第九节常系数非齐次线形微分方程

第九节常系数非齐次线形微分方程第一页，共二十九页，2022年，8月28日复习：二阶常系数非齐次线性方程通解结构通解难点：如何求特解？方法：待定系数法.（1）（2）齐次通解非齐特解第二页，共二十九页，2022年，8月28日待定系数法：先确定解的形式，再把形式解代入方程定出解中包含的常数的值．特点：一、待定系数法介绍第三页，共二十九页，2022年，8月28日设非齐方程特解为代入原方程二、型第四页，共二十九页，2022年，8月28日综上讨论注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是根的重数）.第五页，共二十九页，2022年，8月28日例1求的通解解：代入方程比较同次幂系数有求出通解第六页，共二十九页，2022年，8月28日例2.

的通解.

解:

本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为机动目录上页下页返回结束第七页，共二十九页，2022年，8月28日解对应齐次方程通解为特征方程为代入方程,解得原方程通解为例３第八页，共二十九页，2022年，8月28日例4解根据曲线积分与路径无关得条件：第九页，共二十九页，2022年，8月28日第十页，共二十九页，2022年，8月28日例5解特征方程为其特征根为故对应齐次方程通解为原方程通解为第十一页，共二十九页，2022年，8月28日所求特解为解得由初始条件得第十二页，共二十九页，2022年，8月28日三

型利用欧拉公式，把三角函数表为复变指数函数形式，第十三页，共二十九页，2022年，8月28日原方程的特解可设为第十四页，共二十九页，2022年，8月28日上述求法可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.第十五页，共二十九页，2022年，8月28日特解小结第十六页，共二十九页，2022年，8月28日例1与所给方程对应的齐次方程为特征方程为所以应设特解为代入所给方程，得解第十七页，共二十九页，2022年，8月28日比较两端同类项的系数，得解得求得一个特解为第十八页，共二十九页，2022年，8月28日解对应齐方通解作辅助方程代入辅助方程例1’第十九页，共二十九页，2022年，8月28日所求非齐方程特解为原方程通解为（取实部）注意第二十页，共二十九页，2022年，8月28日例2的通解.

解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为机动目录上页下页返回结束第二十一页，共二十九页，2022年，8月28日例3.解:

(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:机动目录上页下页返回结束第二十二页，共二十九页，2022年，8月28日例4.求物体的运动规律.解:问题归结为求解无阻尼强迫振动方程

当p

≠k时,齐次通解:非齐次特解形式:因此原方程④之解为第6节例1(P323)中若设物体只受弹性恢复力f和铅直干扰力代入④可得:④机动目录上页下页返回结束第二十三页，共二十九页，2022年，8月28日当干扰力的角频率p

≈固有频率k时,自由振动强迫振动

当p

=k时,非齐次特解形式:代入④可得:方程④的解为机动目录上页下页返回结束第二十四页，共二十九页，2022年，8月28日若要利用共振现象,应使p与k尽量靠近,或使随着t的增大,强迫振动的振幅这时产生共振现象.可无限增大,若要避免共振现象,应使p远离固有频率k;p

=k.自由振动强迫振动对机械来说,共振可能引起破坏作用,如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起有利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理.机动目录上页下页返回结束第二十五页，共二十九页，2022年，8月28日解例5这是一个积分方程第二十六页，共二十九页，2022年，8月28