第2章中子慢化与扩散

2.1链式裂变反应2.1.1热中子反应堆内的中子循环当前1页，总共76页。1中子循环N个裂变中子在238U内快裂变增殖ε倍Nε个快中子NεPF个快中子Nε(1－PF)个快中子泄漏NεPF(1－p)个中子被238U吸收NεPFp个热中子NεPFpPT个热中子NεPFpPT

f个热中子被燃料吸收新一代NεPFpPTfη个裂变中子NεPFpPT(1－f)个热中子被控制棒结构材料等吸收NεPFp(1－PT)个热中子泄漏NεPFpPT

f(1-η/ν)个热中子被芯块非裂变吸收当前2页，总共76页。2快中子增殖因数当前3页，总共76页。3逃脱共振吸收几率p为一个中子经过共振能区而不被吸收的几率，即逃脱共振吸收几率。主要是逃脱238U的共振吸收，238U的共振能区：6.67，20.9，36.8，66.5，102.5eV。…（见表1-7）当前4页，总共76页。4热中子利用因数当前5页，总共76页。5有效裂变中子数η为有效裂变中子数，它的定义为燃料每吸收一个热中子所产生的裂变中子数：

当前6页，总共76页。6中子循环举例N1=100个快中子，其中:2个快中子引起238U的裂变并放出5个次级快中子，加上其余98个快中子，共：103个快中子，其中:2个快中子泄漏到反应堆外，其余101个快中子，其中:5个共振中子被238U俘获，其余96个中子被慢化为热中子，其中：3个热中子在扩散过程中被泄漏到反应堆堆外，其余93个热中子，其中:17个热中子被慢化剂/冷却剂和结构材料俘获，其余76个热中子被U俘获，其中：10个热中子被235U俘获不裂变，26个热中子被238U俘获，40个热中子引起235U裂变并放出第二代中子N2=100个快中子.当前7页，总共76页。72.1.2自持链式裂变反应的临界条件从热中子反应堆内的中子循环可知，能否实现自持的链式反应，取决于下列几个过程：（1）燃料吸收热中子引起的裂变主要是热中子引起235U的裂变，这是产生中子的主要来源；（2）238U的快中子增殖能量大于1.1MeV的中子引起238U的裂变，产生裂变中子。对于天然铀，这些裂变中子约占燃料裂变中子的3％左右；（3）慢化过程中的共振吸收（4）慢化剂以及结构材料等物质的辐射俘获（5）中子的泄漏当前8页，总共76页。8从中子循环P=PFPT表示中子在慢化、扩散过程中不泄漏几率。无限大反应堆，中子不泄漏几率P＝1。这时的增殖因数称为无限介质的增殖因数k∞

k∞＝εpfη当前9页，总共76页。9影响因素ε＝ε（燃料性质）；η＝η（燃料性质）p和f两个因素是互相制约的，它们与燃料和慢化剂所占的份额有关。燃料份额，慢化剂份额，f将，而p将。燃料份额，慢化剂份额，f将，而p将。反之正好相反。在实际应用上，必须找出一种能使乘积pf为最大的成分和布置，以使链式反应得以维持。堆芯尺寸，不泄漏几率P，如P1，则有四因子公式：k∞＝εpfη，可以写为keff=k∞P=1临界条件当前10页，总共76页。10从中子数守恒的观点来看则中子的产生率与消失率处于动态平衡。因而，反应堆有比较稳定的中子通量密度。该系统处于临界状态。说明中子的消失率大于产生率。因而，系统中的中子将越来越少，该系统处于次临界状态。说明随着裂变链的进行，中子的消失率小于产生率。因而，系统中的中子将越来越多，该系统处于超临界状态。当前11页，总共76页。11复习题习题1在某个用U-235作燃料的热中子反应堆内，裂变放出的中子中有25％逃出堆芯，留在堆芯内的中子有30％被堆内慢化剂、结构材料和其它非裂变材料所吸收，其余的被燃料吸收，被U-235吸收的中子中有85％引起裂变，如果＝2.42，试问这时的反应堆是否临界?keff多大？习题2热中子反应堆无限增殖因数为1.10，快中子增殖因数、逃脱共振吸收几率和热中子利用因数的乘积为0.65，求该堆所用核燃料中U-235的富集度为多少？当前12页，总共76页。12答案1：因为燃料为U-235，所以ε＝1，p＝1。P=1-25%=0.75,f=1-0.3=0.7,η=0.85*2.42=2.057keff=k∞P=εpfηP=1*1*0.7*2.057*0.75=1.0799当前13页，总共76页。13答案2：查表：靶恩代入上式，有结果：当前14页，总共76页。142.2中子的慢化反应堆堆芯中产生的裂变中子，都是快中子。其平均能量约为2MeV。这些中子在引起燃料核下次裂变(以维持链式反应)以前，由于与系统中介质的原子核进行连续的弹性和非弹性碰撞的结果，其能量通常降低了几个数量级。例如，在热中子反应堆内几乎所有的裂变中子在引起燃料核进一步裂变之前，都已慢化到热能。当前15页，总共76页。15慢化的物理机制无限大、均匀、非增殖介质弹性散射动量、动能守恒低能中子与低质慢化量数核的散射。非弹性散射动量守恒、动能不守恒高能中子与大质量数核的散射。压水堆内中子的慢化主要是中子与轻核的弹性散射。在弹性散射中，快中子将自己的动能传递给慢化剂H原子核，而本身被慢化成热中子。如果有大量的中等核或重核存在时，那么由这些核引起的非弹性碰撞可能对中子的慢化有重要的作用，必须予以考虑。当前16页，总共76页。162.2.1弹性碰撞理论在讨论中子与原子核弹性碰撞的问题时，可以用两种方便的参考系。这就是实验室(L)系和质心(C)系。前者假定靶核是静止的，而后者把中子-核系统的质量中心当作是静止的。在L系里，基本上是用一个外界观察者的观点来看问题的，而在C系里，则用一个随中子和核所组成系统的质量中心运动的观察者的观点来进行研究。对于理论处理，后一个参考系比较简单些，虽然实验测量是在前一个参考系中进行的。当前17页，总共76页。17图2-3实验室(L)系和质心系(C)里中子的散射当前18页，总共76页。18L系碰撞前：中子质量为1，速度为v1；靶核质量为A，速度为0。碰撞后：质量中心速度（相对于静止核）速度为vm。碰撞前后总动量相等当前19页，总共76页。19C系中C系中，假定质量中心是静止的，所以靶核以vm的速度向质心接近。碰前中子与靶核的相对速度是v1，故中子接近质心的速度为v1-vm

当前20页，总共76页。20C系在C系里，中子和散射核似乎分别以和的速度相互接近着。因此，质量为1的中子沿着它运动方向的动量是，而质量为A的核的动量也是，但沿着相反方向。这样，在碰撞前对于质量中心的总动量是零，而根据动量守恒原理，在碰撞后总动量也必为零。当前21页，总共76页。21C系里在碰撞以后，C系里的中子沿着与原方向成θ角的方向离开质心，这就是C系中的散射角。这时反冲核必须沿相反方向运动，因为质心永远在两个粒子的连线上。如果是C系里碰撞后的中子速度，而是核的速度，那末总动量为零的条件可以表示成

(2-13)当前22页，总共76页。22C系上面已经看到，在C系里，中子和核的碰撞前的速度分别由(2-12)式和(2-11)式给出。因此，能量守恒条件可以写成(2-14)等式左边表示碰撞前的总动能，而右边是碰撞后的总动能。由式(2-13)和式(2-14)可以解出和当前23页，总共76页。23C系把这些结果与式(2-11)和式(2-12)相比较，可以看出，在C系里，中子与核碰撞后的速度与它们碰撞前的速度完全相等。因此，一个位于碰撞粒子质量中心的观察者，在碰撞前会看到中子和核沿相反方向、以反比于它们质量的速度向他接近，而在碰撞后粒子就好象沿着相反方向(通常不同于原方向)离开他而运动，它们各自的速度不变。当前24页，总共76页。24参考系的转换为了决定中子在碰撞时的动能损失，必须把C系中得到的结果变回L系。要进行这种变换，需要利用两系统恒以速度(即L系中的质心速度)作相对运动的关系。因此，在L系内中子碰撞后的速度，可以由C系内中子碰撞后速度矢量加上L系内质心运动矢量得到。当前25页，总共76页。25图2-4由C系到L系的变换当前26页，总共76页。26L系设是L系内中子碰撞后的速度，则由余弦定律，代入式(2-11)、(2-12)得出的和值，结果得当前27页，总共76页。27能量比率散射前中子的动能E1是，而散射后动能E2是。因此，由式(2-15)可以得到碰撞后中子能量与碰撞前能量的比率为当前28页，总共76页。28比率E2/E1

最大值，即最小的能量损失，它发生在θ＝0，即掠射碰撞。这时cosθ＝1，而式(2-18)就变成或最小值，也就是可能最大的能量交换，发生在θ＝π，即迎头碰撞时，cosθ＝-１，(2-18)就变成或当前29页，总共76页。29数值与靶核的质量数A有关对于氢，A＝1，因此，＝0。这样，中子在与氢核碰撞一次时，有可能失去全部动能。对于氘，A=2，=0.111。因此，中子在与氘核碰撞时，可能最大损失能量的份额为1-0.111＝88.9％对于碳，A＝12，＝0.716。因此，中子在与碳核碰撞时，可能最大损失能量的分数为1-0.716＝28.4％

当前30页，总共76页。30展开成级数当A＞50时，取级数展开式中的前两项，而不会产生严重误差：此时，每一碰撞的最大能量损失是若A＝100，在一次碰撞中，中子可能损失的能量大约为4%。若A＝200，则大约为2%。当前31页，总共76页。31经验散射定律中子散射是球对称的，即各向同性的。原来能量为E1的中子，在散射后可能具有能量在E2和E2＋dE2范围内的几率是在散射后，中子能量落在某一个特定间隔ΔＥ中的几率与最后能量无关。实际上等于ΔE除以E1(1-α)。后一个因数正是每一碰撞的可能最大能量减小数。当前32页，总共76页。32平均散射角余弦对于一个重质量的散射核，A1，由式(2-30)得cosψ→cosθ。换句话说，这时L系的散射角等于C系的散射角。所以，如果较重核的散射在C系内是球对称的话，那末在L系内也是一样。一般说来，如果在C系内的散射是各向同性，则L系内的平均散射角余弦由下式给出当前33页，总共76页。332.2.2平均对数能降对数能降定义碰撞前后中子对数能降的变化为平均对数能降：

当前34页，总共76页。34能量与对数能降的关系当前35页，总共76页。35平均对数能降表达式普通：若A＞12，可以得到一个很好的近似：甚至当A＝2时，上式的误差也只是3.3%。当前36页，总共76页。36求碰撞次数ξ只与介质核性质有关，与中子能量无关。ξ与A大致成反比。对于轻核，ξ较大，碰撞一次，中子损失的能量较大，慢化更有效。平均碰撞次数：例：E1=2MeV,E2=0.0253eV,ξ=0.158,求N=?当前37页，总共76页。37表2-18种核素的散射性质

元素质量数平均对数能降ξ热化中子碰撞数氢11.00018氘20.72525氦40.42543锂70.26867铍90.20987碳120.158115氧160.120151铀-2382380.008382170当前38页，总共76页。382.2.4连续慢化年龄近似对数能降是碰撞数的连续函数，对于所有的整数值n它都正好等于所需的值nξ(图2-7)。正是模型的这一特性使得易于对其进行数学处理，而且获得连续慢化模型这一名称。当前39页，总共76页。39慢化密度慢化中子的空间分布和总的不泄漏几率有关，此时感兴趣的是慢化密度而不是中子通量密度。中子慢化密度随能量的变化较为平缓。中子慢化密度的定义：在r处单位时间、单位体积内慢化到能量E以下的中子数，用q(r,E)来表示。当前40页，总共76页。40中子直线飞行距离的均方值均方值代入点源的慢化密度得当前41页，总共76页。41年龄的物理意义τ在数值上等于中子由产生地点(该处年龄为零)到年龄为τ的地点所穿行(净矢量)距离均方值的六分之一。中子的费米年龄与中子在慢化过程中所移动的均方距离有关，因而称年龄的平方根为慢化长度。它是中子在慢化过程中飞行的净矢量（或直飞）距离的一种量度。当前42页，总共76页。42表2-2293K下裂变源中子的年龄慢化剂年龄/10-4m21.4eV热能水2627重水111130铍85100石墨(堆用级)310370当前43页，总共76页。432.2.6慢化剂的性质慢化剂的特性常用慢化能力ξΣs和慢化比ξΣs／Σa来描述。前者表示单位体积慢化剂全部核的慢化能力。另外，还要求慢化剂的吸收截面要小，即慢化比要大。显然，吸收截面大的核素是不宜作慢化剂的。当前44页，总共76页。44表2-3不同材料的慢化能力和慢化比慢化剂水重水氦铍石墨ξΣs/m-1153171.6×10-317.66.4ξΣs/Σa721200083159170当前45页，总共76页。45重水和轻水的比较慢化能力慢化比价格燃料体积放射性换料轻水大小便宜富集铀稠密栅(欠慢化)停堆换料重水小大贵天然铀大(过慢化)3H连续换料当前46页，总共76页。462.3中子的扩散由于中子与原子核的多次碰撞，使得中子在反应堆内以杂乱无章的折线进行运动。这种运动的结果，使原来在反应堆内某一位置具有某一能量和某一运动方向的中子，稍晚些时间将在反应堆内另一位置，以另一能量和另一运动方向出现。这时，我们说中子从第一种能量和位置输运到了第二种能量和位置，研究这种现象的理论叫输运理论。当前47页，总共76页。472.3.2斐克定律描述：单位时间内穿过垂直于流动方向的单位面积的净中子数和中子通量密度的关系。假设(1)无限均匀介质；(2)弱吸收介质，即介质的吸收截面很小；(3)在实验室坐标系中散射是各向同性的；(4)中子通量密度是随位置缓慢变化的函数。当前48页，总共76页。48图2-10推导斐克定律示意图当前49页，总共76页。49散射中子在dV中散射的中子数：因各向同性散射，射向dA方向的几率与dV所在的点对于dA所张立体角成正比而为：dV中每秒向dA散射的中子数为当前50页，总共76页。50散射中子（续1）射向dA方向的中子要与经过的路径上发生散射，离开原来方向，能够到达dA的几率为：，（，弱吸收介质）。dV中能到达dA的中子数为：当前51页，总共76页。51散射中子（续2）采用球坐标：代表负Z方向的中子流密度，即单位时间，穿过单位表面的中子数，对于x,y平面上方向下穿过dA的总中子数：将在r0点展开为泰勒级数，展开到一次项：当前52页，总共76页。52散射中子（续3）则每秒向下穿过dA的总中子数是则每秒沿负z方向穿过单位面积的中子数为最终当前53页，总共76页。53散射中子（续4）由于我们研究的介质为弱吸收介质，即,则，所以式(2-45)可改写为同理，我们可以算得单位时间沿着正z方向穿过xy平面上的单位面积的中子数当前54页，总共76页。54散射中子（续5）同理，可得沿x及y正方向的净中子流密度扩散系数，并用符号D表示。具有长度m的单位。斐克定律也可表示成

当前55页，总共76页。55斐克定律（续）斐克定律，它表示中子流密度正比于负的中子通量密度梯度。斐克定律表明，堆内任一处净中子流动的方向与负的中子通量密度梯度()的方向相同。因为中子通量密度梯度的方向是指中子通量密度增加的方向，所以中子流密度的方向是指中子通量密度减小最快的方向。当前56页，总共76页。562.3.3中子的泄漏当前57页，总共76页。57中子的泄漏（续1）//xy平面：当前58页，总共76页。58中子的泄漏（续2）同理，可对x和y方向的中子消失率进行类似的处理。//xz平面：//yz平面：总泄漏为上面三式之和除以dV为单位体积泄漏率，当前59页，总共76页。592.3.4中子扩散方程产生项-吸收项-泄漏项＝变化项当前60页，总共76页。60稳态中子扩散方程首先我们研究稳态问题，即中子通量密度不随时间t变化当前61页，总共76页。612为拉普拉斯算符直角坐标：柱坐标：球坐标：当前62页，总共76页。62扩散方程边界条件(1)在扩散方程适用的区域内，扩散方程的解必须是非负的实数，且处处有界。(2)在具有不同扩散性质的两种介质的交界面处，垂直于交界面方向上的净中子流密度相等，两种介质内的中子通量密度相等。当前63页，总共76页。63图2-12在两种介质的交界面处中子的扩散当前64页，总共76页。64内交界面连续条件当前65页，总共76页。65(3)外边界处即在介质与真空交界面上，在物理边界以外的外推边界上，中子通量密度为零。当前66页，总共76页。662.3.6扩散方程的简单输运修正扩散系数D的修正修正前，修正后，外推距离d的修正：修正前：修正后：当前67页，总共76页。672.3.7点源产生的单速中子扩散设在非增殖无限大均匀介质内有一个点中子源，每秒产生S个单速中子，各向同性地向周围介质扩散。让我们来求解介质内的中子通量密度分布。取球坐标来解点源的扩散是最方便的，假定中子源位于球坐标原点，则球坐标系中的拉普拉氏算符的表达式为当前68页，总共76页。68点源扩散无源扩散方程