精选条件极值问题和乘数法讲义

（优选）条件极值问题与乘数法当前1页，总共41页。光的折射问题空气水··ABabc问：光线沿何路径由A到B？物理：光线依时间最短路线行进！C求t的最小值！当前2页，总共41页。条件极值以前讨论的极值问题对自变量只有定义域限制，有时，除受自变量定义域限制外,还受到其他的限制.例如，要设计一个容量为V

的长方体开口水箱，试问水箱的长、宽、高各为多少时，其表面积最小？为此，设水箱的长、宽、高分别为x,y,z

,则表面积为依题意，上述的长、宽、高不仅要符合定义域的要求：

x>0,y>0,z>0,而且还须满足条件当前3页，总共41页。这类附有约束条件的极值问题称为条件极值.条件极值问题的一般形式是等式约束：即在条件组：的限制下，求目标函数的极值.当前4页，总共41页。条件极值的一种求解方法是代入法.

例如，在上述例子中，由条件解出代入目标函数中，然后求这个函数的无条件极值.得到思路：将条件极值化为无条件极值！当前5页，总共41页。条件极值的几何解释当前6页，总共41页。当前7页，总共41页。然而在一般情形下，这种方法往往是行不通的，因为要从条件组

下面介绍的拉格朗日乘数法是求条件极值的一种有效方法.解出m

个变元常常是不可能的.当前8页，总共41页。拉格朗日乘数法则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,由极值的必要条件，知极值点x0

必满足设

记故有因即当前9页，总共41页。引入辅助函数辅助函数L称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格

极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.想法：把上面的条件极值点转化为一般极值点问题构造一个函数使得其极值点就是上面函数的条件极值点当前10页，总共41页。1.作拉格朗日函数利用拉格朗日乘数法求函数在条件下的极值步骤如下：2.求拉格朗日函数的极值先求解拉格朗日函数的偏导数构成的方程组：再考察驻点是否是极值点当前11页，总共41页。拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组例如,求函数下的极值.在条件可得到条件极值的可疑点.当前12页，总共41页。例.要设计一个容量为V

的长方体开口水箱,问

求x,y,z令解方程组解:

设x,y,z分别表示长、宽、高,

下水箱表面积最小.使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？⑴⑵⑶⑷当前13页，总共41页。⑴－⑵得若于是代入⑴式得不合题意.若代入⑶式得代入⑴式得代入⑷式得当前14页，总共41页。得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为当前15页，总共41页。思考:当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示:

利用对称性可知,当前16页，总共41页。例.抛物面这个问题实质上就是求函数解

被平面求这个椭圆到原点的最长与最短距离.截成一个椭圆.在条件下的最大值、最小值问题.应用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数当前17页，总共41页。令L

的一阶偏导数都等于零，则有⑴⑵⑶⑷⑸⑴－⑵得不合题意，舍去；当前18页，总共41页。则代入⑷式后，再将⑷代入⑸得解得这就是拉格朗日函数的驻点，由于f

在有界闭集上连续，故所求问题存在最大值与最小值.当前19页，总共41页。计算得所以该椭圆到原点的最长距离为最短距离得：计算当前20页，总共41页。例

试求函数在条件下的最小值,并由此导出相应的不等式.解

设并使当前21页，总共41页。由此方程组易得下面给出是条件最小值的理由.都使得故存在又设由于为一有界闭集,为连续函数,因此在当前22页，总共41页。上存在最大值和最小值.而在及上,f的值已大于故f

在S

上的最小值必在的内部取得.又因内部只有惟一可疑点所以必定有最后,在不等式中,用代入,就得到一个新的不等式:当前23页，总共41页。经整理后,就是“调和平均不大于几何平均”

这个著名的不等式:当前24页，总共41页。当前25页，总共41页。当前26页，总共41页。当前27页，总共41页。当前28页，总共41页。当前29页，总共41页。当前30页，总共41页。当前31页，总共41页。当前32页，总共41页。当前33页，总共41页。当前34页，总共41页。注意应用Lagrange乘数法求解条件极值问题，产生的方程组变量个数可能比较大，似乎解这个方程组往往是很困难的。但注意我们可以利用变量之间的关系（也就是问题给出的条件），找到解方程组的简便的方法，而不要用死板的方法去解方程组。当前35页，