第二章动量定理质点动力学

第二章动量定理质点动力学第一页，共六十六页，2022年，8月28日§2－1惯性定律、惯性系惯性：任何物体都有试图保持其原有的运动状态的特性。孤立粒子：不受其它任何物体作用或离其它一切物体都足够远的粒子，称为孤立粒子。惯性定律：孤立粒子永远保持静止或匀速直线运动的状态。惯性系：孤立粒子相对它静止或作匀速直线运动的参考系称为惯性系。在惯性系中力学规律的形式最简单。第二页，共六十六页，2022年，8月28日常见的惯性系：研究地面附近物体运动时可选地球为惯性系；研究太阳系中行星的运动时选太阳为惯性系；研究天体运动时，可选多个恒星或星系参考系为惯性系。绝对的孤立粒子是不存在的，因而也不存在绝对的惯性系。但由于相互作用与距离的平方成反比，只要选为参考系的星系与其它星系间的距离越遥远，它就是越严格的惯性系。相对于某一个惯性系作匀速直线运动的任何物体也都是惯性系，反之相对一惯性系作加速运动的物体则不是惯性系。第三页，共六十六页，2022年，8月28日§2－2惯性质量、动量、动量守恒定律实验发现，总有的两质点是常数，与它们怎样运动无关。且系数K12对给定A一、两质点间的相互作用设一孤立系统由两个质点组成，两质点的运动仅受二者之间相互作用的影响与其它物体无关。在时刻t

，质点1处于A点，速度为，质点2处于B点，速度为，到下一时刻t´，两质点速度分别为和。两质点速度变化各为BA´B´222111vvvvvvrrrrrr-¢=D-¢=D,第四页，共六十六页，2022年，8月28日二、惯性质量由上述实验知系数K12仅与两质点本身性质有关。惯性质量的操作型定义：取一标准物0（其质量m0=1kg－国际千克原器），让另一物体1（其质量m1待测）与标准物相互作用，有：可认为为两质点惯性大小之比，并有如此定义出的物体质量反映了物体惯性的大小，称为惯性质量。第五页，共六十六页，2022年，8月28日三、动量、动量守恒定律定义：质量为m，速度为的质点动量由前述实验即或说明孤立系统的总动量在任意两个时刻均相等。孤立系统动量守恒：第六页，共六十六页，2022年，8月28日§2－3牛顿运动定律1、力、力的独立作用原理力：力是一物体对另一物体的作用，物体所受的力可用其动量变化率来量度。m力的独立作用原理：当有多个力同时作用在一个质点上时，这些力各自产生自己的效果而不互相影响。一、牛顿运动定律的表述第七页，共六十六页，2022年，8月28日牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直到作用在它上面的力迫使它改变这种状态为止。——惯性定律。牛顿第二定律：质点所受的合力等于质点的质量与其加速度的乘积。注意：仅在经典力学中，质点的质量为常量时，才有的形式，在相对论中，质点的质量随其运动速度而变，此时只有第八页，共六十六页，2022年，8月28日m如图，设力、同时作用在质点m上，它们引起物体的动量变化率分别为：更一般有：力的叠加原理：质点动量对时间的变化率等于作用在该质点上所有力的矢量和，或者说多个力对质点的作用等于所有力的矢量和的作用。第九页，共六十六页，2022年，8月28日牛顿第三定律：物体间的作用是相互的。两个物体之间的作用力和反作用力，沿同一直线，大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。该定律可由前述孤立系统动量守恒定律推出。由此可见：牛顿第一定律是最基本的惯性定律，而牛顿第二、第三定律是在引入力概念后，动量、动量守恒定律的推理。因而动量、动量守恒定律远比力、牛顿运动定律重要的多！注意：牛顿运动定律（因而所有的力学定律）仅在惯性系中成立。第十页，共六十六页，2022年，8月28日二、

四种相互作用和力学中常见的力

1、自然界中的四种相互作用

自然界中存在着四种最基本的相互作用，如下表中所示：相互作用相互作用的物体力的强度力程强相互作用

重子、介子

1

10－15m电磁相互作用带电粒子

10－2

无限远

弱相互作用大多数粒子

10－13

10－18m引力相互作用一切物体10－38

无限远第十一页，共六十六页，2022年，8月28日2、力学中常见的力万有引力:

它存在于任何两个物体之间。两个质点间的引力方向沿二者连线，大小与两质点质量的乘积成正比，与二者距离的平方成反比：其中G0

=6.671011N·m2kg，为引力常数。原子核中两个相邻的质子之间的万有引力1034N相隔1m的两个人之间的引力约107N。在宇宙天体之间，由于天体质量巨大，引力起着主要作用。m1m2r第十二页，共六十六页，2022年，8月28日重力：地面附近的物体由于地球的吸引而受到的力叫重力。在重力作用下，任何物体产生的加速度都是重力加速度。忽略地球自转的影响重力近似等于地球的引力弹性力：物体在发生形变时，由于力图恢复原状，对与它接触的物体产生的作用力叫弹性力。其表现形式有：正压力、支持力、拉力、张力、弹簧的恢复力等。在弹性限度内f=

kx

—胡克定律

k叫劲度系数第十三页，共六十六页，2022年，8月28日静摩擦力:大小介于0和最大静力摩擦力fS之间，视外力的大小而定。最大静摩擦力：

fS=SN滑动摩擦力:

fk=kN对给定的一对接触面，S

k

，它们一般都小于1。摩擦力：两个相互接触的物体在沿接触面相对运动时,或者有相对运动趋势时,在接触面之间产生的一对阻碍相对运动的力,叫做摩擦力。它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。第十四页，共六十六页，2022年，8月28日流体阻力：物体在流体中运动时受到流体的阻力。在相对速率v较小时，阻力主要由粘滞性产生，流体内只形成稳定的层流。此时

f=-kv

k

决定于物体的大小和形状以及流体的性质。

在相对速率较大时，流体内开始形成湍流，阻力将与物体运动速率的平方成正比：f

=-cv2若物体与流体的相对速度很大时，阻力将按

f

v3迅速增大。常见的正压力、支持力、拉力、张力、弹簧的恢复力、摩擦力、流体阻力等，从最基本的层次来看，都属于电磁相互作用。第十五页，共六十六页，2022年，8月28日三、牛顿定律的应用应用牛顿运动定律解题时，通常要用分量式：如在直角坐标系中：在自然坐标系中：第十六页，共六十六页，2022年，8月28日1、恒力作用的情况

这类情况中常有多个有关联的物体一起运动。解题步骤如下：分析各物体受力状况，选择隔离体，画受力图。分析各隔离体相对一惯性系运动的加速度，并建立坐标系。写出各隔离体运动方程分量式以及力和加速度之间的关系式。解方程组，并对计算结果作简短讨论。第十七页，共六十六页，2022年，8月28日例1、如图，质量m1=1kg的板放在地上，与地面间摩擦系数1＝0.5，板上有一质量m2=2kg的物体，它与板间的摩擦系数2=0.25。现用f=19.6N的力水平拉动木板，问板和物体的加速度各是多少？m1m2F解：本题似乎很简单，设m1和m2的加速度分别为a1和a2，受力分析、列方程如下：m2gN2f2a2a1m1gN2N1f2f1F代入第十八页，共六十六页，2022年，8月28日求出这显然是错误的！原因在于误认为m1与m2之间有相对运动，而实际上此时二者相对静止，式f2=2N2是错误的。去除此式并让a1=a2可求出：第十九页，共六十六页，2022年，8月28日mM例2、如图，质量为M的斜面放在水平面上，斜面上另一质量为m的滑块沿斜面滑下，若所有的表面都是光滑的，求二者的加速度和相互作用力。解：选地面为惯性系，对二者受力分析和运动分析如图，注意m相对地面的加速度为mgN2MgN2N1第二十页，共六十六页，2022年，8月28日建立坐标系x轴水平向左，y轴竖直向上。列出有关运动方程求出：第二十一页，共六十六页，2022年，8月28日OyxAmgN例3一曲杆OA绕y轴以匀角速度ω转动，曲杆上套着一质量为m的小环，若要小环在任何位置上均可相对曲杆静止，问曲杆的几何形状？解：小环在曲杆上也绕y轴作圆周运动，受重力mg和支持力N，设小环所在位置坐标为（x,y），切线倾角为θ，则有

相除得

第二十二页，共六十六页，2022年，8月28日或OyxAmgN积分得说明曲杆的形状为一抛物线。第二十三页，共六十六页，2022年，8月28日2、变力作用的情形当一质点受到变力作用时，其加速度也是随时变化的，这时要列出质点运动微分方程并用积分的方法求解。例4、质量为m的物体，从高空由静止开始下落，设它受到的空气阻力f=kv，k为常数，求物体下落的速度和路程随时间的变化。mgvfyyO解：取y轴竖直向下为正，设物体由原点开始下落到y处时，速度为v，受重力和阻力作用，其运动微分方程为：第二十四页，共六十六页，2022年，8月28日分离变量并作定积分，有其中为下落的收尾速度。求出：再次积分得第二十五页，共六十六页，2022年，8月28日例5、设子弹射出枪口后作水平直线飞行，受到空气阻力f=－kv2，若子弹出枪口时速率为v0，求：（1）子弹此后速率，（2）当v=0.5v0时，它飞行的距离。解：（1）子弹在飞行过程中，水平方向上仅受空气阻力，因而运动微分方程为：积分得第二十六页，共六十六页，2022年，8月28日积分（2）运动方程改写成第二十七页，共六十六页，2022年，8月28日例6、一质量为M，长为L的均质软绳，静止在光滑水平桌面上，开始时有L/5的绳子自然下垂，求当绳全部离开桌面时的速度。x解：当绳下垂长度为x时，受到重力Mgx/L的作用，设其速度为v，运动方程为：第二十八页，共六十六页，2022年，8月28日例7、一质量为m长为L的均匀细杆，绕过其一端的竖直轴在水平面上作圆周运动，角速度为，求杆上各处的张力。解：此时杆上不同地方张力不同，取其一小段为隔离体，受力分析、列方程如下：rdrTT+dT积分第二十九页，共六十六页，2022年，8月28日2－4力学相对性原理和非惯性系一．伽利略相对性原理1632年，伽利略在作匀速直线运动的封闭船舱里仔细地观察了力学现象，发现物体的运动规律和地面上完全相同。他说：“在这里，你在一切现象中观察不出丝毫的改变，你也不能够根据任何现象来判断船究竟是在运动还是停止。当你向船尾跳时并不比你向船头跳时（由于船向前的迅速运动）跳得更远些。从挂在天花板下的装着水的酒杯里滴下的水滴，将竖直地落在地板上，没有任何一滴水偏向船尾方面滴落，虽然当水滴尚在空中时，船在向前走。第三十页，共六十六页，2022年，8月28日伽利略所描述的现象指明了一切彼此作匀速直线运动的惯性系，对于力学规律来说是完全等价的。并不存在任何一个比其它惯性系更为优越的惯性系。在一个惯性系的内部所作的任何力学的实验部不能够确定这个惯性系本身是静止还是在作匀速直线运动。在所有惯性系中力学规律完全相同，这称为力学相对性原理或伽利略相对性原理。

二．经典力学的时空观伽利略相对性原理是和经典力学时空观交织在一起的。经典力学认为物体的运动虽在时间和空间中进行，但是时间和空间的性质与物质的运动彼此没有任何联系。第三十一页，共六十六页，2022年，8月28日牛顿这种“绝对时间”和“绝对空间”的观点是把在低速范围内总结出来的结论绝对化的结果。在人们的日常生活中，大量接触到的是低速运动的物体，因此会不自觉地接受这种观点。后来当人们接触到高速运动的物体时，发现伽利略变换不再适用，经典力学的时空观也应修正为爱因斯坦的“四维时空”观。所谓“绝对的空间”可理解为：空间中两点的间距，在任何参考系中看来都是不变的。而“绝对的时间”则可理解为：做一件事所花的时间t，在任何参考系中看来也都是不变的。第三十二页，共六十六页，2022年，8月28日三、非惯性系中的力学1、加速直线运动的非惯性系中的惯性力甲：物体在水平方向受弹簧拉力，所以随小车加速前进。乙：物体在水平方向受弹簧拉力，为什麽静止在原处？a0m甲乙f结论：牛顿定律在非惯性系中不再成立。为了在非惯性系中应用牛顿定律必须多加一惯性力：f*乙：物体受拉力和惯性力而静止第三十三页，共六十六页，2022年，8月28日更一般地，当物体相对一以加速度a0直线运动的非惯性系还有加速度a´时，在此非惯性系中的牛顿运动定律应与成：其中—惯性力惯性力大小等于质点的质量与非惯性系加速度的乘积，方向与非惯性系加速度的方向相反。惯性力没有施力物体，所以不存在反作用力。惯性力并不是真实的作用力，但在非惯性系中又可以感受到它的存在。如：当汽车紧急刹车时，车上的人都会向前倾，就象后面有力把人向前推一样。演示：悬挂小球在加速车厢内的平衡状态第三十四页，共六十六页，2022年，8月28日当电梯向上加速时超重当向下加速时则失重aN例1、超重与失重。当电梯加速运动时，人的重量，因而电梯对人的支持力将发生变化。人在支持力、重力和惯性力作用下相对电梯静止：第三十五页，共六十六页，2022年，8月28日例2、一小猴站在沿倾角为的斜面无摩擦下滑的小车上，以速率v0垂直于斜面上抛一红球，经t0秒后又以v0上抛另一绿球，问此二球何时相遇。解：小车以加速度gsin沿斜面下滑，取此小车为非惯性系，被抛出的小球受到重力和沿斜面向上的惯性力作用，二者的合力大小为mgcos，方向垂直斜面向下。因而两小球相对小车的运动为垂直于斜面的上抛运动mgmgcosmgsin第三十六页，共六十六页，2022年，8月28日相遇时y1=y2，得出相遇时间：取y轴垂直斜面向上，并以抛出红球时为计时起点，可写出运动学方程为：第三十七页，共六十六页，2022年，8月28日mM例3、质量为M的斜面放在光滑的水平面上，斜面上另一质量为m的滑块沿斜面滑下，m与M间也是光滑的，求二者的相对加速度和相互作用力。解：设m沿斜面下滑的加速度为a´

，M向左的加速度为a1。对M取地面为惯性系，对m取M为非惯性系，二者的受力分析图如下：N1MgN2mgN2ma1第三十八页，共六十六页，2022年，8月28日列出运动方程组M：水平竖直m:沿斜面垂直斜面求出：第三十九页，共六十六页，2022年，8月28日2、匀速转动的非惯性系、惯性离心力在匀速转动的非惯性系中，设想物体受到一个惯性离心力的作用，大小与绳子的拉力相等，方向与之相反，则物体相对静止。A:质点受绳子的拉力提供的向心力，所以作匀速圆周运动。B：质点受绳子的拉力，为什麽静止？mTBmTA第四十页，共六十六页，2022年，8月28日例4、水桶绕自身的铅直轴以角速度旋转，当水与桶一起转动时，水面的形状如何？解：在与桶共转的参考系内液块m受两个力：重力mg和惯性离心力m2r,所以合力为：mgNrzz0有水面处处与N垂直，设水面方程为第四十一页，共六十六页，2022年，8月28日其中Z0为中心水面高度。这是抛物线方程，由于轴对称性，水面为旋转抛物面。或积分得第四十二页，共六十六页，2022年，8月28日3、科里奥利力若物体又相对匀角速转动的参照系运动，则在处于该参照系的观察者看来，物体除了受到惯性离心力的作用外，还将受另一附加力—科里奥利力的作用。分析：乙认为m实际上参与了两个运动：相对圆盘的直线运动及随圆盘的转动。盘不转，应到B；m不动，应到A′。甲：Δt内m由A到B乙：由于同一时间内OC转过角度Δφ＝ωΔt，到达OC′,m已到达B′。oAＢ′A′Ｂ〃ＢＣ′Ｃωv′甲乙Δφ第四十三页，共六十六页，2022年，8月28日oAＢ′A′Ｂ〃ＢＣ′ＣωΔφv′甲乙m又动盘又转，按照矢量合成法则，应到Ｂ〃，实际到了Ｂ′，原因？m在Δt内走过的附加路程为比较上两式有方向垂直于v′向右当Δt很小时，ΔS内可近似使用匀变速直线运动公式：写成矢量式：—科里奥利加速度第四十四页，共六十六页，2022年，8月28日常将小球放在圆盘上的径向槽中，切向力由槽壁提供。这是小球受到的一个真实力，不论在惯性系或非惯性系中都应存在，但在甲看来，小球沿槽作直线运动，因而它还要受到另一与ft大小相等、方向相反的惯性力—科里奥利力的作用。此加速度由切向作用力产生：甲乙ftfcv´普遍情况下，质点m以任意方向的速度相对转动参照系运动时，科里奥利力可表示为：第四十五页，共六十六页，2022年，8月28日科里奥利力垂直于质点相对于非惯性系的速度，因此科里奥利力不作功。它不断改变v的方向，但不改变v的大小，使轨迹弯曲呈圆弧形。在北半球上，河水对右岸的冲刷比对左岸更历害也是由于科里奥利力的作用。傅科摆在法国巴黎万神殿的圆拱屋顶上悬挂的一个大单摆，摆绳长67m，摆锤重28kg，周期为16.4s。它是一种能够把地球自转的非惯性效应积累起来的一种仪器。摆锤在水平面上运动受有侧向的科里奥利力，使摆动平面旋转。落体偏东

物体从高处自由下落，所受科里奥利力的方向不论在南北半球均向东。演示：傅科摆演示：落体偏东第四十六页，共六十六页，2022年，8月28日北半球的强热带风暴是在热带低气压中心附近形成的，当外面的高气压空气向低气压中心涌入时，由于科氏力的作用，气流的方向将偏向气流速度的右方，从高空望去是沿逆时针方向旋转的涡旋。若在南半球，涡旋为顺时针方向。

演示:北半球热带风暴演示:南半球热带风暴第四十七页，共六十六页，2022年，8月28日第四十八页，共六十六页，2022年，8月28日§2-5动量定理一、力的冲量力作用在物体上总会有一段时间，为描述力对时间的累积作用，定义：力的元冲量：力的冲量：其中为物体在一段时间内所受的平均力。第四十九页，共六十六页，2022年，8月28日二、质点动量定理可将牛顿第二定律写成因而有：在一段时间内，质点所受合外力的冲量，等于在此时间内该质点动量的增量——质点动量定理。分量表示第五十页，共六十六页，2022年，8月28日动量定理在碰撞及冲击问题中特别有用，此时的冲力变化很大，它随时间而变化的关系难以确定，牛顿第二定律无法直接应用，但根据动量定理，冲力的冲量具有确定的量值，它等于冲击（碰撞）前后动量的变化。而且还可由冲量求出其平均冲力。注意：动量定理也仅在惯性系中才成立，在非惯性系中还要加入惯性力的冲量。t1t2tF第五十一页，共六十六页，2022年，8月28日例1、质量为2.5g的乒乓球以10m/s的速率飞来，被板推挡后，又以20m/s的速率飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面内，且它们与板面法线的夹角分别为45o和30o。若撞击时间为0.01s，求板施于球的平均冲力的大小和方向。45o30o

nv2v1xy解：设挡板对球的冲力为则有：取坐标系如图，有：第五十二页，共六十六页，2022年，8月28日代入求出为冲量与x方向的夹角。第五十三页，共六十六页，2022年，8月28日例2一个质量m=0.14kg的垒球沿水平方向以v1=50m/s的速率投来，经棒打击后，沿仰角=450的方向飞出，速率变为v2=80m/s。求棒对球的冲量大小与方向。如果球与棒接触的时间为

t=0.02s，求棒对球的平均冲力的大小。它是垒球本身重量的几倍？a解：如图所示，设垒球飞来方向为x轴方向，棒对球的冲量的大小为x第五十四页，共六十六页，2022年，8月28日棒对球的平均冲力此力为垒球本身重量的倍数

F/(mg)=845/(0.149.8)=616设I与x轴夹角为，给出第五十五页，共六十六页，2022年，8月28日三、质点系动量定理由多个质点形成的质点系中的作用力有外力和内力，内力总是成对出现的。对每个质点写出动量定理：相加得第五十六页，共六十六页，2022年，8月28日或：在一段时间内，作用在质点系上外力矢量和的冲量等于这段时间内系统动量的增量。—质点系动量定理。注意：只有外力才会改变系统的动量，内力只会改变系统内各质点的动量而不会改变整个系统的动量。第五十七页，共六十六页，2022年，8月28日应注意：在经典力学中，研究对象的质量是不允许有变化的，因而必须将火箭和它在dt时间内喷出的气体这一系统作为研究对象。并设此系统受外力F，可写出系统动量定理：例3、火箭飞行的运动方程（变质量物体运动方程）火箭在飞行过程中不断向后喷射出气体，因而火箭本体的质量不断减少。用质点系动量定理可以解决这类“变质量”物体的运动问题。如图，设在时刻t火箭质量为m，相对地速度为v，在时刻t+dt其质量为m+dm(dm<0)，喷出气体质量为dm，相对地的速度为u，火箭的速度变为v+dv。第五十八页，共六十六页，2022年，8月28日可得出此式为经典力学中变质量物体的运动方程，也叫密舍尔斯基方程。类似的问题还有如滚雪球、雨滴不断凝结周围的水汽而变大等，它们的运动方程都是此式。第五十九页，共六十六页，2022年，8月28日四、质点系动量守恒定律由质点系动量定理若则

当作用在质点系上的外力矢量和等零时，系统动量守恒。动量守恒定律是自然界普遍适用的一条基本规律。无论在宏观运动的经典力学、微观粒子运动的量子力学及高速运动的相对论