第二章 流体静力学

第二章流体静力学第一页，共一百一十二页，2022年，8月28日第二章流体静力学概述流体静力学研究的内容第一节作用在流体上的力第二节流体的静压力及其特性第三节流体平衡微分方程和等压面第四节流体静力学基本方程第五节绝对压力、相对压力和真空度第二页，共一百一十二页，2022年，8月28日第二章流体静力学第六节浮力作用下气体静力学基本方程第七节液柱式测压计原理第八节液体的相对平衡第九节静止液体作用在平面上的总压力

及压力中心第十节静止液体作用在曲面上的总压力第三页，共一百一十二页，2022年，8月28日概述

※流体静力学是研究静止状态下的流体在外力作用下的平衡规律，以及这些规律的实际应用。从工程应用的角度，在多数情形下，我们总是忽略地球自转和公转的影响，而把地球选作参照系，通常称为惯性参照系。

※当流体相对于惯性参照系没有运动时，我们便说该流体处于静止状态或平衡状态。流体静力学研究的内容流体的参照系第四页，共一百一十二页，2022年，8月28日概述如果我们选择本身具有加速度的物体作为参照系，则称为非惯性参照系。

※当流体相对于非惯性参照系没有运动时，便说它处于相对静止或相对平衡状态。

本章所讨论的流体平衡规律，不论是对理想流体，还是对实际流体都是适用的。第五页，共一百一十二页，2022年，8月28日第一节作用在流体上的力内容提要一、表面力及其表示方法二、质量力及其表示方法第六页，共一百一十二页，2022年，8月28日第一节作用在流体上的力

※表面力是指作用在所研究流体的表面上，且与流体的表面积成正比的力。表面力不仅指作用在流体外表面上的力，也包括作用在流体内部任一表面上的力。

表面力一般可分解成两个分力，即与流体表面垂直的法向力P和与流体表面相切的切向力T。在连续介质中，表面力不是一个集中的力，而是沿着表面连续分布的。因此，在流体力学中，常用单位表面积上所作用的表面力—法向应力和切向应力来表示，其单位为N/m2。一、表面力及其表示方法第七页，共一百一十二页，2022年，8月28日第一节作用在流体上的力图2-1作用在流体上的表面力第八页，共一百一十二页，2022年，8月28日第一节作用在流体上的力法向应力(2-1)切向应力(2-2)

例如：由粘性所产生的内摩擦力和流体受到的固体壁面的摩擦力，以及固体壁面对流体的压力等都是表面力。第九页，共一百一十二页，2022年，8月28日第一节作用在流体上的力

※质量力是指作用在流体的所有质点上，并且和流体的质量成正比的力。它可以从远距离作用于流体内每一个流体质点上。

对于均匀流体，质量力又与流体的体积成正比，因此，质量力又称为体积力。

例如：地球对流体质点的吸引力；带电流体所受的静电力；有电流通过的流体所受的电磁力；流体质点上虚加的惯性力都是质量力。惯性力的大小等于质量乘以加速度，其方向与加速度的方向相反。二、质量力及其表示方法第十页，共一百一十二页，2022年，8月28日第一节作用在流体上的力质量力的大小常以作用在单位质量流体上的质量力来度量。单位质量力通常用来表示。在直角坐标系中，设质量为m的流体所受的质量力为F，它在各坐标轴上的投影分别为Fx、Fy、Fz，则单位质量力在各坐标轴上的分量分别为(2-3)则(2-4)单位质量力及其在各坐标轴上的分量的单位是N/kg或m/s2，与加速度的单位相同。单位质量力第十一页，共一百一十二页，2022年，8月28日第二节流体的静压力及其特性内容提要

1、流体静压力的概念2、流体静压力的基本特性第十二页，共一百一十二页，2022年，8月28日第二节流体的静压力及其特性

※在流体内部或流体与固体壁面间所存在的单位面积上的法向作用力称为流体的压力。当流体处于静止或相对静止状态时，流体的压力就称为流体的静压力。流体静压力的概念第十三页，共一百一十二页，2022年，8月28日第二节流体的静压力及其特性

特性一：流体静压力的方向与作用面相垂直，并指向作用面的内法线方向。

特性二：静止流体中任一点流体静压力的数值与作用面在空间的方位无关，只是该点坐标的函数。也就是说，在静止流体中任一点处各方向的流体静压力均相等。流体静压力的基本特性第十四页，共一百一十二页，2022年，8月28日第二节流体的静压力及其特性

根据流体的定义和特性可以证明流体静压力的第一个特性。流体不能够承受拉力(表面张力除外)，在微小剪切力作用下也会发生变形，变形必将引起流体质点的相对运动，这就破坏了流体的平衡。因此，在平衡条件下的流体不能承受拉力和切力，只能承受压力，而压力就是沿内法线方向垂直作用于作用面上。这就证明了流体静压力的第一个特性。如图2-2所示，静止流体对容器的静压力恒垂直于器壁。流体静压力特性的证明第十五页，共一百一十二页，2022年，8月28日第二节流体的静压力及其特性图2-2静压力恒垂直于器壁

为了证明流体静压力的第二个特性，在静止流体中取出直角边长各为dx、dy、dz的微元四面体ABCD，如图2－3所示。第十六页，共一百一十二页，2022年，8月28日第二节流体的静压力及其特性图2-3微元四面体受力分析第十七页，共一百一十二页，2022年，8月28日第二节流体的静压力及其特性作用在各面上流体的总压力分别为第十八页，共一百一十二页，2022年，8月28日第二节流体的静压力及其特性作用在微元四面体上的总质量力W在各坐标轴上的分量分别为由于流体的微元四面体处于平衡状态，故作用在其上的一切力在各坐标轴上投影的总和等于零。对于直角坐标系，则有，，第十九页，共一百一十二页，2022年，8月28日第二节流体的静压力及其特性在x轴方向上力的平衡方程为把Px、Pn和Wx的各式代入得由于dAncosα=dydz/2，代入上式并简化得当微元四面体以A点为极限时，dx、dy、dz都趋近于零，则上式成为第二十页，共一百一十二页，2022年，8月28日第二节流体的静压力及其特性同理可证所以(2-5)由于n的方向是完全可以任意选取的，则式(2-5)表明：由各个方向作用于一点的流体静压力大小是相等的，从而证明了流体静压力的第二个特性。虽然流体中同一点各方向的静压力相等，但空间不同点的静压力则可以是不同的。因流体是连续介质，所以流体静压力应是空间点的坐标的连续函数。即第二十一页，共一百一十二页，2022年，8月28日第三节流体平衡微分方程和等压面内容提要一、流体平衡微分方程二、有势质量力及力的势函数三、等压面及其特性第二十二页，共一百一十二页，2022年，8月28日第三节流体平衡微分方程和等压面如图2-4所示，从静止流体中取出一边长分别为dx、dy、dz的微元平行六面体，其中心点为a，坐标为(x，y，z)，该点的流体静压力为p=p(x，y，z)。作用在平衡六面体上的力有表面力和质量力。由于流体处于平衡状态，所以没有切应力，故表面力只有沿内法线方向作用在六面体六个面上的静压力。一、流体平衡微分方程第二十三页，共一百一十二页，2022年，8月28日第三节流体平衡微分方程和等压面图2-4平衡微元平行六面体及x方向的受力第二十四页，共一百一十二页，2022年，8月28日第三节流体平衡微分方程和等压面由于微元六面体处于平衡状态，则有ΣFx=0，ΣFy=0，ΣFz=0。在x轴方向上或者如果用微元体的质量ρdxdydz去除上式，则得到单位质量流体在x方向上的平衡方程第二十五页，共一百一十二页，2022年，8月28日第三节流体平衡微分方程和等压面同理得到(2-6)

写成向量形式(2-6a)这就是直角坐标系下流体平衡微分方程式。它是欧拉在1755年首先提出的，又称为欧拉平衡微分方程式。第二十六页，共一百一十二页，2022年，8月28日第三节流体平衡微分方程和等压面在圆柱坐标系下的流体平衡微分方程式的形式为(2-7)第二十七页，共一百一十二页，2022年，8月28日第三节流体平衡微分方程和等压面欧拉平衡微分方程的物理意义：

当流体平衡时，作用在单位质量流体上的质量力与压力的合力相互平衡，它们沿三个坐标轴的投影之和分别等于零。

欧拉平衡微分方程的应用范围：

①既适用于静止流体，也适用于相对静止的流体。

②不仅适用于不可压缩流体，而且也适用于可压缩流体。

③既适用于理想流体，也适用于粘性流体。第二十八页，共一百一十二页，2022年，8月28日第三节流体平衡微分方程和等压面为了便于积分和工程应用，流体平衡微分方程式可以改写为另一种形式，即全微分形式。将式(2-6)中各分式分别乘以dx、dy、dz，相加得因为压力p是坐标的连续函数，故p的全微分为

则流体平衡微分方程式(2-6)可表示为全微分形式(2-8)第二十九页，共一百一十二页，2022年，8月28日第三节流体平衡微分方程和等压面同样，对于圆柱坐标系下流体平衡微分方程式的全微分式为(2-9)第三十页，共一百一十二页，2022年，8月28日第三节流体平衡微分方程和等压面

有势质量力及力的势函数有如下定义：

设有一质量力场，若存在一个单值函数，满足，则称该质量力场为有势力场，力称为有势质量力，函数称为该力场的势函数。由流体平衡微分方程式(2-6a)可以看出，如果流体为不可压缩流体，其密度ρ=常数，则存在一单值函数U(x，y，z)，满足二、有势质量力及力的势函数第三十一页，共一百一十二页，2022年，8月28日第三节流体平衡微分方程和等压面根据有势质量力的定义，可以得出这样的结论：“凡满足不可压缩流体平衡微分方程的质量力必然是有势力。”或者说：“不可压缩流体只有在有势质量力的作用下才能够处于平衡状态。”第三十二页，共一百一十二页，2022年，8月28日第三节流体平衡微分方程和等压面由于因此可得(2-10)上述向量式的两边同时点乘得(2-11)

上式表明：力的势函数的全微分dU为单位质量力在空间移动距离所做的功。可见，有势质量力所做的功与路径无关。第三十三页，共一百一十二页，2022年，8月28日第三节流体平衡微分方程和等压面比较式(2-8)和式(2-11)可得或(2-12)上式即为不可压缩流体内部静压力p与力的势函数U之间的关系式，积分常数C可由边界条件确定。第三十四页，共一百一十二页，2022年，8月28日第三节流体平衡微分方程和等压面静止流体中压力相等的各点所组成的面称为等压面。例如液体与气体交界的自由表面就是最明显的等压面，其上各点的压力都等于液面上气体的压力。既然在等压面上各点的压力都相等，则可用p(x，y，z)=C来表示。在不同的等压面上其常数C的值是不同的，而且流体中任意一点只能有一个等压面通过。所以流体中可以作一系列的等压面。在等压面上dp=0，代入(2-8)式，可得到等压面微分方程为(2-13)三、等压面及其特性第三十五页，共一百一十二页，2022年，8月28日第三节流体平衡微分方程和等压面

等压面具有以下三个重要特性：

(1)不可压缩流体中，等压面与等势面重合。所谓等势面就是力的势函数U(x，y，z)=C的面。

(2)在平衡流体中，作用于任一点的质量力必定垂直于通过该点的等压面。(3)两种互不相混的流体处于平衡状态时，其分界面必定为等压面。第三十六页，共一百一十二页，2022年，8月28日第三节流体平衡微分方程和等压面图2-5质量力与等压面的关系第三十七页，共一百一十二页，2022年，8月28日第四节流体静力学基本方程内容提要1、重力流体的概念2、流体静力学基本方程的推导3、流体静力学基本方程的物理意义4、流体静力学基本方程的使用条件5、水静力学基本方程的推导及意义6、基准面的选取和等压面的确定第三十八页，共一百一十二页，2022年，8月28日第四节流体静力学基本方程在自然界和工程实际中，经常遇到的是作用在流体上的质量力只有重力的情况。作用在流体上的质量力只有重力的流体简称为重力流体。重力流体的概念第三十九页，共一百一十二页，2022年，8月28日第四节流体静力学基本方程如图2-6所示，坐标系的x轴和y轴为水平方向，z轴垂直向上。因为质量力只有重力，故单位质量力在各坐标轴上的分量为此处g为重力加速度，它代表单位质量流体所受的重力。因为重力加速度的方向垂直向下，与z轴方向相反，故式中加一“—”号。流体静力学基本方程的推导第四十页，共一百一十二页，2022年，8月28日第四节流体静力学基本方程图2-6重力作用下的静止流体第四十一页，共一百一十二页，2022年，8月28日第四节流体静力学基本方程将上述质量力各分量代入压力微分方程式(2-8)得或写成对于不可压缩流体，ρ=常数。积分上式得(2-14)或(2-14a)式中C为积分常数，可由边界条件确定。这就是流体静力学基本方程。第四十二页，共一百一十二页，2022年，8月28日第四节流体静力学基本方程对于在静止流体中任取的1和2两点，它们的垂直坐标分别为z1和z2，静压力分别为p1和p2(见图2-6)。则式(2-14)可以写成(2-15)(2-15a)第四十三页，共一百一十二页，2022年，8月28日第四节流体静力学基本方程流体静力学基本方程的物理意义包含力学意义、能量意义和几何意义。

①力学意义：式(2-14a)中的p为单位面积上流体所受的压力，称为静压，即流体的静压力，单位是牛顿/米2。式(2-14a)中的ρgz为单位底面积、z高度的流体柱具有的重力，称为位压；单位是牛顿/米2。

式(2-14a)表明，平衡状态下的不可压缩重力流体所受到的位压和静压彼此平衡。流体静力学基本方程的物理意义第四十四页，共一百一十二页，2022年，8月28日第四节流体静力学基本方程

②能量意义：式(2-14)中的p/γ表示单位重量流体的压力能，称为比压力能。因为压力为p、体积为V的流体所做的膨胀功(推动功)为pV，则单位重量物体所具有的压力能为：pV/G=p/γ。

式(2-14)中的z表示单位重量流体相对于某一基准面的位能，称为比位能。把质量为m的物体从基准面提升一定高度z后，该物体所具有的位能是mgz，则单位重量物体所具有的位能为：(mgz)/(mg)=z。比压力能p/γ和比位能z的单位都是焦耳/牛顿。第四十五页，共一百一十二页，2022年，8月28日第四节流体静力学基本方程关于比压力能的概念，可参照图2-7作进一步解释：图2-7闭口测压管中液柱上升高度第四十六页，共一百一十二页，2022年，8月28日第四节流体静力学基本方程比压力能与比位能之和(p/γ+z)称为单位重量流体的总势能。式(2-14)表示在重力作用下静止流体中各点的单位重量流体的总势能是相等的。这就是静止流体中的能量守恒定律。第四十七页，共一百一十二页，2022年，8月28日第四节流体静力学基本方程

③几何意义：式(2-14)中的p/γ表示单位重量流体的压力能与一段液柱的高度相当，称之为压力高度，或称为压力压头或静压头，单位为米。式(2-14)中的z为流体质点距某一基准面的高度，称为位置高度，或称为几何压头或位压头。单位为米。静压头与位压头之和(p/γ+z)称为测压管压头。因此，式(2-14)也表示静止流体中各点的测压管压头都是相等的。如图2-8所示,图中AA线或A'A'线称为测压管压头线，它们都是水平线。第四十八页，共一百一十二页，2022年，8月28日第四节流体静力学基本方程图2-8静止流体的测压管压头线第四十九页，共一百一十二页，2022年，8月28日第四节流体静力学基本方程流体静力学基本方程的使用条件是：只受重力作用的不可压缩的静止流体。流体静力学基本方程的使用条件第五十页，共一百一十二页，2022年，8月28日第四节流体静力学基本方程取自由液面为基准面，向下取液体深度h为垂直坐标(如图2-6)。由于深度h的方向与z轴的方向相反，所以dh=-dz，于是对于不可压缩流体，γ=常数。积分上式得(2-16)式中C为积分常数，可由边界条件确定。因为当h=0时，p=p0为自由液面上的气体压力，则C=p0，代入上式得(2-17)水静力学基本方程式的推导第五十一页，共一百一十二页，2022年，8月28日第四节流体静力学基本方程

(1)在重力作用下的静止液体中，静压力p随深度h按线性规律变化。即随深度h的增加，液体静压力p值随之成正比地增大。

(2)静止液体内任一点的静压力由两部分组成：一部分是自由液面上的压力p0；另一部分是底面积为1，深度为h、重度为γ的一段液体柱的重量γh。

(3)在静止液体中，位于同一深度(h=常数)的各点的静压力都相等。即静止液体内任一水平面都是等压面。水静力学基本方程式的意义第五十二页，共一百一十二页，2022年，8月28日第四节流体静力学基本方程

(4)静止液体表面上所受到的压力p0(即外部压力)，能够大小不变地传递到液体内部的每一点上去。此即帕斯卡定律。第五十三页，共一百一十二页，2022年，8月28日第四节流体静力学基本方程

基准面的选取：基准面一般是选取一个与地球同心的椭球面。对于研究小范围内的工程问题时，可取水平面作为基准面。至于基准面的具体位置，原则上是可以任意选定的，视计算的方便而定。

等压面的确定：对于静止的流体，主要是看等密度的同种流体是否连通，如果该流体是连通的，则该流体内的任一水平面都是等压面。否则(如某一流体被另一流体隔开)，该流体内的水平面就不一定是等压面，要视具体情况确定。基准面的选取和等压面的确定第五十四页，共一百一十二页，2022年，8月28日第四节流体静力学基本方程对于相对静止的流体，除了作匀速直线运动和垂直等加速运动的流体可用上述方法确定等压面外，一般情况下是用解析方法由等压面方程来确定等压面。第五十五页，共一百一十二页，2022年，8月28日第五节绝对压力、相对压力和真空度内容提要1、绝对压力的概念2、相对压力的概念3、正压、负压和零压的概念4、真空度的概念第五十六页，共一百一十二页，2022年，8月28日第五节绝对压力、相对压力和真空度对于流体压力的测量和标定有两种不同的基准：

(1)以没有流体分子存在的完全真空时的绝对零压(p=0)为基准来度量流体的压力，称为绝对压力。

(2)以同一高度的当地大气压力为基准来度量流体的压力，称为相对压力。

绝对压力与相对压力的关系为或(2-18)式中：p为流体的绝对压力(Pa)；pa为当地大气压力(Pa)；pm为流体的相对压力(Pa)。第五十七页，共一百一十二页，2022年，8月28日第五节绝对压力、相对压力和真空度由于流体的相对压力pm可以由压力表直接测得，所以又称之为表压力。

※若流体的绝对压力高于当地大气压力时，其相对压力为正值，我们称为正压；

※若流体的绝对压力低于当地大气压力时，其相对压力为负值，我们称为负压。这时流体处于真空状态。

※若流体的绝对压力等于当地大气压力时，其相对压力为负值，我们称为零压。

例如：泵和风机的吸入管、烟囱底部等处都是负压。第五十八页，共一百一十二页，2022年，8月28日第五节绝对压力、相对压力和真空度所谓真空度是指流体的绝对压力小于当地大气压力所产生真空的程度。它不是流体的绝对压力，而是流体的绝对压力不足于当地大气压力的差值部分，亦即负的相对压力，也称为真空压力，常用pv表示。用数学式表示为(2-19)如以液柱高的形式来表示真空压力，就称为真空高度，即(2-20)可见，若某点的绝对压力为零，则pv=pa，称该点处于绝对真空，即理论上的最大真空度。第五十九页，共一百一十二页，2022年，8月28日第五节绝对压力、相对压力和真空度图2-9绝对压力、大气压力、相对压力及真空度的相互关系第六十页，共一百一十二页，2022年，8月28日第六节大气浮力作用下气体的

静力学基本方程内容提要

1、大气浮力作用下气体静力学基本方程的形式2、大气浮力作用下气体静力学基本方程的使用条件3、大气浮力作用下气体静力学基本方程的物理意义第六十一页，共一百一十二页，2022年，8月28日第六节大气浮力作用下气体的

静力学基本方程图2-10为一置于大气空间中盛有某种气体的容器或设备(如空调室、锅炉炉膛等)，现在用式(2-14a)对容器内的气体和容器外的大气分别列出静力学基本方程，即(1)(2)由式(1)减去式(2)，并注意到p－pa=pm为气体的相对压力，得(2-21)该方程的使用条件与式(2-14)相同。气体静力学基本方程的形式第六十二页，共一百一十二页，2022年，8月28日第六节大气浮力作用下气体的

静力学基本方程图2-10大气浮力作用下的静止气体第六十三页，共一百一十二页，2022年，8月28日第六节大气浮力作用下气体的

静力学基本方程①力学意义：式(2-21)中pm为容器内z高度处气体的相对压力，单位为牛顿/米2。(γg-γa)z为底面积为1高度为z的气体柱的重力γgz与其所受到的大气浮力γaz之差，即气体柱的有效重力，单位为牛顿/米2。式(2-21)表明，静止状态下的气体所受到的有效重力与其相对压力相平衡。由式(2-21)可以看出，对于热的气体，γg＜γa，γg-γa＜0，因此，热气体的相对压力pm沿高度方向是越往上越大，而越往下越小。第六十四页，共一百一十二页，2022年，8月28日第六节大气浮力作用下气体的

静力学基本方程

②能量意义：式(2-21)中pm为单位体积气体所具有的相对压力能，即流体的压力相对于大气所做的膨胀功，单位是焦耳/米3；(γg-γa)z为单位体积气体相对于基准面所具有的相对位能，即有效重力相对于基准面所具有的做功的本领，单位是焦耳/米3。式(2-21)表明，静止状态下的单位体积气体所具有的相对压力能与相对位能之和(相对势能)是守恒的。第六十五页，共一百一十二页，2022年，8月28日第六节大气浮力作用下气体的

静力学基本方程对于容器中的1、2两点，式(2-21)可以写成(2-22)第六十六页，共一百一十二页，2022年，8月28日第七节液柱式测压计原理内容提要一、测压管(单管测压计)二、U型管测压计三、U型管差压计四、斜管微压计第六十七页，共一百一十二页，2022年，8月28日第七节液柱式测压计原理

根据流体静力学基本方程(2-17)得容器中A点的绝对压力为A点处的相对压力为一、测压管(单管测压计)图2-11测压管第六十八页，共一百一十二页，2022年，8月28日第七节液柱式测压计原理

应当注意：

(1)由于各种液体重度不同，所以仅标明高度尺寸不能代表压力的大小，还必须同时注明是何种液体的液柱高度才行。(2)测压管只适用于测量较小的压力，一般不超过10kPa。如果被测压力较高，则需要加长测压管的长度，使用就很不方便。(3)测压管中的工作介质就是被测容器(或管道)中的流体，所以测压管只能用于测量液体的正压，而对于测量液体的负压以及气体的压力则不适用。(4)在测量过程中，测压管一定要垂直放置，否则将会产生测量误差。第六十九页，共一百一十二页，2022年，8月28日第七节液柱式测压计原理

(一)被测容器中的流体压力高于大气压力的情况：

这时p＞pa，如图2-12(a)所示。1-2断面为等压面，即p1=p2，由式(2-17)，可得所以

则容器中A点的绝对压力为(a)A点的相对压力为(b)二、U型管测压计第七十页，共一百一十二页，2022年，8月28日第七节液柱式测压计原理(a)(b)图2-12U型管测压计第七十一页，共一百一十二页，2022年，8月28日第七节液柱式测压计原理(二)被测容器中的流体压力小于大气压力的情况：

这时p＜pa，如图2-12(b)所示。1-2是等压面，即p1=p2。由式(2-17)可得所以有则容器中A点的绝对压力为(c)A点的真空度(或负表压)为

(d)若用U型管测量气体压力，γ1h1项可忽略不计。第七十二页，共一百一十二页，2022年，8月28日第七节液柱式测压计原理若pA＞pB，1-2断面为等压面，即p1=p2。由静力学基本方程(2-17)得由于p1=p2，因此则若两个容器内是同一流体，即γA=γB=γ1，则上式可写成三、U型管差压计第七十三页，共一百一十二页，2022年，8月28日第七节液柱式测压计原理图2-14U型管差压计第七十四页，共一百一十二页，2022年，8月28日第七节液柱式测压计原理

若被测气体的压力p＞pa，有，。根据流体静力学基本得被测气体的绝对压力为(a)

其相对压力为(b)式中k=γ[(A2/A1)+sinα]，称为斜管微压计常数。四、斜管微压计第七十五页，共一百一十二页，2022年，8月28日第七节液柱式测压计原理图2-16斜管微压计第七十六页，共一百一十二页，2022年，8月28日第八节液体的相对平衡内容提要一、匀速直线运动液体的相对平衡二、水平等加速运动液体的相对平衡三、等角速度旋转液体的相对平衡第七十七页，共一百一十二页，2022年，8月28日第八节液体的相对平衡作用在液体上的质量力只有重力而没有惯性力。此外，液体质点间也不存在粘性力。这样，只要把坐标系取在容器上，前面所讨论的关于重力作用下的静止流体的平衡规律及其特性将完全适用。即它们的等压面方程为z＝C液体内任一点的静压力可由流体静力学基本方程式求得，即p＝p0+γh一、匀速直线运动液体的相对平衡第七十八页，共一百一十二页，2022年，8月28日第八节液体的相对平衡作用在单位质量液体上的质量力为将上述单位质量力的分量代入压力微分方程式(2-8)得将上式积分，得(2-23)当x=0，z=0时，p=p0，代入上式得积分常数C=p0。于是(2-24)这就是水平等加速运动液体的静压力分布公式。二、水平等加速运动液体的相对平衡第七十九页，共一百一十二页，2022年，8月28日第八节液体的相对平衡图2-17水平等加速运动容器中液体的相对平衡第八十页，共一百一十二页，2022年，8月28日第八节液体的相对平衡将单位质量力分量代入等压面微分方程式(2-13)得积分上式，得(2-25)这就是等压面方程。水平等加速直线运动容器中液体的等压面是一族平行的斜面。该倾斜的平面族与x轴所在的水平面的夹角为(2-26)第八十一页，共一百一十二页，2022年，8月28日第八节液体的相对平衡在自由液面上，因x=0时，z=0，则等压面方程中的积分常数C=0，因此自由液面的方程式为(2-27)或(2-27a)将式(2-24)改写成下面的形式

将式(2-27a)代入上式得(2-24a)第八十二页，共一百一十二页，2022年，8月28日第八节液体的相对平衡上式中h=zs-z，为某点距液体倾斜自由液面下的深度，简称淹深。比较式(2-24a)和式(2-17)可以看出，水平等加速直线运动容器中液体的静压力在深度方向的分布规律与静止流体中的静压力分布规律是相同的，即液体内任一点的静压力均等于液面上的压力p0加上液体的重度γ与该点淹深h的乘积。第八十三页，共一百一十二页，2022年，8月28日第八节液体的相对平衡在圆柱坐标系下，作用在单位质量流体上的质量力分量为将单位质量力分量代入压力微分方程式(2-9)，得对上式积分得(2-28)当r=0、z=0时，p=p0，则积分常数Ｃ=p0，于是(2-29)三、等角速度旋转液体的相对平衡第八十四页，共一百一十二页，2022年，8月28日第八节液体的相对平衡图2-19等角速度旋转容器中液体的相对平衡第八十五页，共一百一十二页，2022年，8月28日第八节液体的相对平衡上式就是等角速度旋转容器中液体的静压力分布公式。上式表明在同一高度上，液体的静压力沿径向按半径的二次方增长。将单位质量力的各分量代入等压面微分方程式，得积分得(2-30)式(2-30)表明，等角速度旋转容器中液体的等压面是一族绕z轴的旋转抛物面。第八十六页，共一百一十二页，2022年，8月28日第八节液体的相对平衡在自由表面上，当r=0时，z=0，可得积分常数C=0。故自由表面方程为(2-31)或(2-31a)式中rs、zs为自由表面上任一点的坐标。将式(2-31a)代入式(2-29)，可得(2-29a)式中h=zs-z，为液体中某点的深度，简称淹深。第八十七页，共一百一十二页，2022年，8月28日第八节液体的相对平衡

图2-20顶盖中心开口的容器讨论两种特殊的情况：第八十八页，共一百一十二页，2022年，8月28日第八节液体的相对平衡图2-21顶盖边缘开口的容器第八十九页，共一百一十二页，2022年，8月28日第九节静止液体作用在平面上的

总压力及压力中心内容提要一、解析法(一)确定总压力的大小和方向(二)

确定总压力的作用点——压力中心二、图解法第九十页，共一百一十二页，2022年，8月28日第九节静止液体作用在平面上的

总压力及压力中心(一)确定总压力的大小和方向设有一面积为A的任意形状的平面ab，与水平液面成α的夹角，液面上的压力为p0，如图2-24所示。取平面ab的延伸面与水平液面的交线为ox轴，取ab所在平面上与ox轴垂直的线为oy轴。为了分析方便起见，我们将平面ab绕oy轴转动90°(如图2-24)。图中C点为ab面的形心，D点为总压力的作用点。总压力可按平行力系求和的原理来确定。一、解析法第九十一页，共一百一十二页，2022年，8月28日第九节静止液体作用在平面上的

总压力及压力中心图2-24作用在平面上的液体总压力第九十二页，共一百一十二页，2022年，8月28日第九节静止液体作用在平面上的

总压力及压力中心设在受压平面上任取一微元面积dA，其中心点在液面下的深度为h，作用在dA中心点上的压力为p=p0+γh，则作用在微元面积dA上的总压力为根据平行力系求和原理，作用在整个面积A上的总压力为式中为面积A对ox轴的静面矩，由理论力学知第九十三页，共一百一十二页，2022年，8月28日第九节静止液体作用在平面上的

总压力及压力中心如以pc代表形心C处液体的静压力，则上式可写成(2-33)上式表明：静止液体作用在任意形状平面上的总压力的大小，等于该平面形心处的静压力与平面面积的乘积。

液体总压力的方向垂直指向受压面的内法线方向。第九十四页，共一百一十二页，2022年，8月28日第九节静止液体作用在平面上的

总压力及压力中心(二)确定总压力的作用点——压力中心由于液体静压力与液深成正比，越深地方其静压力越大，所以压力中心D在y轴上的位置必然低于形心C。压力中心D的位置，可根据理论力学中的静力矩定理求得，即各分力对某一轴的静力矩之和等于其合力对同一轴的静力矩。现在，作用在每个微元面积dA上的微小总压力dP对ox轴的静力矩之和为第九十五页，共一百一十二页，2022年，8月28日第九节静止液体作用在平面上的

总压力及压力中心上式中为面积A对ox轴的惯性矩。总压力P对ox轴的静力矩为(b)由于合力对某轴之矩等于各分力对同轴力矩之和，因此有(c)根据惯性矩平行移轴定理，如果面积A对通过它的形心C并与x轴平行的轴的惯性矩为Ixc，则Ix=Ixc+y2cA，代入(c)式后得第九十六页，共一百一十二页，2022年，8月28日第九节静止液体作用在平面上的

总压力及压力中心当p0=0时，上式简化为(2-35)或写成(2-35a)由于Ixc/(ycA)恒为正值，故有yD＞yc。说明压力中心D点总是低于形心C。第九十七页，共一百一十二页，2022年，8月28日第九节静止液体作用在平面上的

总压力及压力中心如果平面ab在x方向不对称，则可用与上述同样的方法求得压力中心的x坐标为(3-36)式中为面积A对x轴和y轴的惯性积；Ixyc是对通过形心C且平行于x轴和y轴的轴的惯性积。在工程实际中，受压面常是对称于y轴的，则压力中心D一定在平面的对称轴上，不必另外计算xD。第九十八页，共一百一十二页，2022年，8月28日第九节静止液体作用在平面上的

总压力及压力中心用图解法来计算静止液体作用在平面上的总压力，仅适用于底边平行于水平面的矩形平面的情况。使用图解法，首先需要绘制静压力分布图，然后再根据它来计算总压力。

静压力分布图是依据水静力学基本方程p=p0+γh，直接在受压面上绘制表示各点静压力大小和方向的图形。现以图2-25中垂直壁面AB左侧为例绘制静压力分布图。二、图解法第九十九页，共一百一十二页，2022年，8月28日第九节静止液体作用在平面上的

总压力及压力中心图2-25静压力分布图第一百页，共一百一十二页，2022年，8月28日第九节静止液体作用在平面上的

总压力及压力中心现在用式(2-33)对高为H、宽为b、底边平行于水平面的垂直矩形平面AB(如图2-25)，计算其总压力，为由图2-25看出，上式中(2p0+γH)H/2恰为静压力分布图ABCD的面积，我们用S表示，则上式可写成(2-37)第一百零一页，共一百一十二页，2022年，8月28日第九节静止液体作用在平面上的

总压力及压力中心可见，液体作用在底边平行于水平面的矩形平面上的总压力，等于静压力分布图的面积与矩形平面宽度的乘积。或者说，其总压力等于静压力分布图的体积。由于静压力分布图所表示的正是力的分布情况，而总压力则是平面上各微元面积上所受液体压力的合力。所以总压力的作用线，必然通过静压力分布图的形心，其方向垂直指向受压面的内法线方向。而且压力中心位于矩形平面的对称轴上。如果静压力分布图为三角形，则压力中心位于距底边三分之一高度处。第一百零二页，共一百一十二页，2022年，8月28日第九节静止液体作用在平面上的

总压力及压力中心图2-26不同受压面上的静压力分布图第一百零三页，共一百一十二页，2022年，8