2021-2022学年安徽省蒙城一中、涡阳一中、淮南一中等五校高三上学期第一次联考理科数学试题（解析版）

蒙城一中涡阳一中淮南一中怀远一中颍上一中2022届高三第一次五校联考理科数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：【分析】根据函数的定义域和函数的值域，化简集合，再利用补集及交集定义，即可求解.【详解】∵，，∴，.故选：C.2.已知复数，则在复平面内表示复数的点位于（）A.实轴上 B.虚轴上 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：【分析】利用复数的乘法及除法运算可得，即得.【详解】∵复数，∴，∴在复平面内表示复数的点位于虚轴上.故选：B.3.若，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.答案：C解析：【分析】利用不等式的基本性质依次判断选项即可.【详解】对于A，由，知，故A错误；对于B，由，知，故B错误；对于C，由，知，故C正确；对于D，由，知，故D错误；故选：C.4.已知实数，满足，则由该不等式组确定的可行域的面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：【分析】根据不等式组画出可行域，结合三角形的面积公式计算即可.【详解】由不等式组画出表示的平面区域，如图，结合图形可知，.故选：D.5.已知命题：，；命题：，；则下列说法中正确的是（）A.是假命题 B.是真命题C.是假命题 D.是真命题答案：C解析：【分析】分别通过解对数不等式和构造函数证明不等式成立来判断命题和命题的真假，然后根据选项的组合一一验证排除，即可完成解答.【详解】命题：，，即，解得，故该命题错误；命题：，，设函数，，，所以令，解得，在上，，所以单调递减，在上，，所以单调递增，所以在处取得极小值，即，故，所以，对于恒成立，该命题正确；选项A，应为真命题，故选项A错误；选项B，应为假命题，故选项B错误；选项C，为假命题，故选项C正确；选项D，应为假命题，故选项D错误.故选：C.6.已知向量，，则的最大值为（）A. B. C. D.答案：D解析：【分析】根据题意可得，分和两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.【详解】由向量，，得，当时，，当时，，当且仅当，即时，取等号，综上的最大值为.故选：D.7.记为等差数列的前项和，已知，，则（）A. B.C. D.答案：B解析：【分析】将转化为，将转化为，然后两式联立，解得以及，最后根据等差数列通项公式以及前项和公式即可得出结果.【详解】设等差数列的公差为，则，，联立，解得，，则，，故选：B.8.将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若对任意的均有成立，则的图像（）A.关于对称 B.关于对称C.关于对称 D.关于对称答案：C解析：【分析】根据三角函数的平移伸缩变换可得，由题意可得且，进而求出，利用验证法依次判断选项即可.【详解】将函数图象向右平移4t个单位长度，得到，再将图象上各点横坐标缩短为原来的倍，得到，即，对任意恒成立，则，又，，所以，得，解得.A：当时，，故A错误；B：当时，，故B错误；C：当时，，所以图象关于点中心对称，故C正确；D：当时，，故D错误.故选：C.9.已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：【分析】原问题等价于函数与的图象有个不同的交点，对分和两种情况进行讨论，分别画出两个函数的图象，利用数形结合即可求解.【详解】因为时，，所以在上是周期函数，又当时，，所以，所以在上的图象如图所示，若函数有个零点，则函数与的图象有个不同的交点，当时，易得函数与的图象有且只有个不同的交点，不符合题意；当时，要使函数与的图象有个不同的交点，由图可知，解得；综上，实数的取值范围为.故选：A.10.已知函数的定义域为，则不等式的解集为（）A. B. C. D.答案：A解析：【分析】由题可得函数在上单调递减，在上单调递增，且关于对称，进而可得，即求.【详解】∵函数在上单调递减，在上单调递增，且关于对称，函数的对称轴为，函数在上单调递减，在上单调递增，∴函数在上单调递减，在上单调递增，且关于对称，∴由可得，，解得.故选：A.11.给出下列命题：①函数图像的对称中心为；②已知的内角，，的对边分别为，，.则是的充要条件；③若函数在区间上的最大值，最小值分别为，，则；④已知函数，则的最大值为.以上命题中正确的个数为（）A. B. C. D.答案：D解析：【分析】利用正切函数的性质可判断①，利用大角对大边及余弦函数的性质可判断②，利用奇函数的性质可判断③，通过构造函数，利用导数求函数最值可判断④.【详解】对于①，因为函数图像的对称中心为，故①错误；对于②，因为函数在上单调递减，所以，故是的充要条件，故②正确；对于③，设，，则，所以函数为奇函数，所以在区间上，即，所以在区间上的最大值，最小值分别为，，所以，故③正确；对于④，函数，令，设，，则，令，得，∴在区间，，函数单调递减，在区间上，函数单调递增，又，所以在上的最大值为，即的最大值为，故④正确；综上，命题正确的个数为.故选：D.12.设，，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：【分析】先比较与的大小，通过构造出，然后根据单调性可得；再比较和，通过构造进行适当放缩即可；最后比较和，也是运用函数进行适当放缩即可.【详解】设，则有：，令，解得：，故在上单调递增；令，解得：，故在上单调递减.可得：，即，即，故有：.设，则有：，则在上单调递增，，故，.故有：，同理：，综上可得：.故选：B.二、填空题13..答案：解析：【分析】根据定积分意义,画出几何图形,根据积分上限和下限即可求得其面积,即为积分值.【详解】令，则，画出图像如下图：所以定积分值为.14.曲线在点处的切线方程为.答案：解析：【分析】直接根据函数的导数的几何意义，求出函数在点处的切线方程的斜率为，进而求出切线方程.【详解】对求导可得：，则曲线在点处的切线方程的斜率为：，又.则切线方程为：.故答案为：.15.已知，又，，则.答案：（或）解析：【分析】利用同角关系式可得，，然后利用差角公式即求.【详解】∵，又，∴，，又，∴，当时，，当时，，此时不合题意.故答案为：.16.正项数列满足，.又是以为公比的等比数列，则使得不等式成立的正整数.答案：解析：【分析】利用等比数列的定义和通项公式可得，数列的奇数项，偶数项分别成公比为等比数列，再利用等比数列前项和公式和不等式的解法即可求解.【详解】依题意是首项为，公比为的等比数列，故，两边平方得，所以，两式相除得，故是以为首项，公比为的等比数列，故，所以，是以为首项.公比为的等比数列，故，所以，所以，由，经检验可知，符合题意.故答案为：.三、解答题17.设命题：函数定义域为；命题：使不等式能成立.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题为假命题，求实数的取值范围.答案：见解析解析：【分析】（1）由题意，，令，利用二次函数的图象与性质求出最大值即可求解；（2）由题意，命题为真命题，命题为假命题，由为真命题得且，由为假命题时，从而即可得答案.【详解】（1）因为命题是真命题，所以，令，则，当，即时等号成立，所以实数的取值范围为；（2）因为命题为假命题，所以命题为真命题，命题为假命题，由为真命题得：且，，所以且，由（1）知：当为假命题时，综上，实数的取值范围为且.18.已知的内角，，的对边分别为，，，向量，，．（1）求角；（2）若，且，求面积．答案：见解析解析：【分析】（1）根据向量平行的充要条件及正弦定理可求得，继而求出角.（2）利用余弦定理和正弦定理求出，利用三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）由题意得：，，即，又，，即，，，.（2），，又，，得，由正弦定理：，得．，．19.已知函数，其中.（1）求函数的极值；（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围.答案：见解析解析：【分析】（1）由题可得，分，讨论即得；（2）由题可得时不合题意，当时，分，讨论，结合极小值小于零及零点存在定理即得.【详解】（1）∵，函数的定义域是，∴，当时，，函数单调递增，此时无极值；当时，，，函数单调递减，，，函数单调递增，故是极小值，无极大值；综上：当时无极值；当时，是极小值，无极大值.（2）当时，单调递增，最多有一零点，不满足条件；当时，的极小值是，设，，在单调递增，∵，，∴，则的极小值大于等于零，最多有一零点，不满足条件.当时，的极小值，∵，，，所以在必有一零点；，在也有一零点，满足条件，故的取值范围是.20.淮南市位于安徽省中北部，地处长江三角洲腹地，淮河之滨，素有“中州咽喉，江南屏障”、“五彩淮南”之称，是沿淮城市群的重要节点，如图所示，淮南市准备在淮河的一侧修建一条直路，另一侧修建一条观光大道，它的前一段是以为顶点，轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段是函数，时的图像，，有，且最高点与点的距离为，，垂足为.（1）求函数的解析式；（2）若在淮河上修建如图所示的矩形水上乐园，问点落在曲线上何处时，水上乐园的面积最大？答案：见解析解析：【分析】（1）结合图象，根据求得的振幅，根据最高点与点的距离为，运用勾股定理求得的周期，然后根据点在曲线上求得；（2）先根据点坐标，进而求得抛物线的方程，然后表示出矩形的面积，最后研究面积的单调性即可【详解】（1）对于函数，由图象知：，，解得：，又，得，并将其代入到中，解得：，又，可得：.故.（2）在中，令，得，则曲线所在抛物线的方程为：，设点，则矩形的面积为：，，可得：，令，解得：，且当时，，则单调递增；当时，，则单调递减.故当时，最大，此时坐标为.21.若数列满足，则称数列为“平方递推数列”.已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数.（1）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；（2）设（1）中“平方递推数列”的前项积为，即，求；（3）在（2）的条件下，记，求数列的前项和.答案：见解析解析：【分析】（1）根据，得到，即是“平方递推数列”．对两边取对数得，利用等比数列的定义证明；（2）由(1)得到，利用等比数列的求和公式和对数的运算公式即可得出结果；（3）由（2）可得通项，进而利用分组求和即可得出.【详解】（1）由题意得：，即，则是“平方递推数列”.对两边取对数得，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）知；（3），.22.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求的