《线性代数》全套教学课件

线性代数

1第1章行列式.pptx2第2章矩阵.pptx3第3章线性方程组.pptx4第4章矩阵的特征值与特征向量.pptx5第5章二次型.pptx全套可编辑PPT课件行列式第一章在经济生活、工程技术和科学管理活动中，经常遇到有关若干变量之间线性关系的问题，而这些问题往往都可以归结为求解线性方程组．求解线性方程组是线性代数的主要内容，行列式是解线性方程组的重要工具．本章将介绍狀阶行列式的定义、性质及其运算，并介绍求解狀元线性方程组的克拉默（Ｃｒａｍｅｒ）法则．全套可编辑PPT课件第一章1.1二阶与三阶行列式一、二阶行列式行列式的概念源于用消元法求解线性方程组．设二元线性方程组（１）其中是未知量，是未知量的系数，是常数项．用加减消元法，在方程组（１）的第一个方程和第二个方程的两端分别乘与，然后两式相减，消去未知量，得到用同样的方法消去，得到全套可编辑PPT课件第一章1.1二阶与三阶行列式一、二阶行列式称为二阶行列式．其由四个数，，，，排成两行两列，数称为行列式的元素，简称为元。它的第一个下标称为行标，表示元素位于行列式的第行；它的第二个下标称为列标，表示元素位于行列式的第列.此二阶行列式表示算式，即有二阶行列式的定义本身也给出了它的计算方法：主对角线上的两元素之积取正号，次对角线上的两元素之积取负号.这种计算法称为二阶行列式的对角线法则.第一章1.1二阶与三阶行列式二、三阶行列式与二阶行列式类似，为了简单地表达三元线性方程组的解，引入三阶行列式.设有9个数排成三行三列的数表引入记号称为数表（5）所确定的三阶行列式，且有第一章1.1二阶与三阶行列式二、三阶行列式由（６）式右端可见，三阶行列式含６（３！）项，每一项均为自不同行、不同列的三个元素的乘积，再冠以正负号，其计算规律仍遵循对角线法则（图１-１）：即每条实线（共三条）所连接的三个元素的乘积前面加上正号，每条虚线（共三条）所连接的三个元素的乘积前面加上负号（对角线法则同样适用于三阶行列式）．第一章1.2

n阶行列式一、排列与逆序定义１若在某个

阶排列

中，有较大的数排在较小的数的前面，则这两个数构成一个逆序．一个

阶排列中逆序的总数称为它的逆序数，记作

．逆序数是奇数的排列称为奇排列；逆序数是偶数的排列称为偶排列．第一章1.2

n阶行列式二、ｎ阶行列式先来研究二阶行列式、三阶行列式的结构：容易看出：（１）二阶行列式表示的代数和的每一项都是取自不同行不同列的两个数的乘积，每一项除符号外可以写成

（这里行标按自然序排列，列标是一个二阶排列）．（２）当列标

取遍所有的二阶排列（12，21）时，就得到二阶行列式的所有的项，共2!＝2项．（３）每一项的符号是：当这一项的行标按自然序排列时，如果对应的列标构成的排列是偶排列则该项取正号，是奇排列则该项取负号．第一章1.2

n阶行列式二、ｎ阶行列式定义2设有

个数

排成

行（横排为行）

列（纵排为列），组成的符号（1）称为

阶行列式．它表示一个算式，这个算式是所有可能取自不同行不同列的

个数的乘积的代数和．每一项的符号是由该项行标排列和列标排列逆序数之和的奇偶性所决定：当其行标按自然序排列（自然序排列的逆序数是０），那么该项的符号就由其相应列标排列的逆序数决定．如果相应的列标构成的排列是偶排列则取正号，是奇排列则取负号．第一章1.3

n阶行列式的性质一、对换定义

在

阶排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，称为对排列的一次对换．将相邻两个元素对换称为相邻对换．例如五阶排列25413中的5与3对换，得到新的五阶排列23415．τ（25413）=6，25413为偶排列，而τ（23415）=3，23415为奇排列．显然经过一次对换就改变了排列的奇偶性．这一结论具有一般性．定理

一个排列中的任意两个元素对换，则排列的奇偶性改变．推论

将奇排列变成自然序排列的对换次数为奇数，将偶排列变成自然序排列的对换次数为

偶数．第一章1.3

n阶行列式的性质二、ｎ阶行列式的性质记称

为

的转置行列式．性质１行列式与它的转置行列式相等，即．性质２互换行列式的任意两行（列），行列式仅改变符号．推

论

行列式中两行（列）对应元素相同，那么这个行列式等于零．第一章1.3

n阶行列式的性质二、ｎ阶行列式的性质性质３行列式中某一行（列）中所有元素都乘同一个数ｋ，等于用数犽乘此行列式．推论１行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．推论２行列式中某一行（列）的所有元素全为零，那么这个行列式等于零．性质４行列式中有两行（列）对应元素成比例，那么这个行列式等于零．性质５若行列式的某一行（列）的各元素是两数之和，则可将行列式写成两个行列

式之和．性质６把行列式的某一行（列）的各元素乘同一个数后加到另一行（列）对应元素上

去，行列式的值不变．第一章1.４行列式按行（列）展开一、余子式和代数余子式定义在

阶行列式中，把

元

所在的第

行第

列元素划去后，留下的元素保持原来相对位置不变组成的

阶行列式称为元素

的余子式，记作

；记

，

称为

元

的代数余子式．引理一个

阶行列式，如果其中第

行所有元素中除

元

外，其余元素全为０，则该行列式等于

与其代数余子式的乘积，即

．第一章1.４行列式按行（列）展开二、行列式按行（或列）展开定理定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和．即或推论行列式中，任一行（列）的各元素与另一行（列）相应元素的代数余子式的乘积之和等于零．即第一章1.5

克拉默法则二、行列式按行（或列）展开定理下面用

阶行列式来求解含有

个未知量

个方程的线性方程组．设含有

个未知量

个方程的线性方程组（１）类似于二元、三元线性方程组，它的解可以用狀阶行列式表示，即有克拉默法则，亦称克莱姆法则．第一章1.5

克拉默法则二、行列式按行（或列）展开定理在使用克拉默法则解线性方程组时，要注意有两个条件必须满足：（１）方程个数与未知量个数相等；（２）系数行列式

．当方程组（１）右端的常数项

全为零时，则（２）称为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组．第一章1.5

克拉默法则二、行列式按行（或列）展开定理

显然是齐次线性方程组（２）的解，称为齐次线性方程组（２）的零解．如果齐次线性方程组（２）除了零解外，还有不全为零的解，称为齐次线性方程组（２）的非零解．根据克拉默法则，不难得到如下结论．推论１如果齐次线性方程组（２）的系数行列式

，则它只有唯一零解．由此可知，是齐次线性方程组（２）有非零解的必要条件，后面还可以证明这个条件也是充分的．于是有推论２齐次线性方程组（２）有非零解的充要条件为系数行列式

为零．THANKS演示完毕感谢观看延时符线性代数

矩阵第二章矩阵是一个重要的数学工具，不仅仅可以解线性方程组，其理论与方法还贯穿于线性代数的各个方面，且在数学的许多分支都有重要应用．本章将介绍矩阵的概念及其运算、逆矩阵、分块矩阵、矩阵的初等变换及相应的初等矩阵等有关理论．第二章２.1矩阵的概念一、引例引例某物流公司向三个超市配送四种商品，设

表示某物流公司向第

，个超市配送第

种商品的数量，发货方案见表2-1．第二章２.1矩阵的概念二、矩阵的概念定义１由

个数

排成的

行

列的矩形数表，称为

矩阵．矩阵通常用大写黑体英文字母表示，记作（１）也简记为

．其中

称为矩阵的第

行第

列的元素，简称为矩阵

的

元．为标明矩阵的行数

和列数

，矩阵

也记作或．如果矩阵

的元素是实数，则称

是实矩阵；如果矩阵

的元素是复数，则称

是复矩阵．第二章２.1矩阵的概念二、矩阵的概念元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作

或

．如果矩阵

只有一行，即

，则称为行矩阵，或称行向量．同样，如果矩阵只有一列，即，则称为列矩阵，或称列向量．第二章２.1矩阵的概念二、矩阵的概念若矩阵A、B，对应的行数相等，列数也相等，则称它们为同型矩阵。定义２若矩阵和矩阵为同型矩阵，且对应的元素相等，即，则称矩阵A与矩阵B相等，记作．注意矩阵和行列式是不同的两个概念，不要混淆了它们的实质及表现形式．第二章２.2矩阵的运算一、矩阵的加法和数与矩阵的乘积（简称数乘）１．矩阵的加（减）法定义１设矩阵，，则由它们的对应元素相加，所得到的矩阵，称为矩阵A与矩阵B的和，记作，即注意只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算．第二章２.2矩阵的运算一、矩阵的加法和数与矩阵的乘积（简称数乘）１．矩阵的加（减）法定义２设矩阵，则定义矩阵犃的负矩阵为，即只需把矩阵犃的每个元素改变符号即可．于是矩阵的减法也可以看作矩阵加法的逆运算．，即矩阵减矩阵可以看作矩阵加上矩阵的负矩阵．第二章２.2矩阵的运算一、矩阵的加法和数与矩阵的乘积（简称数乘）１．矩阵的加（减）法矩阵的加法运算满足下列运算规律：设

，

，

都是同型矩阵，则有（１）交换律

；（２）结合律

；（３）

（其中

与

为同型矩阵）；（４）

．第二章２.2矩阵的运算一、矩阵的加法和数与矩阵的乘积（简称数乘）２．数与矩阵相乘定义３设

矩阵，以数乘矩阵的每一个元素所得到的矩阵，称为数乘矩阵，记作，即第二章２.2矩阵的运算二、矩阵的乘法定义４设矩阵，矩阵，定义与的乘积是一个矩阵，且的第行第列元素

．为了使读者看得更加清楚，我们进一步写出乘积矩阵的表达式：第二章２.2矩阵的运算二、矩阵的乘法这里强调三点：（１）只有当（左矩阵）的列数等于（右矩阵）的行数时，与才能相乘．（２）乘积矩阵的第行第列元素等于将左矩阵的第行元素与右矩阵第列元素对应相乘以后再求和．即（３）乘积矩阵是矩阵，行数等于左矩阵的行数，的列数等于右矩阵的列数．第二章２.2矩阵的运算三、矩阵的转置定义５设是矩阵，将的行与列依次互换，得到矩阵，则称此矩阵为的转置矩阵，记作或，即设第二章２.2矩阵的运算四、对称矩阵与反对称矩阵定义６若阶方阵与它的转置矩阵相等，即，则称为对称矩阵．由定义可知，对于对称矩阵有．反之亦然．若阶方阵与它的转置矩阵互为负矩阵，即，则称为反对称矩阵．由定义可知，对于反对称矩阵有．反之亦然．第二章２.2矩阵的运算五、方阵的行列式定义７由阶方阵的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵的行列式，记作或．注意方阵与方阵的行列式是两个不同的概念，前者是个数按一定次序排列的一张数表，而后者是个数按一定运算法则确定的一个数值．设，为阶方阵，为数，方阵的行列式满足下列规律：（１）；（２）；（３）．第二章２.3逆矩阵一、逆矩阵的概念定义１设为阶方阵，如果存在阶方阵，使得，则称方阵是可逆矩阵，称是的逆矩阵，也简称是的逆．如果矩阵是可逆的，那么的逆矩阵是唯一的．事实上，如若、都是的逆矩阵，则有．于是．由此说明的逆矩阵是唯一的．将可逆矩阵的逆矩阵记为．由定义可知，矩阵与其逆矩阵的地位是平等的，因此也可以称为可逆矩阵，称为的逆矩阵，即．第二章２.3逆矩阵二、用伴随矩阵求逆矩阵第二章２.3逆矩阵三、可逆矩阵的运算规律从逆矩阵的定义，可以得出可逆矩阵具有下列运算规律：（１）若矩阵可逆，则也可逆，且；（２）若矩阵可逆，数，则也可逆，且；（３）若阶矩阵与都可逆，则可逆，且，一般地，若都可逆，则可逆，且；（４）若矩阵可逆，则也可逆，且；（５）若矩阵可逆，则．第二章２.4分块矩阵一、分块矩阵的概念对于行数和列数较大的矩阵，为了简化矩阵的运算，运算时常对矩阵作适当的分块，使阶数较高矩阵的运算化为阶数较低矩阵的运算．所谓矩阵的分块，即是用若干条纵线和横线将矩阵分成许多小矩阵，每一小矩阵称为矩阵的子块，以子块作为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵．将矩阵化为分块矩阵往往会使矩阵的结构更加清晰，便于讨论及运算．第二章２.4分块矩阵二、分块矩阵的运算第二章２.4分块矩阵二、分块矩阵的运算第二章２.4分块矩阵二、分块矩阵的运算第二章２.4分块矩阵二、分块矩阵的运算第二章２.4分块矩阵二、分块矩阵的运算５．分块对角矩阵设方阵的分块矩阵其中主对角线上子块都是方阵，其余子块都是零矩阵，则称为分块对角矩阵．分块对角矩阵的行列式具有以下性质：．第二章２.4分块矩阵三、分块矩阵与线性方程组已知线性方程组记其中称为线性方程组的系数矩阵，称为未知数矩阵（或向量），称为常数项矩阵（或向量），称为增广矩阵．增广矩阵按分块矩阵的记法，可以写为

第二章２.4分块矩阵三、分块矩阵与线性方程组利用矩阵的乘法，此方程组可记为．（２）系数矩阵是矩阵，若按行分为块，每一行称为矩阵的行向量．若第行记作

，则矩阵可记为

则线性方程组可记为第二章２.4分块矩阵三、分块矩阵与线性方程组克拉默法则设含有个未知量的个线性方程的方程组如果线性方程组（５）的系数行列式那么方程组（５）存在唯一解第二章２.4分块矩阵三、分块矩阵与线性方程组其中是把系数行列式中第列元素用方程组右端的常数项列代替后所得到的阶行列式，即第二章２.5矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换定义１设，则称下面三种变换为矩阵的初等行变换：（i）对调变换：即对换两行（对换，两行，记作）；（ii）数乘变换：即以数（）乘某一行的所有元素（第行乘数，记作）；（iii）倍加变换：即把某一行所有元素的倍加到另一行对应元素上（第行的倍加到第行上，记作）．第二章２.5矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换定义２如果矩阵经过有限次初等行变换变成矩阵，就称矩阵与行等价；如果矩阵经过有限次初等列变换变成矩阵，就称矩阵与列等价；如果矩阵经过有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价，记作．矩阵之间的等价关系具有以下性质：（i）反身性；（ii）对称性若，则；（iii）传递性若，则．用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵与行最简形矩阵．第二章２.5矩阵的初等变换二、初等矩阵１．三种初等矩阵定义１对单位矩阵施以一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵．三种初等变换对应有三种初等矩阵．（１）第一种初等矩阵（对调两行或对调两列）（２）第二种初等矩阵（以数乘某行或某列）（３）第三种初等矩阵（以数乘某行（或列）加到另一行（或列）上去）第二章２.5矩阵的初等变换二、初等矩阵２．初等矩阵有关定理及应用定理１设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘相应的阶初等矩阵．定理２方阵可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵，使．推论１方阵可逆的充分必要条件是．推论２矩阵与等价的充分必要条件是存在犿阶可逆矩阵及阶可逆矩阵，使第二章２.6矩阵的秩一、矩阵秩的概念及有关定理定义１设是一个矩阵，在中任取行列，将位于这些行列交叉处的个元素，按照原来相对位置构成的一个阶行列式，称为矩阵的阶子式．矩阵的阶子式共有个．定义２矩阵中不为０的子式的最高阶数称为矩阵的秩，记作，并规定零矩阵的秩为０．定理１若，则.推论设可逆矩阵，使，则．第二章２.6矩阵的秩二、用初等行变换求矩阵的秩根据上述定理，若求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩．THANKS演示完毕感谢观看线性代数

线性方程组第三章工程技术、经济管理中的许多理论问题、实际问题都可归结为线性方程组的求解问题，线性方程组的理论和方法不仅是线性代数理论的重要组成部分，并且在其他领域也具有广泛的应有．本章将介绍一般的线性方程组的解法，讨论线性方程组有解、无解的充分必要条件；还将介绍向量组的线性相关性的有关理论，并研究线性方程组解的结构．第三章3.1解线性方程组的消元法一、高斯消元法设有个未知量，个方程的线性方程组其系数矩阵与增广矩阵分别是其矩阵方程为第三章3.1解线性方程组的消元法一、高斯消元法其中，未知矩阵（向量）与常数项矩阵（向量）分别为第三章3.1解线性方程组的消元法二、非齐次线性方程组的解的讨论设有个未知量，个方程的线性方程组其系数矩阵与增广矩阵分别是第三章3.1解线性方程组的消元法二、非齐次线性方程组的解的讨论定理１元线性方程组有解的充分必要条件是，且有：（１）当时，线性方程组（１）有唯一解；（２）当时，线性方程组（１）有无穷多组解；（３）当时，线性方程组（１）无解．第三章3.1解线性方程组的消元法三、齐次线性方程组的解的讨论设有个未知量个方程的齐次线性方程组其系数矩阵是其矩阵方程为定理２元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是．第三章3.1解线性方程组的消元法四、用初等行变换求解矩阵方程对于求解矩阵方程，有以下定理：定理３矩阵方程有解的充分必要条件是．第三章３.２向量组的线性相关性一、向量组及其线性组合１．维向量定义１由个数组成的一个有序数组称为一个维向量．其中第个数称为这个维向量的第个分量．分量全为实数的向量称为实向量，分量为复数的向量称为复向量．定义２设数域上维向量的集合，如果非空，且定义在中的向量，的加法及数乘运算结果和仍是中向量，且满足上面的(i)至(viii)条运算法则（，，为中的向量，，），则称是上的维向量空间．实数域上的维向量空间记作．第三章３.２向量组的线性相关性一、向量组及其线性组合２．线性组合与线性表出定义３给定向量组，对于任何一组实数，则称表达式为向量组的一个线性组合，称为这个线性组合的系数．定理１设向量则向量是向量组线性组合的充分必要条件是方程组（１）有解．第三章３.２向量组的线性相关性一、向量组及其线性组合２．线性组合与线性表出推论向量是向量组线性组合的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩．定义４设有两个向量组及，若组中的每个向量都可由向量组线性表出，则称向量组能由向量组线性表出．若向量组与向量组能相互线性表出，则称向量组与向量组等价．定理２设维向量组及维向量组，依次构成矩阵组及，则向量组能由向量组线性表出的充分必要条件是第三章３.２向量组的线性相关性一、向量组及其线性组合２．线性组合与线性表出推论向量组与向量组等价的充分必要条件是．定理３设维向量组及维向量组，依次构成矩阵及，若向量组能由向量组线性表出，则.第三章３.２向量组的线性相关性二、向量组的线性相关性１．线性相关与线性无关定义５给定向量组，如果存在不全为零的数，使则称向量组线性相关，否则称向量组线性无关（或线性独立）．换言之，当且仅当时，上式才能成立，则称向量组线性无关．第三章３.２向量组的线性相关性二、向量组的线性相关性１．线性相关与线性无关当时，即向量组只含有一个向量，显然一个零向量线性相关，一个非零向量必线性无关．当时，即向量组只含有两个向量，，则至少有一个零向量的向量组，线性相关．一般情况下，向量组，线性相关的充分必要条件是，的对应分量成比例，其几何意义是两向量共线．当时，向量组，，线性相关的几何意义是三向量共面．当时，读者可自行证明：（１）含有零向量的向量组必线性相关；（２）若向量组的一个部分向量组线性相关，则整个向量组必线性相关．第三章３.２向量组的线性相关性二、向量组的线性相关性１．线性相关与线性无关定理４向量组线性相关的充分必要条件是以向量组为系数列向量的齐次线性方程组（1）有非零解，并且（1）的一个非零解（）就是一组不全为零的组合系数．第三章３.２向量组的线性相关性二、向量组的线性相关性１．线性相关与线性无关推论１向量组线性相关的充分必要条件是：以向量组构成的矩阵的秩小于向量的个数；或向量组线性无关的充分必要条件是

.推论２个维向量组成的向量组线性相关的充分必要条件是：向量组所含向量的个数大于向量的维数，即．第三章３.２向量组的线性相关性二、向量组的线性相关性１．线性相关与线性无关推论３个维向量线性相关的充分必要条件是：行列式或个维向量线性无关的充分必要条件是行列式第三章３.２向量组的线性相关性二、向量组的线性相关性２．向量间线性关系的性质定理５向量组线性相关的充分必要条件是在该向量组中至少有一个向量能由其余向量线性表出．推论向量组线性无关的充分必要条件是该向量组中每一个向量都不能由其余向量线性表出．定理６若向量组线性无关，而向量组，线性相关，则向量可由向量组线性表出，且表示法唯一．第三章３.２向量组的线性相关性三、向量组的秩１．最大线性无关组定义６若向量组的部分向量组满足条件：（i）线性无关；（ii）在部分向量组中再添加中任意的第个向量（如果中有个向量的话）都线性相关．则称部分向量组是向量组的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组．定理７向量组与它的最大无关组等价．第三章３.２向量组的线性相关性三、向量组的秩２．向量组的秩定义７向量组的最大无关组中所含有向量的个数，称为向量组的秩，记作．定理８矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩．定义８矩阵的行秩与列秩统称为矩阵的秩，记作．定理９设向量组能由向量组线性表出，则向量组的秩不大于向量组的秩．第三章３.２向量组的线性相关性三、向量组的秩２．向量组的秩推论１等价向量组的秩相等．推论２设向量组是向量组的一个部分向量组，且满足（i）向量组线性无关；（ii）向量组的每一个向量都可由向量组线性表出．则向量组是向量组的最大无关组．第三章３.3线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构第三章３.3线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构容易证明齐次线性方程组的解具有以下性质：性质１若为（2）的解，则也是（2）的解．证由，可得．故也是（2）的解．性质２若为（2）的解，为实数，则也是（2）的解．证由，可得．故也是（2）的解．第三章３.3线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构定理１设为矩阵，且，则元齐次线性方程组的解集的秩．前面已经指出，当时，方程组（1）只有零解，即解集中只含一个零向量，这时，解集没有基础解系．当时，由定理1知，因此方程组（1）的任何个线性无关的解向量都可以组成的最大无关组，由此可知方程组（1）的基础解系不是唯一的，进而可知通解的表达形式也不是唯一的．第三章３.3线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构设非齐次线性方程组（3）

记，则（3）式可写为向量方程．（4）第三章３.3线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组的解与其导出组的解有如下关系：性质３设及是非齐次线性方程组（4）的任意两个解，则是其导出组的解．证由，说明是其导出组的解．性质４设是非齐次线性方程组（4）的解，而是其导出组的解，则仍是非齐次线性方程组（4）的解．证由，说明是非齐次线性方程组（4）的解．第三章３.3线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构定理２若是非齐次线性方程组（4）的一个解，是其导出组的全部解，则是非齐次线性方程组（4）的全部解．THANKS演示完毕感谢观看线性代数

矩阵的特征值与特征向量第四章本章主要讨论方阵的特征值与特征向量、方阵的相似对角化等问题，然后介绍向量空间、基与维数，以及向量的内积、长度及正交等知识．第四章4.1方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量定义１设是阶矩阵，如果存在数和维非零列向量，使得（1）成立，则称数是方阵的特征值，称非零向量为的对应于特征值的特征向量．（１）式也可以写为．（2）定义２设是阶矩阵，则含有的矩阵称为的特征矩阵．行列式是的次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．方程称为方阵的特征方程．显然，特征方程的根（特征根）就是的特征值．第四章4.1方阵的特征值与特征向量二、特征值和特征向量的简单性质定理１阶矩阵与其转置矩阵有相同的特征值．定理２阶矩阵可逆的充分必要条件是其任一特征值不等于零．定理３设是方阵的个特征值，依次是与之对应的特征向量，如果各不相等，则线性无关．即的不同特征值对应的特征向量线性无关．第四章4.2

n维向量空间一、向量空间与子空间第四章4.2

n维向量空间一、向量空间与子空间定义２设有向量空间，若，则称是维向量空间的子空间．任何由维向量空间所组成的向量空间，都是的子空间．例１本身是维向量空间的子空间；只有一个零向量构成的空间也是维向量空间的子空间．定义３设为向量空间，如果向量组满足：（i）线性无关；（ii）中任一向量都可由线性表出．则称向量组为向量空间的一个基（或一组基），一个基中向量的个数称为向量空间的维数，并称为维向量空间．第四章4.2

n维向量空间二、向量的内积定义４设有维向量

，称为向量与的内积．定义５设维向量，则称为维向量的长度．第四章4.2

n维向量空间二、向量的内积定义６设，是两个非零的维向量，则定义，之间夹角的余弦为

．因此夹角为．第四章4.2

n维向量空间三、向量正交定义７若中两个非零向量，之间的夹角等于90°(即)，则称与正交（或垂直），记作．零向量与任何向量都正交．定理１中两个非零向量，正交的充分必要条件是它们的内积等于零．定理２设是一组两两正交的维非零向量，则线性无关．定义８设维向量是向量空间的一个基，如果两两相交，且都是单位矩阵，则称是的一个规范正交基．第四章4.2

n维向量空间四、正交矩阵定义９如果阶矩阵满足，则称为正交矩阵，简称正交阵．第四章4.3

相似矩阵与矩阵的对角化一、相似矩阵定义１设，都是阶矩阵，若有可逆矩阵，使，则称矩阵与相似，记作，或称是的相似矩阵．对进行运算，称为对进行相似变换，可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵．定理１若阶矩阵与相似，则与的特征多项式相同，从而与的特征值亦相同．推论若阶矩阵与对角阵相似，则是的个特征值．第四章4.3

相似矩阵与矩阵的对角化一、相似矩阵定理２阶矩阵相似于对角阵（即矩阵可对角化）的充分必要条件是矩阵有个线性无关的特征向量．推论若阶矩阵有个不同的特征值，则矩阵与对角阵相似．证设有个不同的特征值，对应的特征向量．根据§4.1定理3，向量组线性无关，所以由定理2可知，与对角阵相似，其中第四章4.3

相似矩阵与矩阵的对角化二、对称矩阵的对角化定理３对称矩阵的特征值为实数．定理４设，是对称矩阵的两个特征值，，是对应的特征向量，若，则与正交．定理５设为阶对称矩阵，则必有正交矩阵，使