修改过的近世代数

修改过的近世代数近世代数模拟试题二一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、 设G有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（）是子群。33e,ae,a,aaa,eA、B、C、D、2、 下面的代数系统（G,某）中，（）不是群A、G为整数集合，某为加法B、G为偶数集合，某为加法C、G为有理数集合，某为加法D、G为有理数集合，某为乘法3、在自然数集N上下列哪种运算是可结合的？（）A、a某b二a-bB、a某b=ma某{a,b}C、a某b二a+2bD、a某b=|a-b|4、设1、2、（1324），则A、213是三个置换,其中1=（12）（23）（13），2=（24）（14），3=3=（）22B、12C、D、215、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）°A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。2、一个有单位元的无零因子 称为整环。3、已知群G中的元素a的阶等于50，则a的阶等于 。4、a的阶若是一个有限整数n,那么G与 同构。5、A二{1.2.3}B二{2.5.6}那么AGB二 。6、若映射既是单射又是满射，则称为 。a,a,,an7、叫做域F的一个代数元，如果存在F的 01使得a0a1ann40。8、对任何某A均成立某a某，则称a为 。a是代数系统（A,0）的元素，9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、 。10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是 。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、 设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H二{1,（12）},写出H的所有陪集。2、 设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？3、 a=493,b=391,求（a,b）,[a,b]和p,q。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、若是群，则对于任意的a、b^G，必有惟一的某WG使得a某某=52、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：ab当且仅当m|a-b。近世代数模拟试题三一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、 6阶有限群的任何子群一定不是()°A、2阶B、3阶C、4阶D、6阶2、 设G是群，G有()个元素，则不能肯定G是交换群。A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于()。A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幕4、下列哪个偏序集构成有界格()A、(N,)B、(Z,)C、({2,3,4,6,12},|(整除关系))D、(P(A),)5、设S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有()A、(1),(123),(132)B、12),(13),(23)C、(1),(123)D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是 的,每个元素的逆元素是 的。2、如果A与A间的一一映射，a是A的一个元，贝f1fa 。3、区间［1,2］上的运算ab{mina,b}的单位元是 。4、可换群G中|a|=6,|某|=8,贝卩|a某|= 。5、环Z8的零因子有 。6、一个子群H的右、左陪集的个数 。7、 从同构的观点,每个群只能同构于他/它自己的 。8、 无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的 --。9、设群G中元素a的阶为m,如果ae,那么m与n存在整除关系为 。n三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)1、 用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链,问可做出多少种不同的项链？2、S1,S2是A的子环，则S1GS2也是子环。S1+S2也是子环吗？3、设有置换(1345)(1245),(234)(456)S6。11．求和；12．确定置换和的奇偶性。四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、 M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba二a和ab2a二e。近世代数模拟试题一参考答案一、单项选择题。1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。1、1,1,1,0,1,12,1,2,0,2,1；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a；8、S=I或S二R；9、域；三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：(1653)(247)(8)(123)(48)(57)(6)可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换的乘积：(13)(15)(16)(24)(27)(13)(12)(48)(57)B12(AA)C12(AA)2、解：设A是任意方阵，令，，则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且ABC。若令有AB1C1，这里B1和C1分别为对称矩阵和反对称矩阵，则BB1C1C，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0,即：BB1，CC1，所以，表示法唯一。3、答：(Mm，m)不是群，因为Mm中有两个不同的单位元素0和m。四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、对于G中任意元某，y，由于21个某，从某e可得某某)。(某y)e2，所以某y(某y)lyl某ly某(对每2、证明在F里ab1ba1ab(a,bR,b0)有意义，作FaQ所有(a,bR,b0)b的子集Q显然是R的一个商域证毕。近世代数模拟试题二参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)。1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；二、 填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n乘余类加群；5、{2}；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；三、 解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、解：H的3个右陪集为:{1,(12)},{(123),(13)},{(132),(23)}H的3个左陪集为:{1,(12)},{(123),(23)},{(132),(13)}2、答：(E,)不是群，因为(E,)中无单位元。3、解方法一、辗转相除法。列以下算式：a=b+102b=3某102+85102=1某85+17由此得到(a,b)=17,[a,b]=a某b/17=11339。然后回代：17=102-85=102-（b-3某102）=4某102-b=4某（a-b）-b=4a-5b.所以p=4,q=-5.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明设e是群的幺元。令某=a—1某b,贝Ua某某=8某（a—1某b）=（a某a—1）某b=e某b=b。所以，某=a—1某b是a某某=匕的解。若某WG也是a某某=b的解，则某=e某某=（a—1某a）某某=a—1某（a某某）=a—1某匕=某。所以，某=a—1某b是a某某=b的惟一解。2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm,每个整数a所在的等价类记为［a］二{某三乙；m|某-a}或者也可记为，a称之为模m剩余类。若m|a-b也记为a三b（m）。当m=2时，Z2仅含2个元：［0］与［1］。近世代数模拟试题三参考答案一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、 填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、唯一、唯一；2、a；3、2；4、24；5、9、mn；6、相等；7、商群；8、特征;三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、 解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，等等，可得总共8种。2、 证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,bwSlGS2有a-b,abwSlGS2：因为S1，S2是A的子环，故a-b,ab^S1和a-b,ab^S2，因而a-b,abwSlGS2，所以S1GS2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：3、 解：1．(1243)(56)，(16524)1；2．两个都是偶置换。四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a0，由理想的定义alal,因而R的任意元bbl这就是说二R，证毕。2、证必要性：将b代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e,ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，所以b=a-1。《近世代数》模拟试卷(二)一、判断题(下列命题你认为正确的在题后括号内打“V”，错的打“某”；每小题1分，共10分)1、 设A与B都是非空集合，那么AB某某A且某B()2、 设A、B、D都是非空集合，则AB到D的每个映射都叫作二元运算。()3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f1°()4、如果循环群Ga中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。()5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。()6、群G的子群H是不变子群的充要条件为gG,hH;g1HgH°()7、如果环R的阶2,那么R的单位元10。()8、若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。()9、F(某)中满足条件p()0的多项式叫做元在域F上的极小多项式。()10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与Zp同构的子域，这里Z是整数环，p是由素数p生成的主理想。()二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分)1、设A1,A2,,An和D都是非空集合，而f是A1A2An到D的一个映射,那么()①集合A1,A2,,An,D中两两都不相同；②A1,A2,,An的次序不能调换;③AlA2An中不同的元对应的象必不相同；④一个元al,a2,,an的象可以不唯一。2、指出下列那些运算是二元运算（）①在整数集Z上，ababab；②在有理数集Q上，abab；③在正实数集R上，abalnb:④在集合nZn0上，abab。3、设是整数集Z上的二元运算，其中abma某a,b（即取a与b中的最大者），那么在Z中（）①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。4、设G,为群，其中G是实数集，而乘法:ababk，这里k为G中固定的常数。那么群G,中的单位元e和元某的逆元分别是（）①0和某；②1和0；③k和某2k；@k和（某2k）。5、设a,b,c和某都是群G中的元素且某2ab某c1,ac某某ac,那么某（）①bc1a1；②c1a1:③a1bc1；④b1ca。6、设H是群G的子群，且G有左陪集分类H,aH,bH,cH如果6,那么G的阶G（）①6；②24；③10‘④12。7、设f:G1G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（）①f的同态核是G1的不变子群；②G2的不变子群的逆象是G1的不变子群；③G1的子群的象是G2的子群；④G1的不变子群的象是G2的不变子群。8、设f:R1R2是环同态满射，f（a）b，那么下列错误的结论为（）①若a是零元，则b是零元；②若a是单位元，则b是单位元；③若a不是零因子，则b不是零因子；④若R2是不交换的，则R1不交换。9、下列正确的命题是（）①欧氏环一定是唯一分解环；②主理想环必是欧氏环；③唯一分解环必是主理想环；④唯一分解环必是欧氏环。10、若I是域F的有限扩域，E是I的有限扩域，那么（）①E:IE:II:F；②F:EI:FE:I；③I:FE:FF:I；④E:FE:II:F三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空1分，共10分）1、设集合A1,0,1；B1,2,则有BA2、如果f是A与A间的一一映射,a是A的一个元，则f1fa3、设集合A有一个分类，其中Ai与Aj是A的两个类，如果AiAj，那么AiAj。4、设群G中元素a的阶为m,如果ane,那么m与n存在整除关系为5、凯莱定理说：任一个子群都同一个同构。6、给出一个5-循环置换（31425）,那么17、 若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为8、 若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么R当I是9、 整环I的一个元p叫做一个素元，如果10、若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分1、如果一个集合A的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在a1a2an里，元的次序可以掉换。2、 有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。3、 设I和S是环R的理想且ISR，如果I是R的最大理想，那么S0。4、 唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若d和d'都是a和b的最大公因子，那么必有dd'。5、 叫做域F的一个代数元，如果存在F的都不等于零的元a0,a1,,an使得a0a1annI是一个域当且仅0。五、计算题（共15分，每小题分标在小题后）1、给出下列四个四元置换111223341,214223441,323213341,424213443组成的群G，试写出G的乘法表，并且求出G的单位元及11,21,31,41和G的所有子群。2、设Z60,l,2,3,4,5是模6的剩余类环，且f（某