2020-2021学年高中数学-第二章-随机变量及其分布-2.1.2-离散型随机变量的分布列（二）跟

PAGE离散型随机变量的分布列[A组学业达标]1．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为()A.eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,50)) B.eq\f(C\o\al(1,5)＋C\o\al(2,5)＋C\o\al(3,5),C\o\al(3,50))C．1－eq\f(C\o\al(3,45),C\o\al(3,50)) D.eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,45)＋C\o\al(2,5)C\o\al(1,45),C\o\al(3,50))解析：出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品概率为eq\f(C\o\al(3,45),C\o\al(3,50))，故答案为1－eq\f(C\o\al(3,45),C\o\al(3,50)).答案：C2．一个箱内有9张票，其号数分别为1,2,3，…，9，从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,6) D.eq\f(5,6)解析：号数至少有一个奇数有两种情况，而其对立事件则全为偶数，其概率为eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,9))＝eq\f(1,6)，故答案为1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).答案：D3．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是()A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量XB．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量XC．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1取出白球,0取出红球))D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X解析：A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布．答案：A4．某射手射击所得环数X的分布列为：X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为()A．0.28 B．0.88C．0.79 D．0.51解析：P(X＞7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.答案：C5．从含有2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行某项调研活动，记女生入选的人数为ξ，则ξ的分布列为()A.ξ012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)B.ξ123Peq\f(1,15)eq\f(7,15)eq\f(7,15)C.ξ012Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)D.ξ012Peq\f(1,15)eq\f(7,15)eq\f(7,15)解析：ξ的所有可能取值为0,1,2，“ξ＝0”表示入选的3人全是男生，则P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，“ξ＝1”则P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，“ξ＝2”则P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).因此ξ的分布列为：ξ012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)答案：A6．某人投篮的命中率是不命中概率的3倍，以随机变量X表示1次投篮的命中次数，则P(X＝1)＝________.解析：设不命中的概率为p，则命中的概率为3p，p＋3p＝1，p＝eq\f(1,4).P(X＝1)是1次投篮中命中的概率，即投篮命中率P(X＝1)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)7．10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为eq\f(16,45)，则a＝________.解析：根据题意，得eq\f(16,45)＝eq\f(C\o\al(1,10－a)C\o\al(1,a),C\o\al(2,10))，解得a＝2或a＝8.答案：2或88．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为________．解析：设所选女生数为随机变量X，X服从超几何分布，P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＋eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(4,5).答案：eq\f(4,5)9．从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数为ξ的分布列．解析：由题知随机变量ξ表示取出次品的件数，则ξ服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3，ξ的可能的取值为0,1,2，相应的概率依次为P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,13),C\o\al(3,15))＝eq\f(22,35)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,13),C\o\al(3,15))＝eq\f(12,35)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,13),C\o\al(3,15))＝eq\f(1,35).所以ξ的分布列为：ξ012Peq\f(22,35)eq\f(12,35)eq\f(1,35)10.某高级中学为更好地了解学生的学习和生活情况，以便给学生提供必要的帮助，在高一、高二、高三这三个年级分别邀请了10,15,25名学生代表进行调研．(1)从参加调研的学生代表中，随机抽取2名，求这2名学生代表来自不同年级的概率；(2)从参加调研的高一、高二年级学生代表中随机抽取2名，且X表示抽到的高一年级学生代表人数，求X的分布列．解析：(1)共50名学生代表，抽取2名的基本事件总数为Ceq\o\al(2,50)＝1225.记“2名学生代表来自不同年级”为事件M，则事件M包含的基本事件个数为Ceq\o\al(1,10)Ceq\o\al(1,15)＋Ceq\o\al(1,10)Ceq\o\al(1,25)＋Ceq\o\al(1,15)Ceq\o\al(1,25)＝775.根据古典概型的概率计算公式，得P(M)＝eq\f(775,1225)＝eq\f(31,49).(2)高一、高二年级分别有10,15名学生代表参加调研，从中抽取2名，抽到的高一年级的学生代表人数X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,10)C\o\al(2,15),C\o\al(2,25))＝eq\f(7,20)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(0,10)C\o\al(1,15),C\o\al(2,25))＝eq\f(1,2)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,10)C\o\al(0,15),C\o\al(2,25))＝eq\f(3,20).所以X的分布列为：X012Peq\f(7,20)eq\f(1,2)eq\f(3,20)[B组能力提升]11．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，则以eq\f(7,10)为概率的事件是()A．都不是一等品B．恰有一件一等品C．至少有一件一等品D．至多有一件一等品解析：P(都不是一等品)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(恰有一件一等品)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(6,10)，P(至少有一件一等品)＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10)，P(至多有一件一等品)＝1－eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(7,10).答案：D12．从只有3张有奖的10张彩票中不放回地随机逐张抽取，设X表示直至抽到有奖彩票时的次数，则P(X＝3)等于()A.eq\f(3,10) B.eq\f(7,10)C.eq\f(21,40) D.eq\f(7,40)解析：“X＝3”表示“前2次未抽到有奖彩票，第3次抽到有奖彩票”，故P(X＝3)＝eq\f(A\o\al(2,7)C\o\al(1,3),A\o\al(3,10))＝eq\f(7×6×3,10×9×8)＝eq\f(7,40)，选D.答案：D13．若随机变量X的分布列为P(X＝i)＝eq\f(i,10)(i＝1,2,3,4)，若P(1≤X＜a)＝eq\f(3,5)，则实数a的取值范围是________．解析：由题意得P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(1,10)＋eq\f(2,10)＋eq\f(3,10)＝eq\f(3,5)，又∵P(1≤x＜a)＝eq\f(3,5)，∴3＜a≤4.答案：3＜a≤414．若P(X≤x2)＝1－β，P(X≥x1)＝1－α，其中x1＜x2，则P(x1≤X≤x2)＝________.解析：∵P(X≤x2)＝1－β，∴P(X＞x2)＝β.∵P(X≥x1)＝1－α，∴P(X＜x1)＝α.∴P(x1≤X1≤x2)＝1－P(X＜x1)－P(X＞x2)＝1－α－β.答案：1－α－β15．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0＜x≤11＜x≤2x＞20＜x≤2x＞2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2