第二章液体静力学

第二章液体静力学2023/3/29液体静力学1第一页，共六十页，2022年，8月28日第二章液体静力学（LiquidStatics）水静力学的任务：是研究液体平衡的规律及其实际应用。

液体的两种平衡状态：一种是静止状态；另一种是相对平衡状态。注意：液体在平衡状态下没有内摩擦力，此时理想液体和实际液体一样。第二页，共六十页，2022年，8月28日第二章液体静力学（LiquidStatics）特点：液体表面只存在正应力，即压强。因此，液体静力学问题，实质上研究的是质量力与静水压力的相互作用及静水压力的分布规律。应用：工程中的应用很广泛。如液控式压力计的测量原理；液压传动中增压器压强的增大；内燃机中汽油发动机汽化器浮子室的设计；起动机械中液压系统的设计，如千斤顶、液压活塞等。第三页，共六十页，2022年，8月28日第二章液体静力学（LiquidStatics）2-1静止液体中压强的特性一、静止液体中表面力的特性液体的表面力静止的液体的表面力仅为内法向的应力切向应力法向应力外法向应力内法向应力压强第四页，共六十页，2022年，8月28日第二章液体静力学（LiquidStatics）二、液体静（水）压强的特性

1、静水压力与静水压强

静水压力：静止（或处于相对平衡状态）液体作用在与之接触的表面上的水压力称为静水压力，以P表示。第五页，共六十页，2022年，8月28日第二章液体静力学（LiquidStatics）液体静压强（静水压强）：取微小面积ΔA，令作用于ΔA的静水压力为ΔP，则ΔA面上单位面积所受的平均静水压力为液体静压强液体静压力P的单位：牛顿（N）；液体静压强p的单位：牛顿／米2（N／m2），或帕斯卡（Pa）。第六页，共六十页，2022年，8月28日第二章液体静力学（LiquidStatics）2、液体静压强的两个重要特性：A）液体静压强的方向与受压面垂直并指向受压面（反证法）第七页，共六十页，2022年，8月28日第二章液体静力学（LiquidStatics）B）静止液体中压强的大小与作用面方向无关，或说作用于同一点上各方向的液体静压强大小相等

下面来证明以上特性

在静止液体中围绕某点o取一个三边正交于o点，边长分别为dx，dy，dz的微元直角四面体。四个面上的平均压强为px、py、pz和pnzxByACodydxdzpypzpnpx第八页，共六十页，2022年，8月28日第二章液体静力学（LiquidStatics）表面力（只有压力）：ΔPx=pxAxΔPy=pyAyΔPz=pzAzΔPn=pnAn

质量力：Fx=X（1/6dxdydz）Fy=Y（1/6dxdydz）Fz=Z（1/6dxdydz）四面体处于平衡状态，各方向上作用力平衡。第九页，共六十页，2022年，8月28日以X轴方向为例：ΔPx–

ΔPncos(n,x)+Fx=0即pxAx-pnAncos(n,x)+X(1/6dxdydz)=0因为Ax=Ancos(n,x)=1/2dydz故px-pn+1/3Xdx

=0当微元四面体无限缩小趋近于o点时，dx、dy、dz趋近于0，1/3Xdx为高阶无穷小量，可忽略，故：第二章液体静力学（LiquidStatics）第十页，共六十页，2022年，8月28日px-pn=0，即px=pn同理可证py=pnpz=pn所以px=py=pz=pn因为四面体是任取，即dx，dy，dz是任意值，所以pn的方向是任意的。故静止液体中一点压强的大小与作用面方向无关，仅为坐标点的函数。由于液体为连续介质，则连续介质中,任意点上的静水压强就应该是空间坐标的连续函数，即p=f(x,y,z,t)第二章液体静力学（LiquidStatics）第十一页，共六十页，2022年，8月28日得出如下结论：1）静止液体所受的表面力仅为法向应力，即压强，该力始终沿其作用面内法线方向。2）液体中任一点所处位置不同，则压强大小不同，位置固定，压强各向相同。第二章液体静力学（LiquidStatics）第十二页，共六十页，2022年，8月28日2-2液体静力学基本微分方程一、静力学基本微分方程1、微分方程如图，在静止液体中取边长为dx，dy，dz的一微元六面体，其中心点o’的压强为p。xyzxyopMpNO’dxdydzMN当液体处于静止状态时，作用在液体上的各方向作用外力的合力为0，而作用在液体上的外力只有表面力中的压力和质量力。以X轴方向分析：第二章液体静力学（LiquidStatics）第十三页，共六十页，2022年，8月28日质量力：Fx=Xdxdydz表面压应力：pM=p-(1/2)(p/x)dxpN=p+(1/2)(p/x)dx第二章液体静力学（LiquidStatics）故Fx+(pM-pN)dydz=0化简得X-(1/)(p/x)=0同理得Y-(1/)(p/y)=0Z-(1/)(p/z)=0(1/ρ)(∂p/∂z)等的量纲是单位质量力的量纲。第十四页，共六十页，2022年，8月28日前式即为静止液体平衡微分方程(或欧拉平衡微分方程)，是欧拉于1755首次提出。方程表明平衡流体所受的质量力与表面力在各方向平衡。方程适用范围：1）绝对静止或相对静止液体；2）可压缩或不可压缩液体。第二章液体静力学（LiquidStatics）第十五页，共六十页，2022年，8月28日第二章液体静力学（LiquidStatics）2、微分方程的积分上述方程也可写为：p/x=

X；p/y=Y；p/z=Z

根据多元函数的全微分定义得p=f(x,y,z)的全微分为：dp=(p/x)dx+(p/y)dy+(p/z)dz=(Xdx+Ydy+Zdz)第十六页，共六十页，2022年，8月28日若已知静止液体中的质量力，积分上式便可得到静止液体中的压力分布。p=∫(Xdx+Ydy+Zdz)二、等压面定义：压强相等的空间点构成的面。如：各种与大气相接触的液体的自由面；两种不相混液体的分界面等。第二章液体静力学（LiquidStatics）第十七页，共六十页，2022年，8月28日根据定义p=constdp=0故(Xdx+Ydy+Zdz)=0即Xdx+Ydy+Zdz=0或F·dl=0此即为等压面微分方程，dx,dy,dz可设想为液体质点在等压面上的任意微小位移dl在相应坐标上的投影。

第二章液体静力学（LiquidStatics）第十八页，共六十页，2022年，8月28日表明在静止液体中质量力沿等压面移动微小距离所做的功为0。而质量力和dl都不为零，必然等压面与质量力正交。

从数学意义上看，质量力F与在等压面移动的微小距离的dl(dx,dy,dz)的点积为0，说明两矢量垂直。即质量力恒与等压面正交。如果质量力仅为重力，等压面即为水平面。第二章液体静力学（LiquidStatics）第十九页，共六十页，2022年，8月28日第二章液体静力学（LiquidStatics）2-3液体静力学基本方程

以上介绍的式子是液体处于平衡状态下的普遍微分方程，而实际工程中要求得出液体处于绝对静止（只有重力作用）或相对静止状态时的压力大小，从而研究该压力分布对结构物的作用情况（即进行受力分析，以进行结构设计）。第二十页，共六十页，2022年，8月28日第二章液体静力学（LiquidStatics）工程中最常见的质量力为重力，因此讨论重力作用下静止液体中的压强分布规律更具实际意义。重力作用下静止液体中的压强分布（静力学基本方程）X=0，Y=0，Z=-g故dp=-

gdz=-dz第二十一页，共六十页，2022年，8月28日对于均质液体=const积分得：p=-gz+C

或p1/+z1=p2/+z2

式中：p/：称为压力水头；z：位置水头；p/+z：总水头（或测压管水头）。单位：米。

第二章液体静力学（LiquidStatics）zyxz2•h2p0•z11上式即为水静力学基本方程。表明当静止液体中质量力仅为重力时，任意点总水头z

+

p/为定值。即连续均质平衡液体中总水头（或测压管水头）线为一水平面。第二十二页，共六十页，2022年，8月28日·AB·p0测压管水头线oopA/pB/zBzA基准第二章液体静力学（LiquidStatics）测压管水头线的图示第二十三页，共六十页，2022年，8月28日讨论：当p1=p2时，z1=z2，等压面为水平面当z1>z2时，p1<p2，位置低的压强大于位置高的压强；已知任一点的压强值及标高，可求得其他点的压强。z=0,p=p0则，p=p0-γz，z轴方向向上为正-z液体质点在自由表面下的深度，h，p=p0＋γh第二章液体静力学（LiquidStatics）第二十四页，共六十页，2022年，8月28日从基本方程可以推出静止液体的几个性质：1）静止液体中的压强与水深成线性关系；或任一点压强＝表面p0+液体产生的重力(单位面积)；2）静止液体中任意两点的压差仅与它们的垂直距离有关；3）静止液体中任意点压强的变化，将等值地传递到液体内部任意各点（帕斯卡定律）[如表面p0可传递至液体内部任一点]；4）同种液体连通时，等压面水平。方程的使用范围：适用于均质并连通的静止液体。第二章液体静力学（LiquidStatics）第二十五页，共六十页，2022年，8月28日大气压强随海拔高度及气温的变化而变化。1atm=1.013×105Pa1工程大气压=9.8×104Pa=98KN/m2第二章液体静力学（LiquidStatics）第二十六页，共六十页，2022年，8月28日2-4静止液体压强（压力）的表示方法一、压强的两种计算基准两种基准分别为：绝对压强和相对压强。1、定义

绝对压强：以绝对真空（以无物质分子存在或虽存在但处于绝对静止状态下的压强）为基准零线计算的压强。··A点绝对压强A点相对压强大气压强AB绝对压强0B点绝对压强B点真空度第二章液体静力学（LiquidStatics）ppa0第二十七页，共六十页，2022年，8月28日

相对压强：以当地同高程大气压为基准线计算的压强2、特点绝对压强永远大于0；相对压强可正可负。当相对压强为负，一般采用相对压强的绝对值，即真空度来表示。第二章液体静力学（LiquidStatics）··A点绝对压强A点相对压强大气压强AB绝对压强0B点绝对压强B点真空度ppa0第二十八页，共六十页，2022年，8月28日二、压强的度量单位1）从压强的定义出发。国际单位制为N/m2，以符号Pa表示。2）用液体高度表示，以p=p0+h方程为基础，将压强转换成相应的液体高度。第二章液体静力学（LiquidStatics）第二十九页，共六十页，2022年，8月28日2-5静水压强的测量方法常用的测压装置有弹簧金属式、电测式和液柱式三种一、弹簧金属式根据弹性元件的变形与所承受压力（液体压力）成正比的原理进行工作的。特点：可测量液体相对压强和真空度；体积小，便于携带。第二章液体静力学（LiquidStatics）第三十页，共六十页，2022年，8月28日二、电测式利用压力传感器把液体压力变成相当的电量，然后再测量电量以测得压力。特点：测量液体相对压强；体积小，便于携带。三、液位式据静压力基本方程原理来测量液体的压力。特点：精确度高，但是携带不便，不宜测量较大压强，主要用于实验室。第二章液体静力学（LiquidStatics）第三十一页，共六十页，2022年，8月28日1、单个弯头的测压管原理：p=hp（压力较高时可采用金属汞取代水）p0php与大气相通第二章液体静力学（LiquidStatics）2、U形测压管第三十二页，共六十页，2022年，8月28日Ap0phphAp0NNphph（A）相对压强（B）真空度取等压面N-N，得pA+h=phppA=php

-h当被测压强为真空态时，pA+h+php=0pA真空度=php+hAp0NNphph第三十三页，共六十页，2022年，8月28日3、压差计取等压面M-NpB+（x+hp）=pA+

（z+x）+p

hp

p=pB-pA=（p-）hp+

z第二章液体静力学（LiquidStatics）第三十四页，共六十页，2022年，8月28日2-6作用在平面上的静水总压力目的：平衡液体对它的固体边界有压力作用，且沿液深呈一次方正比增大，因此，作用在边界面上就有一个总压力，即静压力在作用面上的合力，此合力作用往往影响着边界容器的结构设计，甚至关系到边界物的稳定与强度等问题的设计和较核。第二章液体静力学（LiquidStatics）第三十五页，共六十页，2022年，8月28日用途：在水利工程中对挡水坝稳定的较核计算中，必须求出作用在坝上的水平推力及垂直分力，如果计算错误有使大坝倾覆或破坏的可能。还有其他各种输油罐、储水罐等也必须进行总压力的计算，以利于对容器的设计。方法：分为解析法和图解法两种。第二章液体静力学（LiquidStatics）第三十六页，共六十页，2022年，8月28日一、解析法1、作用在平面上的静水总压的大小方向任意形状平板ab面积为，于ab所在平面取xOy坐标系，x轴与自由液面重合，y轴沿着平板方向。第二章液体静力学（LiquidStatics）第三十七页，共六十页，2022年，8月28日静止液体中只有正压力=>平板上只有垂直平板的平行力系。在平板上任取含A点的微元d其对应水深h，则微元上静压力合力为：

dP=pd=hd若dA中心点距离x轴y，则

dP=ysind第二章液体静力学（LiquidStatics）

受压面为A的平板上液体的总压力为：

P=∫dP=∫ysind=sin∫yd第三十八页，共六十页，2022年，8月28日式中∫yd为平板对x轴的静面矩，它=受压面积与的形心离x轴的距离yC的乘积。则受压平面上总压力为：

P=sinyC=hC=pC可见：静止液体对平板作用力等于平板面积与平板形心点C处压强的乘积，与平板的倾斜角无关。作用力方向为垂直于平板的内法线方向。第二章液体静力学（LiquidStatics）第三十九页，共六十页，2022年，8月28日2、作用在平面上的静水总压的作用点

∵静止液体中只有正压力，故平板上只有垂直于平板的平行力系；

所有力包括合力均互相平行。

液体总静压力P的作用点（D（xD,yD））称为压力中心。可根据平行力系力矩定律来推求(理论力学中平行力系合力对某轴的力矩等于各分力对同一轴的力矩之和)来推求，即第二章液体静力学（LiquidStatics）第四十页，共六十页，2022年，8月28日M=∫dM若液体总压力P及各分力同时对Ox轴取力矩，则

M=PyD=∫dM=∫ypd，即

PyD=∫ypd

sinyCyD=∫y(ysin)d=sin∫y2dyD=∫y2d/yC=Jx/yC

第二章液体静力学（LiquidStatics）第四十一页，共六十页，2022年，8月28日Jx=∫y2d为平板对Ox轴的惯性矩；由材料力学中惯性矩移轴定理(面积对某轴的惯性矩等于受压面积乘面积形心到该轴距离的平方与此面积对于形心点C的关于该轴惯性矩之和)知

Jx=JC+yC2ωJc:受压面ω对通过它的形心并与Ox轴平行的轴的惯性矩。

第二章液体静力学（LiquidStatics）第四十二页，共六十页，2022年，8月28日yD=yC+JC/yC

由于JC/yC恒为正值，所以yD≥yC，即静水总压的作用点D的位置总在形心点C的下方。第二章液体静力学（LiquidStatics）JC/yC值为D点和C点在y方向上的位移。以上的推导过程又一次证明：1）液体总静压力大小与作用面方向无关。2）压力中心的位置与液体性质无关第四十三页，共六十页，2022年，8月28日平面形状惯性矩JC形心C的yC受压面积半径为R的圆(πR4)/4RπR2大圆半径为R小圆半径为r的圆环π(R4-r4)/4Rπ(R2-r2)半径为R的半圆(πR4)/80.5756RπR2/2底边为b高为h的矩形bh3/12h/2bh底边b高h等边三角形bh3/362h/3bh/23、几种常见几何平面惯性矩、形心和受压面积第二章液体静力学（LiquidStatics）第四十四页，共六十页，2022年，8月28日二、图解法1、平板压强分布图原理:p=p0+h；可见p0、一定，p和h呈直线关系。步骤：1）标出平板起点和终点压强，以直线连接。2）直线的方向垂直于平板请同学画出压强分布图。第二章液体静力学（LiquidStatics）第四十五页，共六十页，2022年，8月28日2、图解法适用范围：仅对一边平行于水面的矩形平板有效。步骤：1）先绘出压强分布图；2）作用力的大小=压强分布图面积×受压面宽度；3）作用点位置相当于分布图的形心位置举例：请同学们看本书23页例子。第二章液体静力学（LiquidStatics）第四十六页，共六十页，2022年，8月28日例：矩形平板一侧挡水，与水平面夹角30°，平板上边与水平面平行，并在水下1m，水深4m,平板宽b=5m。分别用解析法和图解法试求作用在平板上的力。解：1、解析法总压力的大小：P=pcA=ρghcA=9800*2.5*6*5=735KN方向为受压面内法线方向。作用点：yD=yc+Jc/(yc*A)=(hc/sin30)+(bl3/12)/(blhc/sin30)=2.5*2+(5*63/12)/(5*6*2.5*2)=5.6m第二章液体静力学（LiquidStatics）第四十七页，共六十页，2022年，8月28日2、图解法绘出压强分布图：作用力的大小=压强分布图的体积，P=b*ΔSABC=5*(ρg(h-3)+ρgh)*3*2)/2=5*(9800*5*3*2/2)=735KN方向为受压面内法线方向。总压力作用点为压强分布图的形心yD=2*h-l(ρgh+2ρg(h-3))/(3*(ρgh+ρg(h-3))==2*4-6(6ρg)/(15ρg)=5.6m第二章液体静力学（LiquidStatics）第四十八页，共六十页，2022年，8月28日注意：1）计算作用力时，一般以相对压强为压强计算值，若液面相对压强不为零，应以相对压强为零的液面为准来计算，它与实际液面距离（或测压管水头所在的液面）为∣p绝-p大∣/2）hc是平面形心在测压管液面下的淹没深度；3）yc是平面形心沿平板方向到测压管液面的距离。第二章液体静力学（LiquidStatics）第四十九页，共六十页，2022年，8月28日2-7作用在曲面上的静水总压力工程中往往要求算曲面上的液体压力，如：水利工程中挡水的弧形闸门、圆柱形油箱、储油罐等。工程中常见的曲面是球形、圆柱面等二向曲面问题。第二章液体静力学（LiquidStatics）第五十页，共六十页，2022年，8月28日ABCDdPdPxdPzABxyzdAxdAzab一、曲面上总静压力1、总静压力的大小如图曲面ABCD在xoz平面的投影为AB曲线。以单位宽度曲面AB为代表分析力的作用关系。取微元面积dA，离液面距为h，则作用ab上的液体总压力第二章液体静力学（LiquidStatics）第五十一页，共六十页，2022年，8月28日dP由若干垂直并沿微小曲线的法线方向的非平行力系组成，即由汇交于圆柱轴的汇交力系合成。我们采用先分解后合成的方法求合力（dP）。x轴方向受力：dPx=dPcos=hdAcos=hdAxz轴方向受力：dPz=dPsin=hdAsin=hdAz第二章液体静力学（LiquidStatics）第五十二页，共六十页，2022年，8月28日dPx和dPz可视为作用在微元面投影面dAx与dAz上的两组平行力系上的合力。那么作用在ABCD曲面的投影面Ax、Az上的总压力分量Px与Pz分别为：x轴方向受力：Px=∫AxdPx=∫AxhdAx=∫AxhdAx=hCAx可见曲面总压力水平分力的值的求法与平面所受液体压力的公式相同。第二章液体静力学（LiquidStatics）第五十三页，共六十页，2022年，8月28日z轴方向受力：Pz=∫AzdPz=∫AzhdAz=∫AzhdAz可见曲面总压力垂直分力的值即为以曲面为底面，曲面在xoy平面的投影面Az为顶面，及过受压曲面周边线沿垂直方向（或到水平面）所包围的液柱的体积（称压力体Vp）与液体重度的乘积（即曲面所托液体的重量）。第二章液体静力学（Liqu