第二章 第七节 对数函数

第二章第七节对数函数第一页，共四十页，2022年，8月28日第二页，共四十页，2022年，8月28日一、对数的定义一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝

，其中a叫做对数的

，N叫做

．logaN底数真数二、对数的性质1．loga1＝

；03．

和

没有对数．2．logaa＝

；1负数零[理要点]第三页，共四十页，2022年，8月28日三、对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：1．loga(M·N)＝

；logaM＋logaNlogaM－logaN3．logaMn＝

(n∈R)；nlogaM第四页，共四十页，2022年，8月28日四、对数函数的定义、图象与性质定义函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数图象a>10<a<1第五页，共四十页，2022年，8月28日性质定义域：

值域：当x＝1时，y＝0，即过定点

当0<x<1时，

；当x>1时，y∈

当0<x<1时，y∈

；当x>1时，y∈

；在(0，＋∞)上为

在(0，＋∞)上为

(0，＋∞)R(1,0)y∈(－∞，0)(－∞，0)(0，＋∞)(0，＋∞)增函数减函数第六页，共四十页，2022年，8月28日五、反函数指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数

(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线

对称．y＝xy＝logax第七页，共四十页，2022年，8月28日[究疑点]1．若MN>0，运算性质1、2还成立吗？提示：不一定成立．2．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的定义域和值域有何联系？提示：函数y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的值域，函数y＝logax(a>0，且a≠1)的值域是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域．第八页，共四十页，2022年，8月28日第九页，共四十页，2022年，8月28日答案：D第十页，共四十页，2022年，8月28日2．(2010·四川高考)2log510＋log50.25＝ (

)A．0 B．1C．2 D．4解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.答案：C第十一页，共四十页，2022年，8月28日第十二页，共四十页，2022年，8月28日第十三页，共四十页，2022年，8月28日解：(1)原式＝lg5(3lg2＋3)＋3lg22－lg6＋lg6－2＝3lg5lg2＋3lg5＋3lg22－2＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5－2＝3lg2＋3lg5－2＝3(lg2＋lg5)－2＝1.第十四页，共四十页，2022年，8月28日第十五页，共四十页，2022年，8月28日[归纳领悟]对数式的化简与求值的常用思路(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．第十六页，共四十页，2022年，8月28日答案：A第十七页，共四十页，2022年，8月28日第十八页，共四十页，2022年，8月28日答案：D第十九页，共四十页，2022年，8月28日第二十页，共四十页，2022年，8月28日4．已知f(x)＝loga(ax－1)(a＞0，且a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的单调性．第二十一页，共四十页，2022年，8月28日解：(1)由ax－1＞0，得ax＞1.当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0.∴当a＞1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；当0＜a＜1时，f(x)的定义域为(－∞，0)．(2)当a＞1时，设0＜x1＜x2，则1＜

＜

，故0＜－1＜

－1，∴loga(

－1)＜loga(

－1)，∴f(x1)＜f(x2)，故当a＞1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．类似地，当0＜a＜1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．第二十二页，共四十页，2022年，8月28日已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明．第二十三页，共四十页，2022年，8月28日第二十四页，共四十页，2022年，8月28日[归纳领悟]利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．

注意：在处理与对数函数有关的问题时，应注意底数的取值范围对解决问题的影响以及真数为正的限制条件．第二十五页，共四十页，2022年，8月28日[题组自测]第二十六页，共四十页，2022年，8月28日2．已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则f(－2)________f(a＋1)．(填写“<”“＝”“>”之一)解析：∵f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，∴a>1.∴a＋1>2.∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)<f(a＋1)．答案：<第二十七页，共四十页，2022年，8月28日3．已知f(x)＝log4(2x＋3－x2)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)的最大值，并求取得最大值时的x的值．解：(1)先求定义域得x∈(－1,3)，由于u＝2x＋3－x2＝－(x－1)2＋4在区间(－1,1]上是增函数，在区间[1,3)上是减函数，又由y＝log4u在(0，＋∞)上是增函数，故原函数的单调递增区间为(－1,1]，递减区间为[1,3)．(2)因为u＝－(x－1)2＋4≤4，当x＝1时，umax＝4，所以y＝log4u＝log44＝1，所以当x＝1时，f(x)取最大值1.第二十八页，共四十页，2022年，8月28日4．已知函数y＝loga(x－1)在区间[3,4]上总有1<|y|<2，

试求实数a的取值范围．第二十九页，共四十页，2022年，8月28日第三十页，共四十页，2022年，8月28日第三十一页，共四十页，2022年，8月28日第三十二页，共四十页，2022年，8月28日第三十三页，共四十页，2022年，8月28日[归纳领悟]利用它们的单调性可以解决有关的大小比较问题，进而可解指数、对数不等式和方程，其基本方法是“同底法”，即将不等式和方程两边化为同底的指数式(或对数式)，然后利用指数函数和对数函数的单调性脱去幂的形式(或对数符号)，得出自变量的不等(或相等)关系，从而把问题转化为熟悉的不等式(或方程)来解决．第三十四页，共四十页，2022年，8月28日第三十五页，共四十页，2022年，8月28日一、把脉考情从近两年的高考试题看，对数函数的性质是高考的热点，题型一般为选择题、填空题，属中低档题，主要考查利用对数函数的性质比较对数值大小，求定义域、值域、最值以及对数函数与相应指数函数的关系．预测2012年高考仍将以对数函数的性质为主要考点，重点考查运用知识解决问题的能力．第三十六页，共四十页，2022年，8月28日答案：D二、考题诊断1．(2010·天津高考)设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，

则 (

)A．a＜c＜b

B．b＜c＜aC．a＜b＜c D．b＜a＜c解析：由于b＝(log53)2＝log53·log53＜log53＜a＝log54＜1＜log45＝c，故b＜a＜c.第三十七页，共四十页，2022年，8月28日答案：A第三十八页，共四十页，2022年，8