

Oabcdepebc段—屈服阶段屈服点

第二十页，共四十一页，2022年，8月28日oa段是直线，应力与应变在此段成正比关系，材料符合虎克定律σ＝Ｅε，直线oa的斜率tanα=E就是材料的弹性模量，直线部分最高点所对应的应力值记作σp，称为材料的比例极限。曲线超过a点，图上ab段已不再是直线，说明材料已不符合虎克定律。但在ab段内卸载，变形也随之消失，说明ab段也发生弹性变形，所以ab段称为弹性阶段。b点所对应的应力值记作σe，称为材料的弹性极限。1.弹性阶段

比例极限σp弹性极限与比例极限非常接近，工程实际中通常对二者不作严格区分，而近似地用比例极限代替弹性极限。

第二十一页，共四十一页，2022年，8月28日

曲线超过b点后，出现了一段锯齿形曲线，这一阶段应力没有增加，而应变依然在增加，材料好像失去了抵抗变形的能力，把这种应力不增加而应变显著增加的现象称作屈服，bc段称为屈服阶段。屈服阶段曲线最低点所对应的应力称为屈服点(或屈服极限)。在屈服阶段卸载，将出现不能消失的塑性变形。工程上一般不允许构件发生塑性变形，并把塑性变形作为塑性材料破坏的标志，所以屈服点是衡量材料强度的一个重要指标。

2.屈服阶段

屈服点第二十二页，共四十一页，2022年，8月28日经过屈服阶段后，曲线从c点又开始逐渐上升，说明要使应变增加，必须增加应力，材料又恢复了抵抗变形的能力，这种现象称作强化，cd段称为强化阶段。曲线最高点所对应的应力值记作，称为材料的抗拉强度(或强度极限)，它是衡量材料强度的又一个重要指标。

曲线到达d点前，试件的变形是均匀发生的，曲线到达d点，在试件比较薄弱的某一局部(材质不均匀或有缺陷处)，变形显著增加，有效横截面急剧减小，出现了缩颈现象，试件很快被拉断，所以de段称为缩颈断裂阶段。

3.强化阶段

抗拉强度σb4.缩颈断裂阶段第二十三页，共四十一页，2022年，8月28日试件拉断后，弹性变形消失，但塑性变形仍保留下来。工程上用试件拉断后遗留下来的变形表示材料的塑性指标。常用的塑性指标有两个:

伸长率:%断面收缩率:%L1—试件拉断后的标距L0—是原标距A1—试件断口处的最小横截面面积A0—原横截面面积。

、值越大，其塑性越好。一般把≥5％的材料称为塑性材料，如钢材、铜、铝等；把<5％的材料称为脆性材料，如铸铁、混凝土、石料等。

塑性指标:第二十四页，共四十一页，2022年，8月28日三、低碳钢压缩时的力学性能

O比较低碳钢压缩与拉伸曲线,在直线部分和屈服阶段大致重合，其弹性模量比例极限和屈服点与拉伸时基本相同，因此低碳钢的抗拉性能与抗压性能是相同的。屈服阶段以后，试件会越压越扁，先是压成鼓形，最后变成饼状，故得不到压缩时的抗压强度。因此对于低碳钢一般不作压缩试验。

F第二十五页，共四十一页，2022年，8月28日屈服极限强度极限A3钢：235MPa372-392MPa

35钢：31452945钢：353598

16Mn：343510第二十六页，共四十一页，2022年，8月28日四、铸铁拉伸时的力学性能

O铸铁是脆性材料的典型代表。曲线没有明显的直线部分和屈服阶段，无缩颈现象而发生断裂破坏，塑性变形很小。断裂时曲线最高点对应的应力值称为抗拉强度。铸铁的抗拉强度较低。

曲线没有明显的直线部分，应力与应变的关系不符合虎克定律。但由于铸铁总是在较小的应力下工作，且变形很小，故可近似地认为符合虎克定律。通常以割线Oa的斜率作为弹性模量E。

a第二十七页，共四十一页，2022年，8月28日五、铸铁压缩时的力学性能OFF曲线没有明显的直线部分，应力较小时，近似认为符合虎克定律。曲线没有屈服阶段，变形很小时沿与轴线大约成45°的斜截面发生破裂破坏。曲线最高点的应力值称为抗压强度。铸铁材料抗压性能远好于抗拉性能，这也是脆性材料共有的属性。因此，工程中常用铸铁等脆性材料作受压构件，而不用作受拉构件。

第二十八页，共四十一页，2022年，8月28日一、极限应力、许用应力和安全系数●许用应力：构件安全工作时材料允许承受的最大应力。构件的工作应力必须小于材料的极限应力。塑性材料：脆性材料：ns、n

b是安全系数:

ns=1.4～1.7

n

b＝2.5～3.0●极限应力：材料丧失正常工作能力时的应力。塑性变形是塑性材料破坏的标志。屈服点或条件屈服极限为塑性材料的极限应力；断裂是脆性材料破坏的标志，因此把抗拉强度和抗压强度，作为脆性材料的极限应力。

第四节拉压杆的强度计算（与拉压静不定问题）第二十九页，共四十一页，2022年，8月28日

除低碳钢、中碳钢及少数合金钢有屈服现象外，大多数金属材料没有明显的屈服现象。国标规定，以产生试样标长的0.2%残余变形时的应力作为其屈服极限，以表示。为条件屈服极限。第三十页，共四十一页，2022年，8月28日二、拉(压)杆的强度条件

因为拉（压）杆横截面上的轴力沿截面的法向，故横截面上只有正应力σ正应力的符号与轴力符号规定相同，即拉应力为正，压应力为负。第三十一页，共四十一页，2022年，8月28日强度计算：

为了使构件不发生拉(压)破坏，保证构件安全工作的条件是：最大工作应力不超过材料的许用应力。这一条件称为强度条件。

≤[]应用该条件式可以解决以下三类问题：校核强度、设计截面、确定许可载荷。第三十二页，共四十一页，2022年，8月28日１.强度校核：

已知FN和A，可以校核强度，即考察强度是否够用２.设计截面:已知FN和[σ]，可以设计构件的截面A（几何形状）3.确定许用载荷:已知A和[σ]，可以确定许用载荷强度条件的工程应用有以下三个方面第三十三页，共四十一页，2022年，8月28日DpdF例4：

某铣床工作台进给油缸如图所示，缸内工作油压p=2MPa，油缸内径D＝75mm，活塞杆直径d＝18mm，已知活塞杆材料的许用应力[]＝50MPa，试校核活塞杆的强度。

解：1.求活塞杆的轴力。设缸内受力面积为A1，则：2.校核强度。活塞杆的工作应力为：<50MPa所以，活塞杆的强度足够。

第三十四页，共四十一页，2022年，8月28日FFbh例5：图示钢拉杆受轴向载荷F=40kN，材料的许用应力[]=100MPa，横截面为矩形，其中h=2b，试设计拉杆的截面尺寸h、b。

解：求拉杆的轴力:FN=F=40kN则：拉杆的工作应力为：=FN/A=40x1000/bh=40000/2b=20000/b≤[σ]=10022