第一节二重积分的概念与性质

第一节二重积分的概念与性质第一页，共三十页，2022年，8月28日三、二重积分的性质第一节一、引例二、二重积分的定义二重积分的概念与性质第十章第二页，共三十页，2022年，8月28日1.曲顶柱体的体积一、引例x0z

yDS曲顶柱体:底:xoy

面上的闭区域

D;顶:S:侧面:以D

的边界为准线,母线平行于

z轴的柱面;回顾第三页，共三十页，2022年，8月28日x0z

y

DSS:z=f(x,y)元素法(1)分割(化整为零);(2)近似(以平代曲):1.

曲顶柱体的体积i第四页，共三十页，2022年，8月28日x0z

yD(3)求和(积零为整):.i

S:z=f(x,y)元素法(1)分割(化整为零);(2)近似(以平代曲):1.

曲顶柱体的体积第五页，共三十页，2022年，8月28日x0z

yD(4)取极限令分法无限变细i.(3)求和(积零为整):

S:z=f(x,y)元素法(1)分割(化整为零);1.

曲顶柱体的体积(2)近似(以平代曲):第六页，共三十页，2022年，8月28日x0z

yD.(4)取极限令分法无限变细(3)求和(积零为整):

S:z=f(x,y)元素法(1)分割(化整为零);1.

曲顶柱体的体积(2)近似(以平代曲):第七页，共三十页，2022年，8月28日x0z

yV..(4)取极限令分法无限变细V=(3)求和(积零为整):

S:z=f(x,y)元素法(1)分割(化整为零);1.

曲顶柱体的体积(2)近似(以平代曲):第八页，共三十页，2022年，8月28日2.平面薄片的质量平面薄片:

在xoy

平面上占有区域

D,计算该薄片的质量M.面密度:D的面积为,则若非常数

,则用元素法:(1)分割(化整为零):D:(均匀薄片)第九页，共三十页，2022年，8月28日(2)近似(以不变代变):(3)求和(积零为整):(4)取极限:第十页，共三十页，2022年，8月28日两个问题的共性：(1)解决问题的思想和步骤相同:(2)所求量的结构式相同:“分割,近似,求和,取极限”.曲顶柱体体积:平面薄片的质量:乘积和的极限.第十一页，共三十页，2022年，8月28日二、二重积分的定义定义:二重积分:(1)任意分割D:第十二页，共三十页，2022年，8月28日积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素说明：第十三页，共三十页，2022年，8月28日

在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:第十四页，共三十页，2022年，8月28日二重积分的几何意义:表示以f(x,y)为顶以D

为底的曲顶柱体的体积.第十五页，共三十页，2022年，8月28日表示曲顶柱体的体积的负值．(3)当f(x,y)在D

上有正有负时,二重积分表示曲顶柱体体积的代数和.第十六页，共三十页，2022年，8月28日例1.根据二重积分的几何意义求积分的值.解:积分区域被积函数-aaD上半球面,圆域.第十七页，共三十页，2022年，8月28日三、二重积分的性质为D的面积,则2.

积分区域可加性.第十八页，共三十页，2022年，8月28日特别,由于则4.若在D上5.设D的面积为,则二重积分估值不等式第十九页，共三十页，2022年，8月28日解:三角形斜边方程例2.x+y=2x+y=1第二十页，共三十页，2022年，8月28日解：例3.第二十一页，共三十页，2022年，8月28日例4.解:第二十二页，共三十页，2022年，8月28日6.

(积分中值定理)证:

由性质5可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,第二十三页，共三十页，2022年，8月28日内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)第二十四页，共三十页，2022年，8月28日被积函数相同,且非负,思考与练习解:

由它们的积分域范围可知1.

比较下列积分值的大小关系:第二十五页，共三十页，2022年，8月28日2.

设D

是第二象限的一个有界闭域,且0<y<1,则的大小顺序为()提示:因0<y<1,故故在D上有第二十六页，共三十页，2022年，8月28日作业P137:4(1)(4),5(2)(3).

第二十七页，共三十页，2022年，8月28日(1)分割(化整为零)(2)近似(以直代曲)(3)作和(积零为整)yxoy=f(x)ab分法越细，越接近精确值f(i)元素法回顾:曲边梯形的面积第二十八页，共三十页，2022年，8月28日(4)取极限yxoy=f(x)令分法无限变细.ab.f(i)(1)分割(化整为零)(2)近似(以直代曲)(3)作和(积零为整).分法越细，越接近精确值元素法第二十九页，共三十页，2022年，8月28日yxoy=f