第二章平面力系和平面力偶系

第二章平面力系和平面力偶系第一页，共三十七页，2022年，8月28日研究平面汇交力系的前提是力在坐标轴上的投影

X=Fx=Fcosa=FsinbY=Fy=F

cosb

=

F

sina第一节力在坐标轴上的投影第二页，共三十七页，2022年，8月28日合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。第三页，共三十七页，2022年，8月28日一、平面汇交力系的合成1）两个共点力的合成合力方向由正弦定理：由余弦定理： 由力的平行四边形法则合成，也可用力的三角形法则合成。第二节平面汇交力系的合成与平衡1.几何法第四页，共三十七页，2022年，8月28日2）任意个共点力的合成(力多边形法）先作力多边形abcde再将R平移至A点

平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。即结论：推广至n个力第五页，共三十七页，2022年，8月28日二、平面汇交力系平衡的几何条件在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：平面汇交力系平衡的充要条件是：力多边形自行封闭或力系中各力的矢量和等于零。第六页，共三十七页，2022年，8月28日平面汇交力系平衡的充要条件是：注意：对力的方向判定不准的，一般用解析法。利用平衡方程通过解析法解题时，力的方向可以任意假设，如果求出负值，说明力的方向与假设相反。

三、平面汇交力系的平衡方程第七页，共三十七页，2022年，8月28日第三节力矩、平面力偶系的合成与平衡一、力对点的矩1.力矩的概念和性质将力F对点O的矩定义为：力F的大小与从O点到力F的作用线的垂直距离的乘积，即

方向用右手法则确定：以使物体作逆时针转动为正（图示为正），作顺时针转动为负，将O点到力O的作用线的垂直距离h称为力臂。

第八页，共三十七页，2022年，8月28日2、合力矩定理平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩等于力系中所有各分力对同一点之矩的代数和，即3、力矩与合力矩的解析表达式第九页，共三十七页，2022年，8月28日二、力偶力偶：两力大小相等、作用线不重合的反向平行力叫力偶。1、力偶及其性质力偶使物体转动效应一般通过力偶矩来衡量，力偶矩的大小为Fd，方向由右手法则确定，平面力偶矩也为代数量，用M（F，F′）来表示，即M（F，F′）=±2S△ABC第十页，共三十七页，2022年，8月28日由此可以推出

即平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩的代数和。

平面力偶系平衡的充要条件是：所有各力偶矩的代数和等于零。

第十一页，共三十七页，2022年，8月28日第四节力线的平移定理一、力线平移定理作用在刚体上某点的力，可以平移至刚体上任意一点，但同时必须增加一个附加力偶，该力偶的力偶矩等于原力对该点之矩。第十二页，共三十七页，2022年，8月28日（1）力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力等效与力和力偶的共同作用；（2）力平移的条件是附加一个力偶M，且M与d有关，M=Fd；（3）力线平移定理是力系简化的理论基础。由证明过程可以归纳出：第十三页，共三十七页，2022年，8月28日二、固定端约束在工程实际中，有很多构件的一部分嵌固于另一物体上而受到约束作用，这样的约束称为固定端约束。

这种约束不但限制物体在约束处沿任意方向的线位移，也限制物体在约束处的角位移，即物体在A端没有移动和转动。

固定端约束：其约束反力在平面情况下，通常用两正交分力和一个力偶表示；AFAxFAyMA第十四页，共三十七页，2022年，8月28日第五节平面任意力系的简化一、力系向平面内任意一点的简化平面任意力系的简化主要依据是力线平移定理，简化的实质是将一个平面任意力系分解为一个平面汇交力系和一个平面力偶系，然后将这两个力系进行合成。第十五页，共三十七页，2022年，8月28日主矢主矩由合力投影定理，将上式写成解析形式，得：第十六页，共三十七页，2022年，8月28日设刚体受到力系Fi(i=1,2,…,n)作用，诸作用点相对固定点O的矢径依次为ri(i=1,2,…,n)。力系Fi的矢量和，称为力系的主矢。记为FR,主矢仅取决于力系中各力的大小和方向，而不涉及作用点，是一个自由矢量。计算力系Fi对固定点O的力矩的矢量和，称为力系对点O的主矩。记为MO它不仅取决于力系中各力的大小、方向和作用点，还取决于矩心的选择。因此，主矩是定位矢量。第十七页，共三十七页，2022年，8月28日平面力系总可以简化为一个主矢和一个主矩，可能有以下几种情况：该力系等效一个合力偶该力系等效一个合力仍然可以继续简化为一个合力，方法如下：OOO’O’O称该力系平衡只要满足：二、简化结果分析与合力矩定理第十八页，共三十七页，2022年，8月28日合力矩定理——平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各力对于同一点之矩的代数和。第十九页，共三十七页，2022年，8月28日

物体在力系作用下，保持平衡的充分必要条件是:力系的主矢与对任一点的主矩均为零

，即：上式称为平衡方程一矩式，二矩式和三矩式分别为：条件是：AB两点的连线不能与x轴或y轴垂直条件是：ABC三点不能共线第六节平面任意力系的平衡方程及应用第二十页，共三十七页，2022年，8月28日1、二矩式限制A、B两点的连线AB不能垂直于x轴。为什么上述的平衡方程也能满足力系平衡的必要和充分条件？第二十一页，共三十七页，2022年，8月28日这是因为，如果力系对点A的主矩等于零，则这个力系不可能简化为一个力偶；但可能有两种情形：这个力系或者是简化为经过A的一个力，或者平衡，如果力系对另一点B的主矩也同时为零，则这个力系或有一合力沿A，B两点的连线，或者平衡。

如果再加上X=0，那么力系如有合力，则此合力必与X轴垂直。附加条件（x轴不得垂直连线AB）完全排除了力系简化一个合力的可能性，故所研究的力系必为平衡力系。第二十二页，共三十七页，2022年，8月28日问题：在应用平面力系二矩式平衡方程时,所选择的矩心A、B，投影轴x为什么要满足附加条件？

如下图所示，一刚体只受一个力F作用（显然刚体不平衡，二矩式平衡方程不能成立），若所选的矩心A、B和投影轴x违背附加条件的要求，则二矩式平衡方程成立，因此就出现了错误。所以，在使用二矩式平衡方程时，选择矩心和投影轴时必须满足附加条件

即：投影轴不能与矩心A、B两点的连线相垂直。第二十三页，共三十七页，2022年，8月28日2、三矩式限制A、B、C三点不能在同一条直线上。第二十四页，共三十七页，2022年，8月28日问题：在应用平面力系三矩式平衡方程时，矩心A、B、C三点为什么要满足附加条件？

如果一刚体只受一个力F作用（显然刚体不平衡，三矩式平衡方程不能成立),若在选择矩心时,违背附加条件的要求，即：A、B、C选在一条直线上，如下图所示：

则三矩式平衡方程也成立，因此就出现了错误。所以，在使用三矩式平衡方程时，三矩心的选择必须满足附加条件，即：三点不能在一条直线上。第二十五页，共三十七页，2022年，8月28日

例2-4如图所示的体系，已知P=150kN，AC=1.6m，BC=0.9m，CD=CE=1.2m，AD=2m且AB水平，ED铅垂，BD垂直于斜面，求FB和A支座反力。解(1)以体系整体为研究对象。(2)画出受力图。(3)选坐标列方程。第二十六页，共三十七页，2022年，8月28日(4)再研究AB杆。第二十七页，共三十七页，2022年，8月28日

例2-5简支梁受力如图所示，已知：均布荷载q=1kN/m，集中力F=5kN，力偶M=4kN·m，求支座反力。

解:(1)以AB梁为研究对象。(2)画出受力图。(3)选坐标列方程。结果为正值，说明与假设方向一致。

由得由得结果为正值，说明与假设方向一致。

第二十八页，共三十七页，2022年，8月28日第七节静定与静不定问题及物系的平衡一、静定与静不定问题静定问题——未知力数目等于对应的独立平衡方程的数目，因此可以由平衡方程求得所有的未知量，这一类问题我们称之为静定问题。

第二十九页，共三十七页，2022年，8月28日静不定问题——未知力数目多于对应的独立平衡方程的数目。静不定问题的求解必须借助变形协调方程。第三十页，共三十七页，2022年，8月28日二、物系的平衡物系——两个或两个以上的物体通过一定的联结（约束）方式组合在一起的系统称为物系或物体系。物系内部物体之间作用的力称为内力；物体外部作用于整个物系的力称为外力。一般情况下，研究物系的受力时不考虑内力，但当研究物系中个别物体时必须考虑内力。当物系处于平衡状态时，物系内的每个物体也处于平衡状态，因此在研究物系平衡时，选取研究对象，既可以选个别物体，也可以选几个物体的组合甚至整个物系

。

第三十一页，共三十七页，2022年，8月28日

例2-6多跨静定梁受力如图所示，求支座A、B、C处的反力

。

解(1)首先取BC段为研究对象。第三十二页，共三十七页，2022年，8月28日(2)再取CDE段为研究对象。

////第三十三页，共三十七页，2022年，8月28日(3)取AB段为研究对象。

//////第三十四页，共三十七页，2022年，8月28日(1)力线平移定理：作用在刚体上的力F可以平行移动到刚体内任意一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原力F对平移点之矩。本章小结（2）平面力系总可以简化为一个主矢和一个主矩，可能有以