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文档简介
第一节坐标系·最新考纲·1.了解坐标系的作用.2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.3.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化.4.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.·考向预测·考情分析:极坐标与直角坐标、极坐标方程与直角坐标方程的互化,极坐标方程的应用.将是高考考查的热点,题型仍将是解答题.学科素养:通过极坐标方程的求解及应用考查数学运算、逻辑推理的核心素养.一、必记2个知识点1.极坐标的概念(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个定点O,叫做______,从O点引一条射线Ox,叫做_______,选定一个单位长度和角及其正方向(通常取逆时针方向),这样就确定了一个平面极坐标系,简称为________.极点极轴极坐标系(2)极坐标:对于平面内任意一点M,用ρ表示线段OM的长,θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度,ρ叫做点M的________,θ叫做点M的________,有序实数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记作M(ρ,θ).当点M在极点时,它的极径_______,极角θ可以取________.(3)点与极坐标的关系:平面内一点的极坐标可以有无数对,当k∈Z时,(ρ,θ),(ρ,θ+2kπ),(-ρ,θ+(2k+1)π)表示________,而用平面直角坐标表示点时,每一个点的坐标是唯一的.如果规定ρ>0,0≤θ<2π,或者-π<θ≤π,那么,除极点外,平面内的点和极坐标就一一对应了.极径极角ρ=0任意值同一个点2.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把平面直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,建立极坐标系,并在两种坐标系中取相同的单位长度,如图所示.(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ)(ρ>0,θ∈[0,2π)),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(x,y)极坐标(ρ,θ)互化公式ρ2=________tanθ=________在一般情况下,由tanθ确定角时,可根据点M所在的象限取最小正角.ρcosθρsinθx2+y2
二、必明2个常用结论1.极坐标的四个要素:①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向,四者缺一不可.2.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆_________________圆心为(r,0),半径为r的圆_________________圆心为,半径为r的圆_________________ρ=r(0≤θ<2π)
ρ=2rsinθ(0≤θ<π)过极点,倾斜角为α的直线(1)θ=α(ρ∈R)或θ=π+α(ρ∈R)(2)θ=α(ρ≥0)和θ=π+α(ρ≥0)过点(a,0),与极轴垂直的直线____________________
过点,与极轴平行的直线__________________过点(a,0),倾斜角为α的直线__________________ρsinθ=a(0<θ<π)ρsin(α-θ)=asinα
反思感悟极坐标方程与直角坐标方程的互化(1)直角坐标方程化为极坐标方程:将公式x=ρcosθ及y=ρsinθ直接代入直角坐标方程并化简即可.(2)极坐标方程化为直角坐标方程:通过变形,构造出形如ρcosθ,ρsinθ,ρ2的形式,再应用公式进行代换,其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧.
考点三曲线的极坐标方程及应用[综合性]
角度1曲线的极坐标方程[例2]
[2021·全国乙卷]在直角坐标系xOy中,⊙C的圆心为C(2,1),半径为1.(1)写出⊙C的一个参数方程;(2)过点F(4,1)作⊙C的两条切线.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.
反思感悟求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上任意一点;(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式;(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程.
反思感悟极坐标方程及其应用的解题策略(1)求点到直线的距离.先将极坐标系下点的坐
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