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文档简介
第二章拉氏变换第一页,共二十八页,2022年,8月28日第一节
Laplace变换的概念定义
设函数当时有定义,且积分
在s的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为:第二页,共二十八页,2022年,8月28日可记为
F(s)=£[f(t)]其:F(s)称作f(t)的Laplace变换(或象函数)相应地:f(t)称作F(s)的Laplace逆变换(或象原函数),记为f(t)=£-1[F(s)]上式(*)称为函数f(t)的Laplace变换式第三页,共二十八页,2022年,8月28日拉氏变换存在定理若函数f(t)满足条件:
1,在t≥0任一有限区间上分段连续;
2,当t→+时,f(t)的增长速度不超过某一指数函数,即,存在一常数M>0及c≥0使:结论成立,则f(t)的Laplace变换(形如式(*)表示)在半平面Re(s)>c上一定存在,右端的积分在Re(s)≥c1>c上绝对收敛且一致收敛,并且在Re(s)>c的半平面内,F(s)为解析函数。第四页,共二十八页,2022年,8月28日举例例1:求单位阶跃函数的Laplace变换。例2:求正弦函数的Laplace变换。第五页,共二十八页,2022年,8月28日周期函数的Laplace变换一般地,以T为周期的函数f(t),当f(t)在一个周期上是分段连续时,则f(t)的拉氏变换式为:第六页,共二十八页,2022年,8月28日tf(t)b4b3b2bb例3:求周期性三角波的Laplace变换。第七页,共二十八页,2022年,8月28日拉氏变换中积分下限的讨论1.满足拉氏变换存在定理条件的函数f(t)在t=0处有界时,则下式积分与下限是还是无关。即:
£+[f(t)]=
£-[f(t)]其中,£+[f(t)]为:第八页,共二十八页,2022年,8月28日2.若函数f(t)在t=0处包含脉冲函数时,则下式积分中必须指明下限是还是。即:
£+[f(t)]≠
£-[f(t)]其中:£+[f(t)]£-[f(t)]=这样,我们定义拉氏变换时,严格上应为:第九页,共二十八页,2022年,8月28日例4求单位脉冲函数的拉氏变换f(t)t1例5:求函数的Laplace变换。第十页,共二十八页,2022年,8月28日第二节
Laplace变换的性质Laplace变换的性质性质1(线性性质):设,F1(s)=
£[f1(t)]和F2(s)=
£
[f2(t)]则,
£[af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s)其中,a,b为常数注意:Laplace逆变换也有类似的性质第十一页,共二十八页,2022年,8月28日性质2(微分性质):则有,£[
]=sF(s)-
f(0)若,F
(s)=£[f
(t)]这个性质说明:一个函数求导以后取拉氏变换等于该函数的拉氏变换乘以s,再减去函数的初值。推论:若,F
(s)=£[f
(t)],则有,£[
]=第十二页,共二十八页,2022年,8月28日更为一般地
:
若,F
(s)=£[f
(t)]则有,£[
]=类似地,可得象函数的微分性质:=-£[],Re(s)>c一般地
:
若,F
(s)=£[f
(t)],则=£[],Re(s)>c第十三页,共二十八页,2022年,8月28日性质3(积分性质):
£
[
]若,F
(s)=£[f
(t)],则:另外,£类似地,可得象函数的积分性质:
£
[
]一般地,£第十四页,共二十八页,2022年,8月28日性质4(位移性质):
£[
]=F(s-a)(Re(s-a)>c)性质5(延迟性质):若,F
(s)=£[f
(t)],则,若,F
(s)=£[f
(t)],又t<0时,f(t)=0,则对于任一非负数实数τ,有:
£[f(t-τ)]=第十五页,共二十八页,2022年,8月28日例1已知函数,求f(t)的拉氏变换,其中m为正整数。举例例2求函数及的拉氏变换。例3求函数的拉氏变换。第十六页,共二十八页,2022年,8月28日性质6(相似性质):£[
]=若,F
(s)=£[f
(t)],a为正整数,则,例4,若F
(s)=£[f
(t)],求下列函数g(t)的拉氏变换。第十七页,共二十八页,2022年,8月28日第三节
Laplace逆变换Laplace逆变换定义前面,我们定义了函数f(t)的拉氏变换为:其中,F(s)称作f(t)的Laplace变换(或象函数,而f(t)称作F(s)的Laplace逆变换(或象原函数),记作:f(t)=£-1[F(s)]第十八页,共二十八页,2022年,8月28日上式(#)就是从象函数F(s)求象原函数函数f(t)的计算公式。右端的积分称为Laplace反演积分。同时,我们定义f(t)为:注意到,右端积分为一复变函数的积分,计算该积分时通常比较困难,但当F(s)满足一定条件时,可以用留数的方法来计算这个反演积分,特别当F(s)为有理函数时更为简单。第十九页,共二十八页,2022年,8月28日结论定理:若s1,s2,…,sn是函数F(s)的所有奇点(适当选取β使得这些奇点全落在Re(s)<β内),且当s→∞时,F(s)→0,则有:第二十页,共二十八页,2022年,8月28日三种方法求逆变换:求Laplace逆变换的方法一、留数法二、部分分式法三、直接查表法第二十一页,共二十八页,2022年,8月28日一、留数法若函数F(s)=A(s)/B(s),其中A(s),B(s)是不可约的多项式,B(s)的次数为n,A(s)的次数小于n,则:1、若B(s)有n个单零点s1,s2,…,sn,有,第二十二页,共二十八页,2022年,8月28日2、若s1是B(s)的一个m级零点,其余的n-m都是单零点,sm+1,…,sn,有,第二十三页,共二十八页,2022年,8月28日举例例1用留数的方法求的拉氏逆变换。第二十四页,共二十八页,2022年,8月28日二、部分分式法1、且
无重根,则:第二十五页,共二十八页,2022年,8月28日2、但有一个k重根此时
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