第三章 几种常见的概率分布率

第三章几种常见的概率分布率第一页，共三十八页，2022年，8月28日第二页，共三十八页，2022年，8月28日第三页，共三十八页，2022年，8月28日

第四页，共三十八页，2022年，8月28日第五页，共三十八页，2022年，8月28日第六页，共三十八页，2022年，8月28日第七页，共三十八页，2022年，8月28日第八页，共三十八页，2022年，8月28日第九页，共三十八页，2022年，8月28日第十页，共三十八页，2022年，8月28日第十一页，共三十八页，2022年，8月28日第十二页，共三十八页，2022年，8月28日第十三页，共三十八页，2022年，8月28日第十四页，共三十八页，2022年，8月28日第十五页，共三十八页，2022年，8月28日第十六页，共三十八页，2022年，8月28日第十七页，共三十八页，2022年，8月28日2.普阿松分布:----小概率事件(p≦0.1)符合普阿松式分布.同样:把样本看作一个整体,则:∑f(x)=1故:式中任一项出现的概率为:

μxμ----平均数P(x)=e-μx!x----第x项为自然数:1,2,3,…e----常数=2.718281…3.Poisson分布的特征:1).小概率事件.P≦0.1.2).n∞,越大越好,但事实上不可能,因此,所得的分布是个近似分布.3).μ=np大小适中,恰好为e-μ.即:与自然数e的负指数为宜.4).样本平均数就是总体平均数.X=μ.5).平均数等于方差.X=δ2

6).偏斜度:γ1=1/√n7).峭度:γ2=1/μ4.Poisson分布的应用:例:麦田内杂草的分布:调查已知每10平方米有一株杂草.问:100平方米有0株,1株,2株,3株…10株杂草的概率?

第十八页，共三十八页，2022年，8月28日解:100

μ=10=10株杂草数(x)概率杂草数(x)概率0P(0)=e-10.100/0!=0.0000458P(8)=e-10.108/8!=0.11261P(1)=e-10.101/1!=0.0004509P(9)=e-10.109/9!=0.12512P(2)=e-10.102/2!=0.002310P(10)=e-10.1010/10!=0.12513P(3)=e-10.103/3!=0.007611P(11)=e-10.1011/11!=0.11374P(4)=e-10.104/4!=0.018912P(12)=e-10.1012/12!=0.09485P(5)=e-10.105/5!=0.037813P(13)=e-10.1013/13!=0.07296P(6)=e-10.106/6!=0.063114P(14)=e-10.1014/14!=0.05217P(7)=e-10.107/7!=0.0901≥15P(≥15)=e-10.1015/15!=0.0835第十九页，共三十八页，2022年，8月28日例:卢瑟福(Rutherford)物理实验:

观察在7.5秒时间间隔内放射性物质放射的质粒数到达某指定区域的质点数:X=∑fx/N=10086/2608=3.8672≈3.877.5秒内质点数(x)观察频率(f)fx

μxP(x)=e–μ.x!N×P(x)0570P(0)=e-3.87×3.870/0!=0.020954.50721203203P(0)=e-3.87×3.871/1!=0.0807210.46562283766P(0)=e-3.87×3.872/2!=0.1562407.369635251575P(0)=e-3.87×3.873/3!=0.2015525.512045322128P(0)=e-3.87×3.874/4!=0.1949508.299254082040P(0)=e-3.87×3.875/5!=0.1509393.547262731638P(0)=e-3.87×3.876/6!=0.0973253.75847139973P(0)=e-3.87×3.877/7!=0.0538140.3104845360P(0)=e-3.87×3.878/8!=0.026067.8080927243P(0)=e-3.87×3.879/9!=0.011229.2096≥1016160P(0)=e-3.87×3.8710/10!=0.006617.2128∑N=2608100861.00002608.0000第二十页，共三十八页，2022年，8月28日五、超几何分布:Cx

nCn-x

N-KP(x)=CnNx-------0,1,2,3,…nN------总体中的个体数.K------两种类型中某一种类型的个体数.n------非放回式抽样的次数.nkx------在n次抽样中某一种类型的个体数.

μ=Nnk(N-K)(N-n)S2=N2(N-1)nkN------群体大小的估计.N=xK------加有标记的个体数.n------第二次抽样抽中的个体数.x------在含有为n的样本中加有标记的个体数.^^例:某野外实习队用网捕捉到金丝燕100只,做好标记后仍放回大自然,一月后重新捕捉到500只金丝燕,其中有24只带有标记.问:该山区金丝燕的群体数目?解:K=100n=500x=24nk100×500.N=x=24=2083^第二十一页，共三十八页，2022年，8月28日5.负二项分布:negativebinomialdistributionP(x)=CK-1x-1pkqx-k六、核心分布----以某一中心作放射状分布,中央概率p大,外围概率p逐渐减小的分布,称为核心分布.

大小相等的核心分布可分为两种类型大小不均等的核心分布

{大小均等大小不均等

由于这类分布具有明显的核心,故各核心的边缘,事件成功的概率极小,而位于核心中央,事件成功的概率极大,因此,计算理论分布时,第0项以及第一项以上的概率所采用的公式不一样.第二十二页，共三十八页，2022年，8月28日P(0)=e–m1(1–e–m2)

-m2mk2P(x)=xk![].∑[.P(x-k-1)]式中:X2S2-Xm1=S2-Xm2=Xx------第x项k------第x-1项n------总项数(即实验次数)例:茶葶子属植物在林地上的分布:第二十三页，共三十八页，2022年，8月28日每样点中植株数(x)实际样点数(f)fx理论概率P(0)或:P(x)理论分布调整前调整后04300.5330.53342.6442.64115150.3090.202424.7216.19228160.27750.134522.210.7636180.20240.084316.1926.74443120.13450.050310.764.02454200.08430.02886.7442.3046160.05030.01784.0241.424∑80871.5911.0511127.2884.088X=87/80=1.0875S2=2.41m1=(1.0875)2/(2.41-1.0875)=0.8943m2=(2.41-1.0875)/1.0875=1.2161第二十四页，共三十八页，2022年，8月28日第一项:P(0)=e–m1

(1–e–m2)

=2.7183-0.8943×(1-2.7183-1.2161)

=0.533第二项-m2mk2P(x)=xk!=[(0.8943×1.2161×2.7183-1.2161)1]×(1.2161)0/0!×p0=0.3090第三项:-m2mk2P(x)=xk!

-m2mk2m12=x0!1!

=0.5797/2×(1/1×0.3090+1.2161/1×0.533)=0.2775第四项:=0.2024第七项:=0.0503第五项:=0.1345第八项:=0.0288第六项:=0.0843第九项:=0.0178注意:第二项和第三项的和约等于第一项,故从总体分布中减去这两项.

[]∑[.P(x-k-1)][]∑[.P(x-k-1)][][.P1+.P0]第二十五页，共三十八页，2022年，8月28日七.正态分布(常态分布,高斯分布)normaldistribution1).高斯公式(高斯定理)

设:空间二维单连通区域v的边界曲面是光滑的,则函数P(x,y,z);Q(x,y,z);R(x,y,z)在v及s上具有关于x,y,z的连续偏导数:∂P∂Q∂R∂x∂y∂z=∫∫[Pcos(n,x)+Qcos(n,y)+Rcos(n,z)]ds

=∫∫[Pdydz+Qdzdx+Rdxdy]∫∫∫(++)dxdydzVSS

这个公式具有立体感,意思是:PQR函数的累计积分为V的空间区域.zyxns2ns1Z=z2(x,y)Z=z1(x,y)第二十六页，共三十八页，2022年，8月28日

既然一个空间是各个位点函数的累计积分,那么,一个曲面也必然是各个微分区间函数的积分.

即:SS1+S2+S3+…….Sx

则:S=∫-∞(函数)xSS1S2S3Sx第二十七页，共三十八页，2022年，8月28日第二十八页，共三十八页，2022年，8月28日3).标准正态分布a.平均数μ与正态分布的关系:000b.标准差与正态分布的关系:(μ的负正与x轴的左右摆动)μ<0μ=0μ>0标准差越小,曲线越陡,数据越集中标准差越大,曲线越平坦,数据越分散第二十九页，共三十八页，2022年，8月28日定义:当μ=0δ=1时的正态分布称为标准正态分布.代入公式:11则:φ(μ)=√2л×1e-(μ-0)2/2×12=√2л.e-μ2/2(μ=0,<μ<∞,δ=1)

表示μ变量区间范围内事件发生的概率.

而整个u分布的概率为:1

φ(u)=√2п∫u-∞e-u2/2du

4).正态分布的性质:a.在μ=0时,分布函数φ(μ)值最大.b.μ不论是向正方远离或是向负方远离,e的指数都变成一个绝对值愈来愈大的负数因此,φ(μ)减小c.曲线纵坐标两侧对称φ(μ)=φ(-μ)d.曲线在μ=-1μ=1处有两个拐点.e.曲线和横坐标轴所夹的面积是1.f.分布函数曲线旋转180度仍然对称g.u=-1到+1面积=0.6827u=-2到+2面积=0.9543u=-3到+3面积=0.9973u=-1.96到+1.96面积=0.95u=-2.576到+2.576面积=0.99第三十页，共三十八页，2022年，8月28日X±1δ=68.27%±X±1.96δ=95%X±2.576δ=99%h.γ1=0γ2=0例:高粱”三尺三”的株高服成正态分布N(X=156.2,δ=4.82).求:1).X<161厘米的概率.2).X>164厘米的概率.3).X在152厘米到162厘米之间的概率.第三十一页，共三十八页，2022年，8月28日

x-μ

161-156.2解:1).U=δ=4.82=1P(x<161)=φ(u)=φ(1)=0.84134

2).x-μ164-156.2U=δ=4.82=1.62P(x>164)=1-φ(u)=1-φ(1.62)=1-0.94738=0.05262162-156.2152-156.23).U1=4.82=1.20U2=4.82=-0.87P(152<x<162)=φ(U1)-φ(U2)=φ(1.2)-φ(-0.87)=0.88493-0.19215=0.69278第三十二页，共三十八页，2022年，8月28日例：140行水稻产量的正态分布：组限中值（x）次数（f）区间概率P×N67.5-82.5752Φ（-2.07）-φ（-2.48）＝0.012661.76482.5-97.5907Φ（-1.66）-φ（-2.07）＝0.029234.10297.5-112.51057Φ（-1.25）-φ（-1.66）＝0.057197.994112.5-127.512013Φ（-0.84）-φ（-1.25）＝0.0948113.286127.5-142.513517Φ（-0.42）-φ（-0.84）＝0.1367819.138142.5-157.5150200.158822.232157.5-172.5165250.159422.316172.5-187.5180210.135618.984187.5-202.5195130.097813.692202.5-217.521090.06078.498217.5-232.522530.03034.242232.5-247.524020.01331.862247.5-262.5255510.00480.672∑1400.9913138.782第三十三页，共三十八页，2022年，8月28日∑fx22110X=N=140=157.93(g)∑fx2-（∑fx）2/N3676500-(22110)2/140δ=√N-1=√140-136.4(g）X–ux-157.93U=δ＝36.4然后查表，计算区间概率。5).正态分布的单侧分位数：注意:检查资料是否符合正态分布,只要检查三个数据:X±1δ是否占样本频率的68.27%.X±2δ是否占样本频率的95.43%.X±3δ是否占样本频率的99.738%.(如:上例:X±1